Vorlesung 6
Funktionenfolgen und Potenzreihen
Eine Folge.fn/von FunktionenfnWX !K, welche für allen2N den gemeinsamen DefinitionsbereichX Kbesitzen, wird alsFunktionenfolgebezeichnet. Offenbar ist dann.fn.x//für jedes x 2 X eine Zahlenfolge inK. Dementsprechend nennt man Reihen Pn
kD0fk
mit Funktionen fk W X ! K als Summanden Funktionenreihen, wobei Pn
kD0fk.x/
für jedesx2 Xeine Zahlenreihe inKist.
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz. 1. Eine Folge .fn/ von Funktionen fn W X ! K heißt punktweise konvergent, wenn eine Grenzfunktion f W X ! K derart existiert, daß es für jedes x 2 X und jedes " > 0 ein n0 2 N gibt, so daß jfn.x/ f .x/j " für alle n 2 N mit n n0 gilt, das heißt, daß die Zahlenfolge .fn.x//für jedesx 2X gegen den Grenzwertf .x/2Kkonvergiert.
2. Eine Folge.fn/von FunktionenfnWX !Kheißtgleichmäßig konvergent, wenn es eine Grenzfunktionf W X ! K gibt, so daß für jedes " > 0 ein n0 2 N derart existiert, daßjfn.x/ f .x/j "für allen2N mitnn0und jedesx 2X gilt.
Cauchy-Kriterium. Eine Folge.fn/von FunktionenfnWX !Kkonvergiert genau dann gleichmäßig, wenn es für jedes" > 0einn0 2N gibt, so daßjfm.x/ fn.x/j "
für allem,n2N mitm,nn0 und jedesx2 Xgilt.
Vertauschbarkeit von Grenzprozessen. 1. Sei.fn/eine gegebene Folge von Funk- tionenfn W X ! K, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktionf W X ! Kkonver- giert, ferner.x`/eine Zahlenfolge inX derart, daß für jedes festgehaltene n2 N die Zahlenfolge.fn.x`// gegen einen Grenzwert lim`!1fn.x`/ 2 K konvergiert. Dann sind auch die Zahlenfolgen.f .x`//und.lim`!1fn.x`//konvergent, und es gilt
`lim!1f .x`/D lim
`!1 lim
n!1fn.x`/D lim
n!1 lim
`!1fn.x`/:
Geometrischen Folgen. 1. Sei die Folge.fn/von Funktionenfn WŒ0; 1!Rdurch fn.x/ D xn für x 2 Œ0; 1, n 2 N gegeben. Die Funktionenfolge .fn/ konvergiert punktweise gegen die durch f .x/ D 0 für x 2 Œ0; 1Œ sowie f .x/ D 1 für x D 1 definierte Grenzfunktionf W Œ0; 1 ! R, abernichtgleichmäßig, denn für die durch x` D1 1` 2Œ0; 1Œfür`2N definierte Folge.x`/gelten die Beziehungen
`lim!1 lim
n!1fn.x`/D0 und lim
`!1fn.x`/D1 für jedesn2 N:
2. Jedoch konvergiert die Funktionenfolge .fn/ für jedes vorgegebene ı 2 0; 1Œ im verkürzten Intervall Œ0; ı gleichmäßig gegen f, da für jedes " > 0 einn0 2 N mitın0 " existiert und somit für allen 2 N mitn n0 und alle x 2 Œ0; ı stets jfn.x/ f .x/j D jxnj ın ın0 "gilt.
2
Weierstraß-Majorantenkriterium. Existiert zu einer Funktionenreihe Pn kD0fk mit den Summanden fk W X ! K eine konvergente Reihe Pn
kD0ak
mit reellen Summandenak 2 R, so daßjfk.x/j ak für allek 2 N [ f0gund jedesx 2 X gilt, dann konvergiert die Funktionenreihe Pn
kD0fk
gleichmäßig.
Potenzreihen. 1. Sei eine Folge.ak/mit den Gliedernak 2Kfürk2 N[ f0gsowie x0 2 K gegeben. Dann nennt man die Folge.sn/von Funktionensn W K ! K, die durch die Teilsummensn.x/DPn
kD0ak.x x0/k fürx 2Kundn2N[ f0gdefiniert werden, diePotenzreiheum denMittelpunktx0 2Kmit denKoeffizienten.ak/.
2. Konvergiert die Reihe.sn.x//für einxDx1 2Kmitx1 ¤x0, so konvergiert sie für jedesx2 Kmitjx x0j<jx1 x0jabsolut.
3. Divergiert die Reihe .sn.x//für einx Dx1 2Kmitx1 ¤x0, dann divergiert sie für jedesx2 Kmitjx x0j>jx1 x0j.
Konvergenzradius. AlsKonvergenzradiusR 0der Potenzreihe .sn/um den Mit- telpunktx0 2Kmit den Koeffizienten.ak/definiert man
R D 8 ˆˆ
<
ˆˆ :
0; falls die Folge pk
jakj
unbeschränkt ist;
1; falls limk!1 k
pjakj D0gilt;
1=lim supk!1pk
jakj; falls lim supk!1 pk
jakj 2 0;1Œ:
1. Im FalleR D0divergiert die Reihe.sn.x//für jedesx 2Kmitx¤x0.
2. Falls R D 1 gilt, so konvergiert die Reihe.sn.x//für jedesx 2 Kabsolut. Die Potenzreihe.sn/konvergiert für jedesr > 0gleichmäßig in˚
x2 Kj jx x0j r . 3. GiltR 2 0;1Œ, so ist die Reihe.sn.x//für allex 2 Kmitjx x0j< R absolut konvergent und für jedes x 2 K mit jx x0j > R divergent. Die Potenzreihe .sn/ konvergiert für jedesr 20; RŒgleichmäßig in˚
x 2Kj jx x0j r .
Konvergenzverhalten am Rande. Hat die Potenzreihe.sn/den Konvergenzradius R 2 0;1Œ und konvergiert die Reihe.sn.x//außerdem noch für einen Randpunkt x Dx1 2Kmitjx1 x0j DR, so konvergiert die Potenzreihe.sn/auch gleichmäßig in der Strecke˚
.1 /x0Cx1 2Kj2Œ0; 1 mit den Endpunktenx0 undx1. Geometrische Reihen. Seien die geometrischen TeilsummensnWŒ 1; 1!Rdurch sn.x/ D Pn
kD0xk fürx 2 Œ 1; 1undn 2 N definiert. Die Potenzreihe.sn/konver- giert fürr 2 0; 1Œ gleichmäßig inŒ r; rgegen die durchs.x/ D 1 x1 fürx 2 1; 1Œ definierte Grenzfunktion s W 1; 1Œ ! R, aber nicht gleichmäßig in 1; 1Œ, denn definiert man die Folge.x`/durchx` D 1` 12 1; 1Œfür`2N, so erhält man
`lim!1 lim
n!1sn.x`/D 12 und lim
`!1s2n.x`/D1; lim
`!1s2nC1.x`/D0 für allen2 N:
3
Identität von Potenzreihen. Gilt für zwei Potenzreihen um den Mittelpunktx0 2K mit den Koeffizienten.ak/bzw..bk/und den KonvergenzradienR > 0bzw.S > 0
1
X
kD0
ak.x x0/k D
1
X
kD0
bk.x x0/k für allex 2K,jx x0j<minfR; Sg; dann folgt daraus die Gleichheit der Koeffizientenak Dbk für allek2N [ f0g.
Linearkombination von Potenzreihen. Seien zwei Potenzreihen um den Mittel- punktx0 2Kmit den Koeffizienten.ak/bzw..bk/und den KonvergenzradienR > 0 bzw.S > 0 sowie zwei Zahleny, z 2 K vorgegeben. Dann hat die Potenzreihe um den Mittelpunktx0 2 Kmit den Koeffizienten .yak Czbk/einen Konvergenzradius P minfR; Sg, und für allex2 Kmitjx x0j<minfR; Sggilt
1
X
kD0
.yak Czbk/.x x0/k Dy
1
X
kD0
ak.x x0/kCz
1
X
kD0
bk.x x0/k:
Multiplikation von Potenzreihen. Seien zwei Potenzreihen um den Mittelpunkt x0 2 Kmit den Koeffizienten .ak/bzw..bk/und den KonvergenzradienR > 0 bzw.
S > 0gegeben. Dann besitzt die Potenzreihe um den Mittelpunkt x0 2 K mit den Koeffizienten Pk
mD0ambk m
einen KonvergenzradiusP minfR; Sg, und für alle x2 Kmitjx x0j<minfR; Sggilt
1
X
kD0 k
X
mD0
ambk m.x x0/k D
1
X
mD0
am.x x0/m
1
X
kD0
bk.x x0/k:
