Differenzial- und Integralrechnung

Differenzial- und Integralrechnung

Ubungsblatt 4 ¨ WS 11/12

1. Unendliche Reihen:

(a) Sind folgende Reihen konvergent oder divergent?

i. P _∞

k =1 sin k +1

k

+ k ii. P _∞

k =1 log k

k iii. P _∞

k =1 ( − 1) ^{k π} e

^k

iv. P _∞

k =1 log k

k

v. P _∞

k =1 arctan k

4 k

+3 vi. P _∞

k =1 ( − 1) ^k 2 ^k 7 ^{− √ k} vii. P _∞

k =1 ( − 3)

3+ k !

(b) Bestimmen Sie f¨ ur welche x ∈ R die folgenden Reihen konvergieren

i.

∞

X

k = n

sin ⁿ x

√ n ii.

∞

X

n =1

x ^{2 n} 4 ⁿ n ² 2. Grenzwerte und Stetigkeit:

(a) Gegeben sei die Funktion

f (x) =

x ² , x 6 = 2 0, x = 2 Zeigen Sie, dass:

x lim → 2 f (x) = 4.

(b) Beweisen Sie, dass:

x lim → 0 x sin(1/x) = 0 (c) Gegeben sei die Funktion

f (x) =

( | x − 3 |

x − 3 , x 6 = 3

0, x = 3

i. Skizzieren Sie die Funktion.

ii. Finden Sie lim x → 3+ f(x) iii. Finden Sie lim ^x _{→ 3 −} f(x) iv. Finden Sie lim x → 3 f (x) (d) Gegeben sei die Funktion:

f (x) = x ²

Zeigen Sie, dass f(x) im Interval 0 < x < 1 gleichm¨aßig stetig ist.

(e) Gegeben sei die Funktion:

f (x) = 1/x

Zeigen Sie, dass f(x) im Interval 0 < x < 1 nicht gleichm¨aßig stetig ist.