Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk
Mario Kaip 29. Oktober 2010
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Analysis III 2. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 2.1 Begr¨unden Sie die L¨osbarkeit des Anfangswertproblems u0(t) = 2t(1 +u(t)), u(0) = 0
und l¨osen Sie es mit Hilfe des Picardschen Iterationsverfahrens (vgl. Bemerkung 1.7).
Aufgabe 2.2 P1 < P2 < P3 seien reelle Konstanten. Zeigen Sie: F¨ur jede Funktion P ∈ C1([0,∞),R) mit
P0(t) =−(P(t)−P1)(P(t)−P2)(P(t)−P3) existiert der Grenzwert limt→∞P(t) und es gilt
t→∞lim P(t) ∈ {P1, P2, P3}.
Aufgabe 2.3 Geben Sie alle L¨osungen der folgenden Differentialgleichung an und skizzieren Sie einige dieser L¨osungen. Geben Sie insbesondere zu jeder L¨osung an auf welchem Intervall sie die Differentialgleichung l¨ost!
(i) x0(t) = exp(t−x(t)) (ii) x0(t) = 2tp
x(t), x(t)>0.
Aufgabe 2.4 Es seien f : (0,∞) −→R, f(x) :=x·sin x1
und y0 >0. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
y0(t) =f y(t)
, y(0) =y0
in [0,12] eine L¨osung besitzt und diese eindeutig ist. Was l¨asst sich ¨uber das maximale Existen- zintervall sagen?
Hinweis: Verwenden Sie Satz 1.15.
Abgabetermin: Freitag 5. November 2010, vor 10:00 Uhr in die Briefk¨asten bei F411.
