Modell eines Kreisprozesses (Gedankenexperiment). Nicht nur von historischem Interesse (Carnot 1824), sondern auch Prozess mit dem höchstmöglichen Wirkungsgrad DW/DQ

Carnotscher Kreisprozess

Modell eines Kreisprozesses (Gedankenexperiment). Nicht nur von historischem Interesse (Carnot 1824), sondern auch Prozess mit dem höchstmöglichen Wirkungsgrad DW/DQ

₁

(Arbeit/zugeführte Wärme).

1 2

1 1

T T W

Q T

  ^D  ^ D

1  2: isotherme Expansion 2  3: adiabatische Expansion 3  4: isotherme Kompression 4  1: adiabatische Kompression

1

1

T D Q

2

2

Q T D

W

23

41 23

W   W

2

12 1 1

1

ln V

W Q R T

 D     V

4

34 2 2

3

ln V

W Q R T

 D     V

 

2 4 2

1 2 1 2

1 3 1

2

1 1

1

ln ln ln

ln

V V V

W R T R T R T T

V V V

Q R T V

V

D           

D    

1 1

1 1 2 4

1 1 1 4 4 2

1 2 2 3

2 3 3 1

ln ln

T V T V

V V V V

T V T V

V V V V

 

 

 

 

  

       

*

* entgegengesetzt gleiche Änderung der innerenEnergie beim Übergang zwischen den Temperaturen T

₁

und T

₂

Die abgegebene Wärme DQ

₂

ist verloren und geht nicht in die Ermittlung des Wirkungsgrads ein.

Wirkungsgrad

2

Entropie

Beim adiabatischen Prozess ist der Austausch von Wärme null, d.h. dQ = 0.

Beim isothermen Prozess bleibt die innere Energie konstant, also ist dQ = dW.

Definition: Reduzierte Wärmemenge

Diese Größe ist bei den adiabatischen Zweigen des Carnot-Prozesses null und bei den beiden isothermen Zweigen betragsmäßig gleich:

Damit hängt die mit der Umgebung ausgetauschte reduzierte Wärmemenge nur vom Start- und Endpunkt im p-V-Diagramm ab. Beliebige Wege (Kombinationen aus adiabatischen und isothermen Zweigen) führen zum selben Ergebnis. Damit ist die Größe S eine weitere Zustandsgröße. Sie wird Entropie genannt. Für einen reversiblen Kreisprozess ist die Änderung der Entropie nach einem Durchlauf null

Energieerhaltung besagt und mit ist der Wirkungsgrad

und hängt nur von den Temperaturen ab. Die Carnot-Maschine hat also bereits den bestmöglichen Wirkungsgrad. Diese Aussage ist eine alternative Formulierung des 2. Hauptsatzes.

Irreversible Kreisprozesse (z.B. mit Reibung) haben einen schlechteren Wirkungsgrad.

3 3

2 2

1 1 2 4 1 4

ln ln und

Q V Q V V V

R R

T V T V V V

D D

     

dS dQ

 T

0 D  S

1 2

W  Q  Q

^{1 2}

1 2

Q Q

T  T

1 2 1 2

1 1 1

Q Q T T

W

Q Q T

   ^  ^

Beispiel für einen irreversiblen Prozess

1 mol Gas in einem Volumen V

₁

, Verbindung zu einem zweiten Volumen V

₂

wird geöffnet, das Gas verteilt sich auf das Volumen V = V

₁

+ V

₂

. Damit

Wahrscheinlichkeit für 1 Molekül, in Volumen V

₁

zu sein:

Wahrscheinlichkeit für N

_A

Moleküle, in Volumen V

₁

zu sein:

Logarithmiert:

Die Änderung der Zahl der möglichen Zustände (Kehrwert 1/w der Wahrscheinlichkeiten) ist

konsistent mit der früher angegebenen Definition der Entropie: S = k ∙ ln (Zahl der möglichen Zustände)

1

ln V S R D   V

V

1

w  V

1

1

ln ln V ln V

k w R R

V V

     

/

1 1

NA R k

V V

w V V

   

         

1

1

ln 1 ln V ln V

k R R S

w V V

       D

Anmerkung zum dritten Hauptsatz (Nernstsches Theorem) Nur noch 1 Zustand am absoluten Nullpunkt

aber

d.h. bei Annäherung an den Nullpunkt strebt die spezifische Wärme gegen 0, daher:

Der absolute Nullpunkt kann nicht erreicht werden.

( 0) 0 S T  

0 0

( ) ( ) 0 ( ) 0

T T

dQ C T dT

S T T C T

T T

       

4

Beispiel: Gas mit 4 Atomen

alle Atome links: 1 Zustand

3 Atome links: 4 Zustände

2 Atome links, 2 rechts: 6 Zustände

3 Atome rechts: 4 Zustände

alle Atome rechts: 1 Zustand

Es ist am wahrscheinlichsten, dass sich die Atome gleichmäßig auf beide Hälften des Volumens verteilen, da dies meisten Realisierungsmöglichkeiten bietet

(wobei die anderen Konfigurationen nicht verboten sind).

Je mehr Atome beteiligt sind, desto ausgeprägter ist die

Tendenz zur Gleichverteilung.

Transport von Wärme

- Wärmeleitung: Transport von Wärme ohne Teilchentransport

- Konvektion: durch Wärme getriebene Strömung von Gas/Flüssigkeit - Strahlung: Emission elektromagnetischer Strahlung ("Licht")

Wärmeleitung

Energiestromdichte (Energie pro Zeit und Fläche) ist proportional zum Gradienten der Temperatur.

Hier: in 1 Dimension: Wärmeleitfähigkeit 6.5 Transportprozesse

Versuch zur Wärmeleitung

Vier verschiedene Metallstäbe sind mit einem Behälter mit heißem Wasser verbunden. Am anderen Ende befindet sich jeweils eine mit Wachs angeklebte Kugel, die bei einer bestimmten Temperatur abfällt. Reihenfolge von guter zu schlechter Wärmeleitung mit Literaturwert der

Wärmeleitfähigkeit bei 100

^o

C:

- Kupfer 379 W/(mK) - Aluminium 220 W/(mK) - Messing 128 W/(mK) - Blei 34 W/(mK)

 

2

W m W

m K mK

W

W dT

j  A     dx   

Konvektionszellen an der Sonnenoberfläche

Versuch zur Wärmestrahlung

Eine sog. Crooksche Mühle wird mit einer

Lampe oder einem Fön in Bewegung

gesetzt. Die schwarzen Seiten der Flügel

absorbieren mehr Strahlung als die hellen

Seiten und erwärmen sich. Bei Stößen mit

diesen Flächen nehmen Luftmoleküle mehr

Impuls auf als an den hellen Flächen und die

Mühle dreht sich.

6

      ^{Pa s}

m/s Pa m s

m m

s m

mK W K

m m

W

2 4

2

2

     



























^









D 1

dx dv A

p A j F dx

D dn dx j

dT A

j

_W

W 

_p



Drei Transportphänomene im Vergleich

Wärmeleitung Diffusion Viskosität

Transport von Wärme Transport von Teilchen Transport von Impuls (Energiestromdichte) (Teilchenstromdichte) (Impulsstromdichte) Temperaturgradient Dichtegradient Geschwindigkeitsgradient

Wärmeleitfähigkeit  Diffusionskonstante D Viskosität 

Allgemein (bei Gasen)

Der Strom einer physikalischen Größe (Wärmeenergie, Teilchenzahl, Impuls) entsteht, weil ihr Gradient bewirkt, dass Atome oder Moleküle von einer Seite mehr von dieser Größe herantragen als von der anderen Seite. Betrachte ein Gas mit mittlerer freier Weglänge l, Teilchendichte n

₀

und mittlerer Geschwindigkeit v

₀

bei x = x

₀

.

Teilchenstrom durch eine Fläche bei x

₀

von links:

von rechts: 



 



  

 



 



  





 dx

l dv dx v

l dn n

v n

j

_{rechts rechts rechts 0 0}

6 1 6

1

 

 



  

 



 



  





 dx

l dv dx v

l dn n

v n

j

_{links links links 0 0}

6 1 6

1

Differenz bei konstanter Geschwindigkeit

l v dx D

D dn j

dx l dn dx v

l dn dx n

l dn n

v j

j

j

_{links rechts}



















 

 

 

 



 



  

 



 



  







0

0 0

0 0

3 1

3 1 6

1

Teilchenstromdichte mit Diffusionskonstante D Differenz bei konstanter Teilchendichte

dx l dv dx n

l dv dx v

l dv v n j

j

j

_{links rechts}

   

 



 

 



 



  

 



 



  







_{0 0 0 0}

3 1 6

1

Viskosität: Geschwindigkeiten und damit Impulse senkrecht zu x verschieden

0

0

1 :

3

1

p

3

m v j m v n l dv v

dx

j m v j dv m v n l

 dx 





        

          

Wärmeleitung: Temperaturgradient, Energie pro Freiheitsgrad f variiert mit x

0 0 0

0

1

2 3 2 6 2 12

W

12

f f dv f v dT f dT

kT j k T n l k T n l k v n l

dx T T dx dx

dT f

j k v n l

 dx 

                    

       

Impulsstromdichte mit Viskosität 

setze

1/2

in dv dv dT ein

v T v a T

dx dT dx

 

       

Energiestromdichte mit Wärmeleitfähigkeit 

mittlere ungeordnete Geschwindigkeit