Seminar Numerik und

(1)

Seminar Numerik und Wissenschaftliches Rechnen || Chapter 2: A Simple Example ||

Michael Kreim || 21.01.07 || Folie: 1

Seminar Numerik und

Wissenschaftliches Rechnen

Chapter 2:

A Simple Example

Michael Kreim

21.01.07

(2)

u

x , y

f

x , y

u

x , y

g

x , y

Poisson Gleichung

= (0,2) x (0,1)

Dirichlet Rand-Bedingungen: homogen

finde ^{u :}

:

(3)

Innere Knoten

_h :

i , j

: i

0, N _x

1 j

0, N _y

1 Randknoten

_h :

_h

h

(4)

Finite Differenzen Methode

(5)

(6)

Eigenschaften des Systems

K

_h

ist sparse (hier max. 5 Einträge / Zeile)

K

_h

ist spd (K

_h

= K

_h^T

; <K

_h

U

_h

,U

_h

> >0)

Dimension N des Systems wächst mit O(h

^-m

) m=Dim( )

K

_h

ist schlecht konditioniert:

K _h

max

K _h

min

K _h

O

h

²

(7)

K = E + D + F

(8)

direkte Lösungsmethoden

Gaußsches Eliminationsverfahren E

_i,j

=0

D

F U

f

LR-Zerlegung

K

LR Lx

f RU

x

K ist spd

=> Cholesky-Verfahren

(9)

Probleme bei direkten Lösungsmethoden

Zunahme der Komplexität

arithmetische Operationen O(h

^-3m+2

) Speicherbedarf O(h

^-2m+1

)

Verlust von log(

(K)) Nachkommastellen durch Rundungsfehler

(10)

iterative Lösungsmethoden U ⁰ ⁿ

U ^k

k

^! ^"

U

U ^k

#

1

$

U ^k

% &

KU ^k

^'

f

Relaxationsparameter

C

Vorkonditionierer hier: C,K spd

-> Konvergenz für

⁽ ⁾

*

0 , 2

+

max

,

C

^-¹

K

. /

(11)

Beispiele für iterative Lösungsmethoden

Richardson Iteration ( C:=I)

U ^k

0

1

¹

U ^k

² ³

4

f

⁵

KU ^k

6

7

-Jacobi-Iteration (

⁸ ⁹ ⁷

, C:=D)

U ^k

0

1

¹

U ^k

² ^:

D

^;

¹

4

f

⁵

KU ^k

6

vorwärts/rückwärts Gauss-Seidel-Iteration (C=D+E)/(C=D+F)

4

D

²

E

6

U ^k

0

1

¹

f

⁵

FU ^k

4

D

²

F

6

U ^k

0

1

¹

f

⁵

EU ^k

(12)

Beispiele für iterative Lösungsmethoden

forward/backward successive overrelaxation (SOR)

31 :

; C

¹

D

² ^:

E oder C

¹

D

² ^:

F

4

D

² ^:

E

6

U ^k

0

1

¹ ⁴

1

⁵ ^:

6

DU ^k

² ^:

4

f

⁵

FU ^k

6

4

D

² ^:

F

6

U ^k

0

1

¹ ⁴

1

⁵ ^:

6

DU ^k

² ^:

4

f

⁵

EU ^k

6

symmetric succesive overrelaxation iteration (SSOR) Abwechselnd

-> forward SOR -> backward SOR

31 : 4

2

⁵ ^:

6

: < 4

0,2

6

C

¹

4

D

² ^:

E

6

D

;

1

⁴

D

² ^:

F

6

(13)

Beispiele für iterative Lösungsmethoden

alternating direction implicit iterative method (ADI)

= >

u

^? ⁼

u _xx

⁼

u _yy

=

1

=

1 4

⁼

1

=

1

? =

1 2

⁼

1

^@

=

1

2

=

1 K

^?

K x

^@

K y

A

K

_x ^B

K

_y

C

U

^D

A

K

_x ^B ^E

I

C

U

^B

A

K

_y ^F ^E

I

C

U

^D

f

A

K

_x ^B ^E

I

C

U

^D

f

^F

A

K

_y ^F ^E

I

C

U

A

K

_x ^B ^E

I

C

U

^l

G1 ^D

f

^F

A

K

_x ^B

K

_y

C

U

^l ^B

A

K

_x ^B ^E

I

C

U

^l

D H

A

K

_x ^B ^E

I

C A

U

^l

G1

F

U

^l

C D

f

^F

KU

^l

Iteration in x-Richtung

(14)

Beispiele für iterative Lösungsmethoden

I

alternating direction implicit iterative method (ADI)

J

K _x

^K ^L

I

M

U

k

^N

1 2

^O

f

^P

J

K _y

^P ^L

I

M

U ^k

J

K _y

^K ^L

I

M

U ^k

N

1

^O

f

^P

J

K _x

^P ^L

I

M

U

k

^N

1 2

-> Vortrag am 06. 02.07 Sebastian Plitzko ADI

(15)

Domain Decomposition (DD)

(16)

Domain Decomposition (DD)

g _C

^Q

f _C

^R

K _CI K _I

S

1 f _I

(17)

Seminar Numerik und