Differentialrechnung II

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A n a l y s i s

Differentialrechnung II

Im oberen Teil der Wandtafel sind Ableitungen einiger elementarer Funktionen erkennbar. An verschiedenen Stellen erscheint der Differentialquotient. Es handelt sich offensichtlich um eine Vorlesung über Differentialrechnung.

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Analysis: Differentialrechnung II Seite 2 www.mathema.ch

1. Ableitung elementarer Funktionen

Aufgabe 1: Hier sind einige Funktionsvorschriften f(x) und die dazu gehörigen Funktionsgraphen dargestellt (linke Spalte). Auch sind Ableitungsfunktionen f’(x) und die dazu gehörigen Steigungsgraphen gezeichnet (rechte Spalte). Welche Funktion gehört zu welcher Ableitung?

Entschiede dich aufgrund der abgebildeten Graphen.

f(x) = x² f’(x) = e^x

f(x) = x f’(x) = –sin(x)

f(x) = cos(x) f’(x) = 1

x

f(x) = sin(x) f’(x) = 2x

f(x) = e^x f’(x) = ½x^–½

f(x) = ln(x) f’(x) = cos(x)

0.E+00 1.E+08 2.E+08 3.E+08 4.E+08 5.E+08 6.E+08

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

f'(x)

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

f(x)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

f'(x)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

f(x)

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

f'(x)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

f(x)

0.E+00 1.E+08 2.E+08 3.E+08 4.E+08 5.E+08 6.E+08

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

f(x)

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

f'(x)

-2 -1 0 1 2 3 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

f(x)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

f'(x)

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3. Viele Übungen

Potenzregel & Polynomfunktionen

Aufgabe 14: Ermittle die Ableitungen der folgenden Polynomfunktionen:

a) f x( )=3x 4+ b) f x( )=12x 2- c) f x( )=x⁴ d) f x( )=0 e) f x( )=x¹⁰ f) f x( )=3x⁵ g) f x( )=5x¹² h) f x( )=10⁶ i) f x( )=0.5x⁴ j) f x( )=x : 9⁶

k) f x( )=x²-3x 2+ l) f x( )= -4x²+5x 1- m) f x( )=3x³+4x²-5x n) f x( )=x⁴-6x³+5x²+10³ o) f x( )=2x³-12x²+7x 8- p) f x^{( )}= ₂¹x⁴+4x³-5x² q) f x^{( )}= ₆¹x³-³₄x² +⁵₂x-₃¹ r) f x^{( )}= ¹₅x¹⁰+₃⁴x⁶-⁵₂x² s) f x( )=x²ⁿ+xⁿ

Aufgabe 15: Ermittle die Ableitungen der folgenden Funktionen:

a) f x( )=x¹⁰⁰

b) f x( )=3x⁷+11x⁵-8x³-7x 9+ c) f x^{( )}=₁₂¹ x⁴+⁴₅x³-³₄x²-₈¹^x d) ^{( )} ¹₃

f x =x

e) ^{( )} ³₂ f x =x

f) ^{( )} ¹₄ f x =2x

g) ^{( )} ²₆ f x =3x

h) f x^{( )}=x² +²₃x- -₆¹ ⁴_x i) ^{( )} ³₃ ²₂ _3x¹

x x

f x = - +

j) ^{( )} ¹₄ ⁶₃ ¹²₂ ⁸_x

x x x

f x = - + - +2

k) f x^{( )}=³ x l) f x^{( )}= x³

m) f x^{( )}= ⋅8 x- ⋅2 ⁴ x n) f x^{( )}= ³₂^x + ¹_x

Produktregel

Aufgabe 16: Berechne die Ableitungen der folgenden Funktionen sowohl mit der Produktregel, wie auch indem du zuerst ausmultiplizierst!

a) f x^{( )}=(2x 3+ )⋅(2x 1- ) b) _{f x}^{( )}₌(_{x 4}₊ )_⋅(_x²_-₂) c) _{f x}^{( )}₌(_3x²_-₅)_⋅(_x²₊_3x)

d) f x^{( )}=(x²+2x 1 2x 2+ ⋅) ( - ) e) _{f x}^{( )}₌(_{2x 3 4x}₊ )_⋅( ²_-_{6x 9}₊ ) f) _{f x}^{( )}₌(_x³₊_{4x 5 2x}_{- ⋅}) ( ²_{- +}_{x 6})

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Quotientenregel

Aufgabe 17: Differenziere mithilfe der Quotientenregel!

a) f x^{( )} x 1 x 4

= -

+ b) f x^{( )} 2x 1

3x 5

= + - c) f x^{( )} ₃2x

x 2

= +

d) ^{( )} x²₂ 5x

f x x 4

= - -

e) f x^{( )} 2x² 3x 1 6x 5

- +

= +

f) f x^{( )} x₂³ 1

x 3x

= -

+

Aufgabe 18: Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen sowohl mithilfe der Quotientenregel, wie auch indem du zuerst dividierst!

a) f x^{( )} x² 3 x

= +

b) ^{( )} x² 6x 9

f x 3x

- +

=

c) ^{( )} 3x³ ₂4x²

f x x

= -

d) f x^{( )} x³ 6x² ₂8x 2 4x

+ - -

= e) f x^{( )} 2x 5₃

x

= -

f) f x^{( )} 3x² ₃8 12x

= +

Kettenregel

Aufgabe 19: Differenziere mithilfe der Kettenregel!

a) f x^{( )}=(2x 3+ )⁵ b) _{f x}^{( )}₌(_x²_-₉)³ c) ^{( )} ₂1

f x =x 3 +

d) ^{( )}

( )²

f x 1

10x 3

= -

e) f x^{( )}= 6x 1- f) f x^{( )}= x²-4

g) f x^{( )}=(2x 1+ )⁴

h) f x^{( )}= -( 6x 2+ ) (⁵⋅ +x 3)

Vermischte Aufgaben

Aufgabe 20: Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!

a) f x( )= ⋅x e^x b) f x( )=x e²⋅ ^x c) f x( ) (= 3x 2 e- ⋅) ^x

d) ^{( )} e^x f x = x e) f x^{( )} x²_x

=e

f) f x( )=e^3x g) f x( )=e^{0.1x 3}⁺ h) f x^{( )}=e^x²

Aufgabe 21: Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!

a) f x( )= ⋅x ln x( ) b) f x^{( )} ln x^{( )}

= x

c) _{f x}^{( )}=[_{ln x}^{( )}]³ d) _{f x}^{( )}₌_{ln x}( )³

e) f x( )=ln 2x 5( - ) f) _{f x}^{( )}₌_{ln x}( ²₊₁)

Aufgabe 22: Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!

a) f x( )=sin x cos x( )⋅ ( ) b) f x^{( )}=tan x^{( )}=_{cos x}^{sin x}^{( )}_{( )}

c) f x( )=sin 3x( ) d) f x^{( )}=3sin 2x( + p)

e) _{f x}^{( )}₌_{cos x}( )²

f) f x^{( )}=sin x²^{( )}+cos x²^{( )}

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