Institut f
ur Theoretishe Teilhenphysik
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Dr. Robert Harlander, Dr. JanBrinkmann 26.01.05
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre robert.harlanderern.h janbritkm.uni-karlsruhe.de
Ubungsblatt Nr. 13 zur Theorie C fur Lehramtskandidaten
1 4er Geshwindigkeit:
ImInertialsystem K bewegt sih eine Billiardkugel mitder Geshwindigkeit u= dx
dt
entlang
der x-Ahse. In einem relativzu K gleihformig mitv entlang der x-Ahse bewegten System
K 0
wird furdie Geshwindigkeit der Kugel u 0
= dx
0
dt 0
gemessen.
a) Bestimmen Sieu 0
uberdieLorentztransformationder Koordinaten (x;t) (sieheBlatt 10
unten). Ergebnis: u 0
=
u v
1 uv=
2 .
b) FureindimensionaleBewegungen entlang der x-Ahse hat die\4er Geshwindigkeit" u
nur zweiKomponenten =0;1; diese sind deniert durh
u
=(u 0
;u 1
) ; u 0
=
p
1 u 2
= 2
; u 1
=
u
p
1 u 2
= 2
.
ZeigenSie, da dieu
der Lorentztransformationfurbeliebige4er Vektoren a
genugen,
a 01
=(a 1
v
a
0
) ; a 00
=(a 0
v
a
1
) ; =
1
p
1 v 2
= 2
2 Materiewelle:
DieWellenfunktion (x)einesfreienTeilhensderMassemundEnergieEerfulltdieShrodinger-
Gleihung:
~ 2
2m
2
x
(x) = E (x). Wie lautet die allgemeine Losung; was ist der Zusam-
menhang zwishen der de Broglie-Wellenlange, EnergieE und Impuls pdes Teilhens?
3 Reektion einer Materiewelle:
WirddasfreieTeilhenaneinerPotentialwandreektiert,solautetdieShrodinger-Gleihung:
~ 2
2m
2
x
+V(x)
(x) =E (x) mitdem Potential V(x)=
0 fur x<0
V
0
>0 fur x0
a) Geben Sie furfestes E dieallgemeine Losung
<
(x)furden Bereih x<0 an, als auh
dieLosung
>
(x) fur den Bereih x0. Es sei 0<E <V
0 .
b) Eine physikalishe Wellenfunktion mu den sog. Anshlubedingungen
<
(x)j
x=0
=
>
(x)j
x=0
und
x <
(x)j
x=0
=
x >
(x)j
x=0
und auerdem noh
>
(x)j
x!1
< 1
genugen. Wie lautet damit (x) fur 1<x<1?
Wokonnten dieAnshlu- und Randbedingungenherkommen?
) Welhe Energien E sind moglih? Bestimmen und skizzieren Sie (x) fur E = V
0
=2.
Diskutieren Siedie Wahrsheinlihkeitsdihte w(x)=j (x)j 2
. Welhes Ergebnis hatten
Sienah der klassishen Mehanik erwartet?
4 Unsharfe:
Dieerlaubten Wellenfunktionen eines TeilhensimPotentialtopfvonBlatt12,Aufg.3 lauten
(x)=C sin(k
n
x) ; k
n
=nx=L ; n=1;2;3;::: ; C = p
2=L.
a) Wird die Ortsmessung an vielen gleihartigen Potentialtopfen wiederholt, so kann man
den Mittelwert hxi und das Shwankungsquadrat (x) 2
= hx 2
i (hxi) 2
bestimmen.
Berehnen Sie x aus der Wahrsheinlihkeitsdihte w(x)= j (x)j, also
uber hx m
i =
R
L
0 dxx
m
w(x).
b) FurdenImpuls kann manganz analog (p) 2
=hp 2
i (hpi) 2
berehnen,allerdingsmu
man dieVorshrift hp m
i=(
~
i )
m R
L
0 dx
(x)
m
x m
(x), m=1;2 verwenden.
Man berehne hpiund p und vergleihe mit der Heisenbergshen Unsharferelation.
