3 Messbare Abbildungen und Bildmaße
a) Allgemeines
Definition 3.1. (Ω,A) und (Ω′,A′) seien Messr¨aume , T : Ω → Ω′ eine Abbildung . Dann heißt T (A-A′-)messbar , wenn gilt:
T−1(A′)∈ A ∀ A′ ∈ A′. Schreibweise: T : (Ω,A)→(Ω′,A′).
Satz 3.1. In der Situation von Definition 3.1 sei E′ ein Erzeuger von A′. Dann gilt:
T (A-A′-)messbar ⇐⇒ T−1(E′)∈ A ∀ E′ ∈ E′.
Beispiel 3.1.
a) Jede konstante Abbildung T : Ω →Ω′ ist A-A′- messbar.
b) Jede stetige Abbildung T : Rk →Rℓ ist Bk-Bℓ- messbar ( kurz : Borel-messbar ) .
Satz 3.2. (Zusammensetzen messbarer Abbildungen)
Seien T1 : (Ω1,A1)→(Ω2,A2) und T2 : (Ω2,A2)→(Ω3,A3) messbar =⇒ T3 := T2 ◦T1 ist A1-A3- messbar .
Messbarkeit von Produkt-Abbildungen :
F¨ur eine Familie {Ti}i∈I von Abbildungen Ti : Ω→Ωi ist die
”Produkt-Abbildung“
T0 :=N
i∈I
Ti wie folgt definiert :
T0 : Ω →Ω0 :=Y
i∈I
Ωi, ω 7→T0(ω) := O
i∈I
Ti(ω).
Seien pi : Ω0 →Ωi, ω0 :=N
j∈I
ωj 7→ωi, die Projektionen (i∈I).
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Dann wird durch
A0 := A(pi;i∈I) := A [
i∈I
p−1i (Ai) ,
wobei Ai σ-Algebra in Ωi ist , eine σ-Algebra in Ω0 definiert , die (so genannte) Produkt-σ-Algebra N
i∈I
Ai. Sie ist die kleinste σ-Algebra in Q
i∈I
Ωi derart , dass alle pi A0-Ai- messbar sind , und heißt die von den Abbildungen pi erzeugte σ-Algebra . Falls I ={1, . . . , k}: A0 =A(p1, . . . , pk).
Beispiel 3.2. Seien (Ω,A) ein Messraum und Xi : Ω → R1 reelle Zufallsvariablen (i= 1, . . . , k), d.h. Xi−1(B)∈ A ∀ B ∈ B1 (i= 1, . . . , n).
Die Produkt-Abbildung X :=
k
N
i=1
Xi ist die gemeinsame Abbildung X = (X1, . . . , Xk) mit X(ω) := (X1(ω), . . . , Xk(ω)).
Satz 3.3. (Messbarkeit von Produktabbildungen) In der obigen Situation sei A eine σ-Algebra in Ω. Dann gilt:
T0 = O
i∈I
Ti ist A-A0- messbar ⇐⇒ Ti A-Ai- messbar ∀ i∈I .
Bemerkung 3.1. A(pi) = p−1i (Ai) ∀ i∈I , da p−1i (Ai) bereits eine σ-Algebra ist .
Beispiel 3.2 (Fortsetzung) X = (X1, . . . , Xk) ist k-dimensionale ZV.
⇐⇒ Xi reelle ZV. ∀i= 1, . . . , k .
Man verifiziert sofort den folgenden
Satz 3.4. Seien T : (Ω,A)→(Ω′,A′) eine messbare Abbildung und µ ein Maß auf A. Dann wird durch
µ′(A′) := µ T−1(A′)
, A′ ∈ A′, ein Maß µ′ auf A′ definiert .
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Definition 3.2. Das Maß µ′ aus Satz 3.4 heißt das Bildmaß von µ (unter der Abbildung T ).
Schreibweise: µ′ = T(µ).
Beispiel 3.3.
a) (Ω,A, P) sei ein W-Raum , X : Ω→ X eine ZV. [ d.h. X ist A-B- messbar , B σ-Algebra in X]. Die Verteilung PX ist das Bildmaß von P unter X , also PX =X(P).
b) Seien (Ω,A) = (Ω′,A′) = (Rk,Bk), µ =λk,
Ta : Rk →Rk, x7→x+a (a∈Rk, fest ) , die Translation um a . Dann gilt :
Ta(λk) = λk ( Translationsvarianz von λk).
c) In der Situation von b) sei
Sr : Rk →Rk, x7→rx (r∈R1, fest , r 6= 0 ), die Streckung um r . Dann gilt :
Sr(λk) = 1
|r|k λk.
F¨ur r=−1 ist S−1 die Spiegelung am Nullpunkt , also S−1(λk) = λk ( Spiegelungsinvarianz von λk) .
Der Vollst¨andigkeit halber skizzieren wir kurz (ohne Beweis) weitere
b) Abbildungseigenschaften des Lebesgue-Borel-Maßes
Hyperebenen im Rk sind Nullmengen unter λk:
Lemma 3.1. Sei H eine Hyperebene im Rk, d.h. H=a+L , wobei a∈Rk (fest) und L ein h¨ochstens (k−1)- dimensionaler (linearer) Teilraum von Rk ist . Dann gilt:
λk(H) = 0.
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Zum Beweis kann das folgende Lemma benutzt werden, das von eigenst¨andigem Interesse ist :
Lemma 3.2. Seien µ ein σ- endliches Maß auf einer σ-Algebra A und Ai ∈ A (i ∈ I) paarweise disjunkt . Dann gilt µ(Ai) > 0 f¨ur h¨ochstens abz¨ahlbar viele i∈I .
Das Verhalten von λk unter linearen Abbildungen T : Rk →Rk, x7→Cx , C eine regul¨are k×k- Matrix , beschreibt der
Satz 3.5. Sei T : Rk →Rk, x 7→Cx , C ∈Rk×k, detC 6= 0
=⇒
T(λk) = 1
| detC| λk bzw.
λk T(B)
= | detC| λk(B) ∀ B ∈ Bk.
Bemerkung 3.2. Satz 3.5 liefert zusammen mit Beispiel 3.3 b) die Bewegungs- invarianz von λk, d.h. T(λk) = λk f¨ur alle linear affinen Abbildungen T : Rk →Rk, x7→Cx+a , a fest , C ∈Rk×k mit | detC| = 1.
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