1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing

Finanzmathematik 1

WS 2012/13

Hans F¨ollmer undAlexander Schied erschienen imDe Gruyter Verlag.

Teil I Arbitragetheorie in diskreter Zeit

1 Arbitragetheorie in einer Periode. . . 3

1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing . . 3

1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) . . . 13

1.3 Vollst¨andigkeit von Marktmodellen . . . 22

2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell. . . 25

2.1 Grundlagen Mehrperiodemodelle . . . 25

2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing . . . 29

2.3 Europ¨aische contingent Claims . . . 45

2.4 Vollst¨andige M¨arkte . . . 54

2.5 Das Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein-Modell) . . . 57

3 Amerikanische Contingent Claims . . . 67

3.1 Grundlagen . . . 67

3.2 Bewertung und Hedging in vollst¨andigen M¨arkten . . . 70

3.3 Arbitragefreie Preise und Replizierbarkeit in generellen M¨arkten . . . 78

Teil II Risikomaße 4 Grundlagen Risikomaße . . . 85

4.1 Konvexe Risikomaße . . . 86

4.2 Risikomaße und Akzeptanzmengen . . . 90

4.3 Robuste Darstellung von konvexen Risikomaßen . . . 94

4.3.1 Endlich additive Mengenfunktionen . . . 94

4.3.2 Robuste Darstellung . . . 96

4.3.3 Konvexe Risikomaße aufL^∞. . . 103

4.4 Portfoliooptimierung und Bewertung mittels Risikomaßen

(CAPM) . . . 109

Appendix A . . . .119

A.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . 119

A.1.1 Der Wahrscheinlichkeitsraum . . . 119

A.1.2 Unabh¨angigkeit . . . 120

A.1.3 Der Satz von Radon-Nikodym, Dichten . . . 121

A.1.4 Die bedingte Erwartung . . . 123

A.2 Martingale . . . 125

A.3 Konvergenz von zuf¨alligen Folgen . . . 126

Appendix B . . . .129

B.1 Geometrische Charakterisierung von arbitragefreien Marktmodellen . . . 129

B.1.1 Grundlagen . . . 129

B.1.2 Anwendung . . . 132

Appendix C . . . .135

C.1 Grundlagen der Funktionalanalysis . . . 135

C.1.1 Normierte Vektorr¨aume, Banachr¨aume, Hilbertr¨aume . . 135

C.1.2 Beispiele normierter Vektorr¨aume, Banachr¨aume, Hilbertr¨aume . . . 136

C.1.3 Trennung in endlichdimensionalen Vektorr¨aumen . . . 137

C.1.4 Trennungss¨atze von Hahn-Banach . . . 140

Arbitragetheorie in diskreter Zeit

Arbitragetheorie in einer Periode

1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing

Marktmodell und Arbitrage.F¨ur ein Marktmodell in einer Periode (Ein- periodenmodell) sind gegeben:

(i) d+ 1 Wertpapiere (Assets), d∈N,

(ii) zwei Zeitpunkte:t= 0 (heute) undt= 1 (Zukunft).

Zum Zeitpunktt= 0 sind die Preise (z.B. in EUR) der Wertpapiere bekannt:

πⁱ≥0 f¨uri= 0, . . . , d.

Zum Zeitpunkt t = 1 sind die Kursentwicklungen bzw. Preise hingegen un- sicher. Die zuk¨unftigen Kurse modellieren wir als Zufallsvariablen auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P):

Sⁱ:Ω→[0,∞), i= 0,1, . . . , d.

Sⁱ(ω) ist dann der Preis desi-ten Assets zum Zeitpunktt= 1 bei gegebenem Szenarioω∈Ω.

Das 0-te Wertpapier spielt eine besondere Rolle und modelliert ein Bankkonto (Bond). Wir setzen

π⁰= 1 und

S⁰=S⁰(ω) = 1 +r,

wobeir >−1,r∈R, den Zinssatz modelliert. 1 Euro Startkapital auf meinem Bankkonto zum Zeitpunkt t = 0 entwickelt sich also mit dem deterministi- schen Zinssatzrzu (1 +r) Euros zum Zeitpunktt= 1 (f¨ur das Bankkonto ist somit die Wertentwicklung zum Zeitpunkt t= 1 schon zum Zeitpunkt t= 0 bekannt).

S⁰wird auch als

”riskfree Asset“ undS¹, . . . , S^dals

”risky Assets“ bezeichnet.

Notation 1.1 Wir notieren π:= π¹, . . . , π^d

∈R^d+,

¯

π:= π⁰, π¹, . . . , π^d

(= (π⁰, π))∈R^d+1+ , S:= S¹, . . . , S^d

, S¯:= S⁰, S¹, . . . , S^d

(= (S⁰, S)).

Definition 1.2 Ein Portfoliooder auch Strategie ist ein Vektor ξ¯= ξ⁰, ξ

= ξ⁰, ξ¹, ..., ξ^d

∈R^d+1,

wobeiξⁱ die Anzahl desi-ten Assets im Portfolio ist (insbesondere entspricht ξ⁰ dem Geld auf der Bank).

Der Anfangswert (Preis) eines Portfolios zur Zeit t= 0 wird gegeben durch V0= ¯ξ·π¯=

d

X

i=0

ξⁱπⁱ

und der Endwert desselben Portfolios zur Zeit t= 1 durch V1= ¯ξ·S¯=

d

X

i=0

ξⁱSⁱ.

Bemerkung 1.3 In der Definition unseres Marktmodells sind folgende An- nahmen impliziert:

(a) ξⁱ<0 m¨oglich, das heißt

”short selling“ ist erlaubt.

(b) Keine Transaktionskosten.

(c) Kein Unterschied zwischen Kauf-/Verkaufspreis (kein Bid/Ask-Spread).

(d) Liquidit¨at: alle Assets sind in beliebig großer Zahl verf¨ugbar/verk¨auflich, zudem beliebig st¨uckelbar.

Definition 1.4 Die diskontierten Preisedefinieren wir durch Xⁱ:= Sⁱ

1 +r, i= 0, . . . , d und die diskontierten Wertver¨anderungendurch

Yⁱ:=Xⁱ−πⁱ= Sⁱ

1 +r −πⁱ, i= 1, . . . , d.

Weiter definieren wir:

X¯ := (X⁰, X) := (1, X¹, . . . , X^d) und

Y := Y¹, . . . , Y^d . Bemerkung 1.5

(a) Wir betrachten diskontierte Preise, um Preise in t = 1 mit Preisen in t= 0 vergleichen zu k¨onnen: 1 Euro heute ist mehr wert als 1 Euro zum Zeitpunkt t = 1 (unter der Annahme positiver Zinsen r > 0). Deshalb betrachten wir Preise nicht in der Einheit

”W¨ahrung“ sondern in der Einheit

”Bond“ (1 Bond heute ist 1 Bond int= 1). F¨ur die diskontierten Preise verwenden wir daher den Bond alsNum´eraire.

(b) Alternativ k¨onnte jedes andere strikt positive Wertpapier (bzw. Portfolio) als Num´eraire verwendet werden (das heißt, alle Preise werden in Einhei- ten dieses Num´eraire ausgedr¨uckt).

Definition 1.6 Ein Portfolioξ¯∈R^d+1 heißt Arbitragem¨oglichkeitoder ein- fach Arbitrage, falls

V₀= ¯ξ·¯π≤0, V₁= ¯ξ·S¯≥0, P−f.s., und P ξ¯·S >¯ 0

>0.

Ein Marktmodell ¯π,S¯

nennen wir arbitragefrei, falls es keine Arbitrage zul¨asst.

Bemerkung 1.7

(i) Unter einer Arbitragem¨oglichkeit versteht man also die M¨oglichkeit, einen

”risikofreien Gewinn“ zu erzielen. Wir gehen davon aus, dass in ef- fizienten M¨arkten Arbitragem¨oglichkeiten nicht realisierbar sind. Diese Arbitragefreiheit wird im Folgenden unsere Schl¨usselannahme zur Be- wertung von Finanzprodunkten sein.

(ii) Ist ein Marktmodell arbitragefrei, so gilt Sⁱ = 0 P−f.s. falls πⁱ = 0, weshalb wir im Folgenden o. B. d. A. (kurz f¨ur ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit)πⁱ>0 voraussetzen k¨onnen.

(iii) In der Definition von Arbitrage spieltPnur bei der Festlegung der Null- mengen eine Rolle. Daher gilt: istQein zuP¨aquivalentes Wahrschein- lichkeitsmaß, so istξeine Arbitragem¨oglichkeit bez¨uglichPgenau dann, wennξeine Arbitragem¨oglichkeit bez¨uglichQist.

Lemma 1.8 Es sind ¨aquivalent:

(a) Es existiert eine Arbitragem¨oglichkeit.

(b) Es existiert ξ¯∈R^d+1, so dass

ξ¯·π¯≤0, ξ¯·X¯ ≥0 P−f.s. und P ξ¯·X >¯ 0

>0, wobei X¯ := X⁰, . . . , X^d

.

(c) Es existiert ξ∈R^d mit

ξ·Y ≥0 P−f.s. und P(ξ·Y >0)>0, das heißt

ξ·S ≥(1 +r)ξ·π P−f.s. und P(ξ·S >(1 +r)π)>0.

Beweis: Ubung.¨ ut

Fundamental Theorem of Asset Pricing.Nun kommen wir zum Haupt- satz des Kapitels. Zun¨achst f¨uhren wir folgende Definition ein:

Definition 1.9 Ein WahrscheinlichkeitsmaßP^∗ auf (Ω,F) heißt risikoneu- trales Maß oder Martingalmaß, falls

πⁱ=EP^∗

Sⁱ 1 +r

, f¨ur allei= 0, . . . , d.

Wir notieren mit

P :={P^∗|P^∗≈P, P^∗ istMartingalmaß}

die Menge der ¨aquivalentenMartingalmaße.

Theorem 1.10 (FTAP - Fundamental Theorem of Asset Pricing) Ein Markt ist arbitragefrei genau dann, wenn

P 6=∅.

In diesem Fall existiert sogar ein P^∗ ∈ P mit beschr¨ankter Radon-Nikodym- Dichte ^d_d^P∗

P.

Beweis: Angenommen es gelte P 6= ∅. Sei P^∗ ∈ P und ¯ξ ∈ R^d+1 eine Strategie, so dass ¯ξ·X¯ ≥0P−f.s. undP ξ¯·X >¯ 0

>0. Dann gilt 0<EP^∗ξ¯·X¯

= ¯ξ·EP^∗X¯^Def.1.9

= ξ¯·π,¯ ξ¯kann also keine Arbitragem¨oglichkeit sein.

Nun die andere Richtung der ¨Aquivalenz.

(i) Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit k¨onnen wirEP[kYk]<∞anneh- men, das heißt

EP

|Yⁱ|

<∞ f¨ur allei= 1, . . . , d,

denn falls E[kYk] = ∞ist, betrachte ˜P gegeben durch ^d_d^P_P^˜ = _1+kY¹ _k·c, wobei c:= ¹

EP[_1+kY¹ _k]. Dann gilt

EP

"

dP˜ dP

#

= 1, dP˜

dP >0 und dP˜ dP < c.

Damit erhalten wir

E_P^˜[kYk] =EP

"

dP˜ dPkYk

#

=EP

1

1 +kYk· kYk

·c≤c

<∞.

Mit Bemerkung 1.7 folgt nun: Der Markt ist arbitragefrei unter Pgenau dann, wenn er unter ˜Parbitragefrei ist.

Weiterhin, angenommen es gibt einP^∗∈P˜ mit beschr¨ankter Dichte ^dP∗

dP˜ . Dann ist auch

dP^∗ dP = dP^∗

dP˜ ·dP˜ dP beschr¨ankt.

(ii) Sei alsoEP[kYk]<∞. Wir definieren:

Q:=

Q|QWahrscheinlichkeitsmaß, Q≈P, dQ

dP beschr¨ankt

und

C:={EQ[Y]|Q∈ Q},¹ wobei EQ[Y] gerade der VektorEQ[Y] := EQ

Y¹ , ...,EQ

Y^d ist.

Es gibt ein ¨aquivalentes Martingalmaß P^∗ ∈ P ∩ Q genau dann, wenn 0∈ C.

Angenommen 0∈ C. Es gilt offensichtlich, dass/ P∈ Q und somitC 6=∅.

Weiter ist C konvex, denn sei 0< α <1 undEQ1[Y],EQ2[Y]∈ C, dann gilt

αEQ1[Y] + (1−α)EQ2[Y] =EQα[Y]∈ C,

mit Qα = αQ1+ (1−α)Q2 ∈ Q. Aus dem Trennungssatz in endlicher Dimension (siehe Satz C.15) folgt nun die Existenz eines ξ∈R^d mit

ξ·EQ[Y]≥0 f¨ur alleQ∈ Q, (1.1) ξ·EQ⁰[Y]>0 f¨ur mindestens einQ⁰∈ Q. (1.2) Aus (1.2) folgt

1 EQ Yⁱ

= EP_dQ

dPYⁱ

dQ

dP beschr¨ankt

≤ c·EP

|Yⁱ|

< ∞, wobei c ∈ R. Da Y integrierbar unterPist folgt nun, dassEQ

Yⁱ

wohldefiniert ist.

Q⁰(ξ·Y >0)>0.

DaP ≈ Q⁰, folgt nun

P(ξ·Y >0)>0.

Bleibt also nur noch zu zeigen, dassξ·Y ≥0 P−f.s..

Dazu definieren wir

ϕ_n :=

1− 1

n

1A+1 n1A^C,

wobei n = 2,3,4, . . . und A := {ξ·Y <0} und A^C = Ω\A die zu A komplement¨are Menge ist. Weiter definieren wir Wahrscheinlichkeitsmaße Qⁿ≈Pdurch

dQⁿ

dP = ϕn

EP[ϕ_n], f¨urn= 2,3,4, . . . . Dann gilt 0< ^d_d^Q_Pⁿ ≤1 und damitQⁿ∈ Q.

Aus (1.1) folgt nun

ξ·EQⁿ[Y] =EQⁿ[ξ·Y] = EP[ξ·Y ϕn] EP[ϕn] ≥0 und damit

n→∞lim EP[ξ·Y ϕ_n] =EP

hξ·Y lim

n→∞ϕ_ni

=EP[ξ·Y1A]

≥0,

wobei in der ersten Gleichung der Satz der dominierten Konvergenz an- gewandt wurde. AlsoP(A) = 0 und somitξ·Y ≥0P−f.s..

Mit Lemma 1.8 folgt nun, dass ξ eine Arbitragem¨oglichkeit ist. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass das Marktmodell arbitragefrei ist. Das heißt 0∈ C.

u t

Korollar 1.11 Sei lediglich S¯= (S⁰, . . . , S^d)gegeben.

(a) Die Menge aller m¨oglichen abritragefreien Preise ist gegeben durch:

Π :=

EQ[ ¯X]|Q∈ Q , wobeiQ:={QWahrscheinlichkeitsmaß|Q≈P, ^d_d^Q

P beschr¨ankt}.

(b) Die MengeΠ ist konvex und nicht-leer.

Beweis:

(a) Folgt direkt aus dem Theorem 1.10 (FTAP).

(b) Qist konvex und nicht-leer und somit auch Π, weil die Abbildung Q 3 Q7→EQ[ ¯X]∈Π affin ist.

u t Beispiel 1.12 Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mitΩ={ω1, . . . , ωn}, F =P(Ω) (Potenzmenge) undP(ωi) =:pi>0. Wir betrachten einen Markt bestehend aus einem Bond

und aus einem risky Asset

Dabei sei:

S¹(ω1) =:s1, . . . , S¹(ωn) =:sn.

Wann ist dieses Modell arbitragefrei? Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ˜P≈Pist hier gegeben durch einen Vektor (˜p1, . . . ,p˜n) mit ˜pi > 0, i = 1, . . . , n, und Pn

i=1p˜i= 1 (es gilt dann ˜P(ωi) = ˜pi,i= 1, . . . , n). Laut Korollar 1.11 ist der Markt arbitragefrei genau dann, wenn

π¹(1 +r)∈ ( _n

X

i=1

sip˜i|p˜i>0,

n

X

i=1

˜ pi = 1

) .

Also existiert ein ¨aquivalentes MartingalmaßP^∗ genau dann, wenn p^∗_i :=P^∗(ω_i) folgende Bedingungen erf¨ullt:

(i) p^∗_i >0, p^∗₁+· · ·+p^∗_n= 1, (ii) π¹(1 +r) =s1p^∗₁+· · ·+snp^∗_n.

Falls eine L¨osung von (i) und (ii) existiert, dann ist sie f¨ur n = 2 eindeutig und f¨ur n >2 gibt es unendlich viele L¨osungen.

Replizierbare Auszahlungsprofile und das Gesetz eines eindeutigen Preises

Definition 1.13 Der lineare Vektorraum von Zufallsvariablen V :=ξ¯·S¯|ξ¯∈R^d+1

wird die Menge der replizierbaren Auszahlungsprofile (attainable payoffs)ge- nannt (Payoffs die durch ein Portfolio generiert werden k¨onnen).

Im Allgemeinen existiert f¨urV ∈ V kein eindeutiges generierendes Portfolio.

Es gilt jedoch die folgende Proposition:

Proposition 1.14 (Law of one price)

Sei das Marktmodell arbitragefrei und V ∈ V mit V = ¯ξ·S¯= ¯η·S¯ P−f.s.

f¨urξ¯6= ¯η∈R^d+1. Dann giltξ¯·π¯= ¯η·π¯ und π(V) := ¯ξ·π¯ ist der eindeutige arbitragefreie Preis vonV. Beweis: W¨ahleP^∗∈ P². Dann gilt:

ξ¯·π¯= ¯ξ·EP^∗[ ¯X]

=EP^∗[ ¯ξ·X]¯

=EP^∗[¯η·X¯]

= ¯η·EP^∗[ ¯X] = ¯η·π¯

Alle anderen Preise w¨urden offensichtlich eine Arbitragem¨oglichkeit ergeben.

u t Renditen

Definition 1.15 Der Markt sei arbitragefrei undV ∈ V mitπ(V)6= 0. Dann definieren wir die Rendite (Return)von V durch:

R(V) := V −π(V) π(V) . Insbesondere gilt, falls:

2 Da der Markt arbitragefrei ist, gilt laut Theorem 1.10 (FTAP)P 6=∅.

(i) V =S⁰, so folgt

R(V) =R(S⁰)

= S⁰−π(S⁰) π(S⁰)

= r+ 1−1 1 =r.

(ii) V =Pn

k=1α_kV_k, 06=V_k∈ V, so folgt R(V) = V −π(V)

π(V)

= Pn

k=1α_kV_k−Pn

k=1α_kπ(V_k) Pn

k=1αkπ(Vk)

=

n

X

k=1

αkπ(Vk)

π(V_k) ·Vk−π(Vk) α_kπ(V_k)

=

n

X

k=1

β_kR(V_k),

wobei β_k =^αk_π(V^π(V₎^k). (iii) V = ¯ξ·S, so folgt aus (ii)¯

R(V) =

d

X

i=0

ξⁱπⁱ ξ¯·¯πR(Sⁱ).

Proposition 1.16 Sei der Markt arbitragefrei und sei V ∈ V mitπ(V)6= 0.

Dann gilt:

(a) F¨ur P^∗∈ P istEP^∗[R(V)] =r (unter einem ¨aquivalenten Martingalmaß P^∗ besitzt jedes Portfolio den risikofreien Zinssatzrals erwartete Rendi- te!).

(b) F¨ur Q≈P^∗, P^∗∈ P mitEP^∗[|S|]¯ <∞ist EQ[R(V)] =r−cov_Q

dP^∗ dQ, R(V)

, wobei wir mitcov_Q die Kovarianz bez¨uglich Qnotieren.

Beweis:

(a) DaEP^∗[V] =π(V)(1 +r), gilt:

EP^∗[R(V)] = EP^∗[V]−π(V) π(V) =r.

(b) Sei ϕ^∗= ^d_d^P_Q^∗. Dann gilt:

cov_Q(ϕ^∗, R(V)) =EQ[ϕ^∗R(V)]−EQ[ϕ^∗]

| {z }

=1

EQ[R(V)]

=EP^∗[R(V)]−EQ[R(V)].

Mit (a) folgt nun die Behauptung.

u t Bemerkung 1.17 (Redundante Marktmodelle)

Das Marktmodell sei arbitragefrei und ¯ξ ∈R^d+1, so dass ¯ξ·S¯ = 0 P−f.s..

Falls ¯ξ6= 0, existiert i∈ {0, . . . , d}, so dassξⁱ6= 0 und Sⁱ =−1

ξⁱ X

k=0k6=i

ξ^kS^k,

πⁱ =−1 ξⁱ

X

k=0k6=i

ξ^kπ^k.

Das WertpapierSⁱ ist somit redundant (kann durch die ¨ubrigen Wertpapie- re dargestellt werden) und kann weggelassen werden. O. B. d. A. nehmen wir deshalb im Folgenden an:

Wenn ¯ξ·S¯= 0P−f.s., dann gilt ¯ξ= 0. (1.3) Falls (1.3) gilt, heißt das Marktmodellnicht-redundant.

Bemerkung 1.18 (Num´eraire)

Die Definition von Arbitrage ist unabh¨angig von der Wahl des Num´eraires.

Daher k¨onnen wir analoge Ergebnisse des Theorems 1.10 (FTAP) f¨ur einen beliebigen Num´eraire herleiten.

Nehmen wir zum Beispiel an π¹ >0,S¹ >0 P−f.s., k¨onnen wir das erste Wertpapier als Num´eraire, das heißt als Preiseinheit, verwenden.

Definition. P˜^∗≈Pist ein¨aquivalentes Martingalmaßbez¨uglich dem Num´eraire S¹, falls:

πⁱ π¹ =E_P^˜∗

Sⁱ S¹

, i= 0, . . . , d.

Sei ˜P :={P˜^∗ ¨aquivalentes Martingalmaß bzgl. Num´eraireS¹}. Dann gilt:

(a) ˜P=n

P˜^∗| ^d_d^P_P^˜∗∗ = ^S1

EP∗[S¹], P^∗∈ Po .

(b) ˜P ∩ P=∅, fallsS¹ P−f.s.nicht-konstant.

Beweis: Ubung.¨ ut

1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims)

Definition 1.19 Ein Contingent Claim(oder Claim) ist eine Zufallsvariable C auf (Ω,F,P), so dass

0≤C <∞ P−f.s..

Ein Derivat ist ein Contingent Claim C welcher σ(S⁰, . . . , S^d)-messbar ist, d.h.

C=f(S⁰, . . . , S^d), f¨ur eine messbare Funktionf:R^d+1→R+. Bemerkung 1.20

(a) Ein Contingent Claim ist ein Finanzprodukt, bei dem der Verk¨aufer des Claims sich zur Zahlung von C = C(ω) (Payoff) an den K¨aufer zum Zeitpunktt= 1 verpflichtet.

(b) An Finanzm¨arkten existieren auch Claims/Derivate mit m¨oglichen ne- gativen Payoffs (Kombination von long/short-Positionen in Derivate mit nicht negativen Payoffs).

Beispiel 1.21 (Ein paar Derivate) (a) FORWARD

Ein Vertrag in dem zum Zeitpunktt= 0 ein fester PreisK(forward price) f¨ur ein bestimmtes WertpapierSⁱ zum Zeitpunktt= 1 vereinbart wird.

Payoff:C(ω) =Sⁱ(ω)−K.

(b) CALL OPTION

Ein Vertrag, der dem K¨aufer der Call Option die M¨oglichkeit (Option), aber nicht die Verpflichtung gibt, ein WertpapierSⁱzu einem festen Preis K(strike price) zum Zeitpunktt= 1 zu kaufen.

Payoff:C(ω) = ( Sⁱ(ω)

| {z }

Basiswert

−K)⁺:= max{Sⁱ−K,0}.

(c) PUT OPTION

Ein Vertrag, der dem K¨aufer der Put Option die M¨oglichkeit aber nicht die Verpflichtung gibt, ein WertpapierSⁱ zu einem festen PreisK(strike price) zum Zeitpunktt= 1 zu verkaufen.

Zum Zeitpunktt= 1 gilt:

Sⁱ−K= (Sⁱ−K)⁺−(K−Sⁱ)⁺.

Unter der Arbitragefreiheit muss dann auch die Gleichheit f¨ur die Preise zum Zeitpunktt= 0 gelten:

πⁱ− K

1 +r =π(Call)−π(P ut).

Daraus folgt die sogenanntePut-Call-Parit¨at: π(Call) =π(P ut) +πⁱ− K

1 +r.

(d) BASKET-OPTION

Optionen/Derivate auf ein Portfolio von Wertpapieren mitV(ω) = ¯ξ·S(ω)¯ als Basiswert. Zum Beispiel:

Call: (V −K)⁺ Put: (K−V)⁺.

(e) STRADDLE

Eine Absicherung dagegen, dass sich ein PortfoliowertV = ¯ξ·S¯von seinem Anfangswertπ(V) weg bewegt, egal in welche Richtung:

C= (V −π(V))⁺+ (π(V)−V)⁺(= ”Call” + ”P ut”) =|V −π(V)|.

Definition 1.22 (arbitragefreie Preise eines Claims)

π^C ≥0 ist ein arbitragefreier Preis f¨ur einen Claim C, falls der erweiterte Markt

(π⁰, . . . , π^d, π^d+1=π^C),

(S⁰, . . . , S^d, S^d+1=C) (1.4) arbitragefrei ist. Wir notieren die Menge aller arbitragefreien Preise von C mitΠ(C).

Proposition 1.23 Sei C ein Claim in einem arbitragefreien Markt (¯π,S).¯ Dann ist die MengeΠ(C) aller arbitragefreien Preise f¨ur C gegeben durch:

Π(C) =

EP^∗

C 1 +r

|P^∗∈ P ¨aquivalentes Martingalmaß mitEP^∗[C]<∞

Π(C)ist ein nicht-leeres Intervall.

Beweis: Seiπ^C∈Π(C). Laut Theorem 1.10 (FTAP) existiert ein ¨aquivalentes MartingalmaßP^∗ f¨ur unseren erweiterten Markt (1.4), d.h.

P^∗≈PundEP^∗

Sⁱ 1 +r

=πⁱ f¨ur allei= 0, . . . , d+ 1.

Insbesondere ist dann wegen

EP^∗

C 1 +r

=π^C P^∗∈ P und

EP^∗[|C|] =EP^∗[C] = (1 +r)π^C<∞.

Sei nunπ^C :=EP^∗

h C 1+r

i

f¨ur einP^∗ ∈ P. Dann ist P^∗ auch ein ¨aquivalentes Martingalmaß f¨ur den erweiterten Markt (1.4). Laut Theorem 1.10 (FTAP) ist dannπ^C∈Π(C).

Wir zeigen nun, dassΠ(C) ein nicht-leeres Interval ist.

(i) Zun¨achst zeigen wir, dass Π(C) konvex ist: f¨ur P^∗1,P^∗2 ∈ P mit EP^∗₁,P^∗₂[C]<∞undλ∈[0,1] gilt:

λEP^∗1

C 1 +r

+ (1−λ)EP^∗2

C 1 +r

=EP^∗

C 1 +r

∈Π(C), wobei P^∗:=λP^∗1+ (1−λ)P^∗2∈ P undEP^∗[C]<∞.

(ii) Nun zeigen wir, dassΠ(C) nicht-leer ist. SeiP^∗≈Pdefiniert durch dP˜

dP = 1

1 +C · 1 EP

h 1 1+C

i. Dann gilt:

E_P^˜[C] =EP

1 1 +C ·C

1 EP

h 1 1+C

i <∞.

Laut Theorem 1.10 (FTAP) existiert ein ¨aquivalentes Martingalmaß P^∗∈ P mit ^dP∗

dP˜ beschr¨ankt, d.h. ^dP∗

dP˜ ≤k, f¨ur eine Konstantek >0, so dass

EP^∗[C] =E_P^˜

C· dP^∗ dP

≤K·E_P^˜[C]<∞.

Somit giltπ^C=EP^∗

h C 1+r

i∈Π(C).

u t Definition 1.24 Die untere bzw. obere Arbitragegrenze eines Claims C ist definiert als

πinf(C) := infΠ(C)∈[0,∞) bzw.

πsup(C) := supΠ(C)∈[0,∞].

Theorem 1.25 (Dualit¨atsrelationen f¨ur Arbitragegrenzen) In einem ar- bitragefreien Marktmodell sind die Arbitragegrenzen eines Claims C gegeben durch

(a)

πinf(C) = inf

P^∗∈PEP^∗

C 1 +r

= max

m∈[0,∞)| ∃ξ∈R^d mitm+ξ·Y ≤ C

1 +r P−f.s.

. (b)

πsup(C) = sup

P^∗∈PEP^∗

C 1 +r

= min

m∈[0,∞)| ∃ξ∈R^d mitm+ξ·Y ≥ C

1 +r P−f.s.

.

Beweis: Wir beweisen nur (b), der Fall (a) wird analog bewiesen.

Zun¨achst zeigen wir, dassπsup(C)≤infM, wobei M:=

m∈[0,∞]| ∃ξ∈R^d mit m+ξ·Y ≥ C

1 +r P−f.s.

. Seim∈ MundP^∗∈ P. Dann folgt

EP^∗

C 1 +r

≤EP^∗[m+ξ·Y]

P^∗∈P

=↓ m und damit

infM ≥ sup

P^∗∈PEP^∗

C 1 +r

≥ sup

P^∗∈P EP∗[C]<∞

EP^∗

C 1 +r

=πsup(C).

Nun zeigen wir infM ≤πsup(C).

1. Der Fall π_sup(C) =∞ist trivial.

2. Seiπ_sup(C)<∞undm > π_sup(C).

Aus Proposition 1.23 folgt die Existenz einer Arbitragem¨oglichkeit im erweiterten Markt mit π^d+1 = m und S^d+1 = C. Also existiert ein

ξ, ξ^d+1

∈R^d+1, so dass ξ·Y +ξ^d+1

C 1 +r−m

≥0 P−f.s.

und

P

ξ·Y +ξ^d+1 C

1 +r−m

>0

>0 P−f.s..

Da das urspr¨ungliche Marktmodell (π, S) arbitragefrei ist, ist ξ^d+1 6= 0.

Desweiteren gilt f¨urP^∗∈ P mitEP^∗[C]<∞ EP^∗

ξ·Y +ξ^d+1 C

1 +r−m

=ξ^d+1

EP^∗

C 1 +r

−m

≥0.

Dam > πsup(C) gilt aber EP^∗

C 1 +r

−m <0.

Und damitξ^d+1<0. Daraus folgt f¨urη:= −ξ ξ^d+1 m+η·Y ≥ C

1 +r P−f.s., alsom∈ M. Es folgt nun

infM ≤π_sup(C).

Zuletzt zeigen wir, dass infM= min

m∈[0,∞)| ∃ξ∈R^d mit m+ξ·Y ≥ C

1 +r P−f.s.

. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit sei infM<∞und das Marktmo- dell nicht redundant (Bemerkung 1.17).

Sei (m_n)_n∈N∈ Mmit

n→∞lim mn= infM=πsup(C) und w¨ahle f¨ur alle n∈Neinξn∈R^d, so dass

m_n+ξ_n·Y ≥ C

1 +r P−f.s..

1. Fall: (ξ_n)_n∈N beschr¨ankt (d.h. es existiert k >0, so dass kξnk< k f¨ur alle n∈N).

Dann existiert eine konvergente Teilfolgeξn_k

−k→∞−−−→ξ∈R^d, so dass π_sup(C) +ξ·Y = lim

k→∞(m_nk+ξ_nkY)≥ C

1 +r P−f.s., das heißt

πsup(C)∈ M.

2. Fall: (ξ_n)_n∈N nicht beschr¨ankt.

Es existiert also eine Teilfolgeξ_nk, so dass lim

k→∞kξ_nkk=∞.

Definiere

ηk := ξ_nk

kξn_kk, k∈N.

Offensichtlich giltkηkk= 1 f¨ur alle k∈N. Die Folge (ηk)k∈Nist also beschr¨ankt.

Es existiert also eine konvergente Teilfolgeηk_l

−−−→l→∞ η mitkηk= 1.

Dann gilt lim

l→∞

m_nkl

kξn_klk+η_kl·Y

!

=η·Y ≥ lim

l→∞

C 1 +r

1

kξn_klk = 0, P−f.s.

Da das Martkmodell arbitragefrei ist, folgtη·Y = 0 P−f.s.

Außerdem ist das Marktmodell nicht redundant, wasη= 0 impliziert.

Dies steht im Widerspruch zukηk= 1. Demnach ist nur der erste Fall m¨oglich.

u t Definition 1.26 Sei C ein Claim. Ein Portfolio ξ ∈ R^d+1 heißt Sub- bzw.

Superhedgevon C, falls

ξ·S≤C bzw. ξ·S ≥C P−f.s..

Wir nennenξ¯·π¯ Sub- bzw. Superhedgingpreis vonC. Gilt sogarξ·S=C P− f.s., dann heißt der Claim C replizierbar (oder attainable), d.h. C ∈ V aus Definition 1.13. Wir nennen ξHedge, oder replizierendes Portfoliovon C.

Bemerkung 1.27

(a) Seiξ ein Superhedge von C. F¨ur den Claimpreisπ^C =ξ·π (Superhed- gingpreis) kann sich derVerk¨aufer des Claims mittels Kauf des Superhed- geportfolios gegen jegliche Claimforderung zum Zeitpunktt= 1 absichern.

(b) Analog bietet f¨ur einen Subhedge ξ der Claimpreis π^C =ξ·π (Subhed- gingpreis) demK¨aufer die M¨oglichkeit den Claimpreis durch Verkauf des Subhedgeportfolios zu decken.

(c) IstCreplizierbar durch ein Portfolioξ, so ist der Preis ¯ξ·π¯des replizieren- den Portfolio sowohl (maximaler) Subhedgingpreis wie auch (minimaler) Superhedgingpreis.

Interpretation von (a) und (b) in Theorem 1.25

zu (b): Istξein Superhedge von C, so erf¨ullenm:=ξ·πundη=ξ

m+η·Y ≥ C

1 +r P−f.s., denn es gilt

ξ·S 1 +r ≥ C

1 +r genau dann, wenn

ξ·π

|{z}=m

+ ξ·S 1 +r−ξ·π

| {z }

=η·Y

≥ C 1 +r.

Sei umgekehrtm∈[0,∞) undη∈R^d, so dass m+η·Y ≥ C

1 +r P−f.s..

Dann ist ξ= (m−η·π, η) ein Superhedge von Cmit ξ·π=m.

π_sup(C) in (b) ist also derminimale Superhedingpreis.

zu (a): Analog istπinf(C) in (a) dermaximale Subhedgingpreis.

Korollar 1.28 Das Marktmodell sei arbitragefrei, weiterhin seiCein Claim.

(a) C ist replizierbar genau dann, wenn ein eindeutiger arbitragefreier Preis π^C existiert, d.h.|Π(C)|= 1.

(b) Ist C nicht replizierbar, so gilt

πinf(C)< πsup(C) und

Π(C) = (πinf(C), πsup(C)).

Beweis:

(a) IstCreplizierbar, so gilt

πinf(C)^{T hm.}=^1.25πsup(C)^{P rop.}∈^1.23Π(C), d.h.|Π(C)|= 1.

Die Umkehrung folgt aus (b).

(b) Aus Proposition 1.23 folgt, dass Π(C) ein nicht-leeres Intervall ist. Wir zeigen nun

πinf(C), πsup(C)∈/Π(C).

Aus Theorem 1.25 folgt die Existenz einesξ∈R^d, so dass π_inf(C) +ξ·Y ≤ C

1 +r P−f.s.. (1.5)

Wir betrachten nun den erweiterten Markt (π, πinf(C)),(S, C) und das Portfolio (ξ·π−πinf(C),−ξ,1)∈R^d+2.

F¨urt= 0 gilt dann

ξ·π−π_inf(C)−ξ·π+π_inf(C) = 0.

Und f¨urt= 1 erhalten wir

(ξ·π−πinf(C))(1 +r)−ξ·S+C

(1.5)

≥ 0 P−f.s.

und

P((ξ·π−π_inf(C))(1 +r)−ξ·S+C >0)>0 P−f.s., daC nicht replizierbar ist.

Es existiert also eine Arbitragem¨oglichkeit im erweiterten Markt. Damit gilt

πinf(C)∈/Π(C).

F¨urπsup(C)∈/Π(C) folgt der Bewewis analog.

u t Bemerkung 1.29 Aus Korollar 1.28 folgt:

(i) Ist C replizierbar durch ein Portfolio ¯ξ, so ist der maximale Subhed- gingpreisπinf(C) und der minimale Superhedgingpreisπsup(C) gegeben durch den eindeutigen arbitragefreien Claimpreis ¯ξ·π.¯

(ii) Ist C nicht replizierbar, sind Sub- bzw. Superhedgingpreise nicht arbi- tragefrei!

Beispiel 1.30 (Universal arbitrage bounds for put and call options)

Wir betrachten im Folgenden ein arbitragefreies Marktmodell, sowie Put und Call Optionen auf demi-ten Wertpapier mit StrikeK.

C^Call:= (Sⁱ−K)⁺ , C^{P ut}:= (K−Sⁱ)⁺. Offensichtlich giltC^Call ≤Sⁱ, so dass

EP^∗

C^Call 1 +r

≤πⁱ f¨ur alle P^∗∈ P, i= 0, . . . , d. (1.6)

Andererseits erhalten wir aus der Jensenschen Ungleichung, dass EP^∗

C^Call 1 +r

≥

EP^∗

Sⁱ 1 +r

− K 1 +r

⁺

=

πⁱ− K 1 +r

+

, (1.7)

f¨uri= 0, . . . , d. Aus (1.6) und (1.7) erhalten wir die folgenden Arbitragegren- zen f¨ur eine Call Option:

πⁱ− K 1 +r

⁺

≤πinf(C^Call)≤πsup(C^Call)≤πⁱ, f¨uri= 0, . . . , d.

F¨urC^{P ut}ergibt sich analog K

1 +r−πⁱ +

≤πinf(C^{P ut})≤πsup(C^{P ut})≤ K 1 +r f¨uri= 0, . . . , d. F¨urr≥0 gilt weiterhin

(πⁱ−K)⁺≤πinf(C^Call)

f¨uri= 0, . . . , d. Dabei wird (πⁱ−K)⁺ intrinsic value gennant, und es folgt, dass f¨ur einen arbitragefreien Preis π^Call derTime Value π^Call−(πⁱ−K)⁺ einer Call Option positiv ist. F¨ur Put Optionen ist der intrinsic value (K−πⁱ)⁺ nur f¨urr≤0 eine untere Schranke.

Man sagt im Fall

intrinsic value >0: Option is “in the money”

πⁱ=K: Option is “at the money”

sonst: Option ist “out of the money”

1.3 Vollst¨ andigkeit von Marktmodellen

Definition 1.31 Ein Marktmodell heißt vollst¨andig (complete), falls jeder Claim replizierbar ist.

Theorem 1.32 (Second FTAP) Ein Marktmodell ist arbitragefrei und vollst¨andig genau dann, wenn

| P |= 1, d.h. es existiert genau einP^∗∈ P.

Beweis: Angenommen das Marktmodell ist arbitragefrei und vollst¨andig. Aus der Vollst¨andigkeit des Marktmodells folgt, dass f¨ur alleA∈ F die Indikator- funktion1^A ein replizierbarer Claim ist.

Korollar 1.28 (a) impliziert nun, dass P^∗(A) =EP^∗[1^A] unabh¨angig von der Wahl von P^∗ ∈ P 6= ∅ ist, da das Marktmodell arbitragefrei ist. Damit ist

| P |= 1.

AngenommenP ={P^∗}.Csei ein Claim und

Π(C) =

EP^∗

C 1 +r

|P^∗∈ P, EP^∗[C]<∞

die nicht-leere Menge der arbitragefreien Preise (Prop.1.23). Da| P |= 1 folgt

|Π(C)|= 1. Mit Korollar 1.28 (a) folgt nun, dassC replizierbar ist. ut Proposition 1.33 Ist das Marktmodell vollst¨andig, so gilt

L⁰(Ω,F,P) =span(S⁰, . . . , S^d) :=

ξ·S|ξ∈R^d+1 =V.

Insbesondere ist F = σ(S⁰, . . . , S^d) modulo P-Nullmengen. Weiterhin exis- tiert eine Partition von Ω in h¨ochstens (d+ 1) Atome in (Ω,F,P). Ist das Modell zus¨atzlich arbitragefrei, alsoP ={P^∗}, gilt weiterhin

L⁰(Ω,F,P) =L¹(Ω,F,P^∗).

Bemerkung 1.34

(a) Zur Erinnerung: Ein Atom aus (Ω,F,P) ist einA∈ F, so dassP(A)>0 und f¨ur alleB∈ F mitB ⊆A giltP(B) = 0 oderP(B) =P(A).

(b) Proposition 1.33 besagt also, dass vollst¨andige Einperiodenmodelle end- liche Wahrscheinlichkeitsr¨aume implizieren. Vollst¨andige Modelle in dis- kreter Zeit sind also sehr limitiert!

Beweis: Offensichtlich gilt L⁰(Ω,F,P)

_falls∃P∗∈P

⊇ L¹(Ω,F,P^∗)

⊇ V.

Sei das Modell vollst¨andig und Z ∈ L⁰(Ω,F,P). Dann sind die Claims Z⁻ := −min{0, Z} und Z⁺ := max{0, Z} replizierbar und somit in V. Da Z=Z⁺−Z⁻, istZ auch inV und damit dimL⁰(Ω,F,P)≤d+ 1. Falls das Marktmodell nicht-redundant ist, gilt insbesondere dimL⁰(Ω,F,P) =d+ 1.

Ist das Modell zus¨atzlich arbitragefrei, alsoP ={P^∗}, ist L⁰(Ω,F,P) =L¹(Ω, σ(S⁰, . . . , S^d),P) =V.

Wir ben¨otigen das folgendeHilfslemma: F¨urp∈[0,∞] gilt

dimL^p(Ω,F,P)

= sup

n∈N| ∃PartitionA¹, . . . , Aⁿ vonΩ mitAⁱ∈ F undP(Aⁱ)>0 . Beweis des Hilfslemmas: Sei A¹, . . . , Aⁿ eine Partition mit P(Aⁱ) > 0.

Dann sind 1A¹, . . . ,1Aⁿ linear unabh¨angig in L^p(Ω,F,P) und somit ist dimL^p(Ω,F,P)≥n. Sei

n₀:= sup

n∈N| ∃PartitionA¹, . . . , Aⁿ vonΩ mitAⁱ∈ F undP(Aⁱ)>0 und o.B.d.A. n₀ < ∞. Sei A¹, . . . , Aⁿ⁰ eine entsprechende Partition. Dann ist Aⁱ ein Atom, i = 1, . . . , n0, nach der Definition von n0, und somit ist Z∈L^p(Ω,F,P)P-f.s. konstant aufAⁱ,i= 1, . . . , n0. Dann hatZ die Form

Z=

n₀

X

i=1

zi1Aⁱ

mitzi:=Z(ω),ω∈Aⁱ. Also bilden1A¹, . . . ,1^An0 eine Basis vonL^p(Ω,F,P) und es gilt

dimL^p(Ω,F,P) =n0.

Somit sind das Hilfslemma und damit auch die Proposition gezeigt. ut

Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell

Im Folgenden wollen wir die dynamische Erweiterung des Einperiodenmodells f¨ur Finanzm¨arkte auf mehrere Zeitschritte t= 0, ..., T betrachten. Dieses er- weiterte Modell erlaubt dann dynamische Portfolioumschichtungen zu Zeit- punktent= 0,1, ..., T.

2.1 Grundlagen Mehrperiodemodelle

Im Folgenden sei wie zuvor (Ω,F,P) der zugrunde liegende Wahrscheinlich- keitsraum.

Definition 2.1 Sei (E,E) ein messbarer Raum. Ein stochastischer Prozess X = (X_t)t∈{0,1,...,T} mit Werten in (E,E) ist eine Familie von Zufallsvaria- blenXt,t= 0,1, ..., T, mit Werten in(E,E), also messbare Abbildungen

Xt: (Ω,F)→(E,E).

Definition 2.2 Eine Familie (F_t)t∈{0,1,...,T} von σ-Algebren F_t ⊆ F, auf (Ω,F)heißt Filtration, falls

F_s⊆ F_t f¨ur alles < t, das heißt: F0⊆ F1⊆...⊆ FT ⊆ F.

Bemerkung 2.3

(i) Im Folgenden gelte stetsF0:={∅, Ω}undFT =F.

(ii) Den filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum notieren wir im Folgenden mit

Ω,(Ft)t∈{0,1,...,T},F,P .

(iii) F¨ur alle t = 0,1, ..., T modelliert Ft die bis zum Zeitpunktt beobacht- baren Ereignisse bzw. die verf¨ugbaren Informationen am Markt zum Zeitpunkt t.

Definition 2.4 Sei(Xt)_t=0,...,T ein stochastischer Prozess auf

Ω,(Ft)t∈{0,1,...,T},F,P

. Der Prozess heißt

(a) adaptiert, falls f¨ur allet= 0, ..., T die ZufallsvariableX_t(ω)Ft-messbar ist.

(b) vorhersehbar oder previsibel (predictable), falls f¨ur alle t = 1, ..., T die ZufallsvariableXt(ω)F_t−1-messbar ist.¹

Kommen wir nun zu der Spezifikation unseres Marktmodells in mehreren Perioden (Mehrperiodenmodell). Wie zuvor sindd+ 1 Wertpapiere (Assets) gegeben, die notiert sind durch

Sⁱ= Sⁱ_t

t=0,...,T, i= 0, ..., d,

wobei nunSⁱ≥0 einpositiver adaptierter Prozess ist f¨ur allei= 0, ..., d. Wir notieren weiterhin:

S¯:= S⁰, S

:= S_t⁰, S_t¹, ..., S_t^d

t=0,...,T 2

1 In dieser Definition ist (b) st¨arker als (a). Das heißt, jeder previsibler Prozess ist adaptiert, jedoch ist ein adaptierter Prozess nicht zwingend previsibel.

2 S¯ist einR^d+1-wertiger stochastischer Prozess undSist einR^d-wertiger stochas- tischer Prozess.

Definition 2.5 Eine Strategieoder Portfolio ξ¯= ¯ξt

t=1,...,T

ist ein R^d+1,B R^d+1

-wertiger, previsibler Prozess. Wir notieren ξ¯:= ξ⁰, ξ

:= ξ_t⁰, ξ_t¹, . . . , ξ_t^d

t=1,...,T.

Bemerkung 2.6 Der Wert ξ_tⁱ einer Strategie ¯ξ entspricht der Anzahl des i-ten WertpapieresSⁱim Portfolio w¨ahrend dert-ten Handelsperiode vont−1 bist.

ξ¯t wird also auf Grund der zur Zeit t−1 verf¨ugbaren Information bestimmt und ist damitF_t−1-messbar, also previsibel.

Der einer Strategie ¯ξzugeordnete Portfoliowert zur Zeitt−1 ist also ξ¯t·S¯_t−1=

d

X

i=0

ξⁱ_tS_t−1ⁱ ,

der sich bis zur Zeittzum Wert ξ¯t·S¯t=

d

X

i=0

ξ_tⁱS_tⁱ

entwickelt. Zum Zeitpunktt kann dann die Neustrukturierung des Portfolios von ¯ξtnach ¯ξt+1 erfolgen.

Definition 2.7 Eine Strategieξ¯= ¯ξt

t=1,...,T heißt selbstfinanzierend, falls ξ¯_t·S¯_t= ¯ξ_t+1·S¯_t, f¨ur allet= 1, ..., T −1.

Bemerkung 2.8 F¨ur eine selbstfinanzierende Strategie ¯ξgilt ξ¯_t+1·S¯_t+1−ξ¯_t·S¯_t= ¯ξ_t+1· S¯_t+1−S¯_t

. (2.1)

Das heißt, die Wertver¨anderung des Portfolios resultiert lediglich aus der Wertver¨anderung (Marktfluktuation) der Wertpapierpreise und nicht aus

zus¨atzlichen Zu- oder Abfl¨ussen von Kapital.

Durch Summierung in (2.1) erhalten wir f¨ur allet= 1, . . . , T ξ¯_t·S¯_t= ¯ξ₁·S¯₀+

t

X

k=1

ξ¯_k· S¯_k−S¯_k−1 .

ξ¯1·S¯0ist also das n¨otige Startkapital zum Kauf des Portfolios ¯ξ, welches sich dann bis zum Zeitpunkttentsprechend der Wertver¨anderung der Wertpapiere entwickelt.

Annahme 2.9 Im Folgenden nehmen wir an, dass S_t⁰>0 P−f.s. f¨ur allet= 0, ..., T und verwendenS⁰ als Num´eraire.

Bemerkung 2.10 Typischerweise modelliertS⁰ein (lokal) risikofreies Wert- papier (Bond, Bankkonto):

S₀⁰≡1 und S_t⁰=

t

Y

k=1

(1 +rk), wobei (rk)_k=1,...,T ein previsibler Prozess ist.

Verzinsung vonxEuro auf dem Bankkonto:

Der Zinssatzrtist im Mehrperiodenmodell i.A. zwar stochastisch, aber schon zu Anfang t−1 der Periode [t−1, t] bekannt (previsibel), in diesem Sinne also lokal risikofrei.

Definition 2.11 Die diskontierten Preisprozesse notieren wir mit X_tⁱ:= S_tⁱ

S_t⁰, t= 0, ..., T, i= 0, ..., d

und den diskontierten Portfoliowertprozesszu einer Strategieξ¯mit V₀^ξ¯:= ¯ξ1·X¯0 und V_t^ξ¯:= ¯ξt·X¯t f¨ur allet= 1, ..., T, wobeiX¯ = X¯t

t=0,...,T := X_t⁰, X_t¹, ..., X_t^d

t=0,...,T.

Wie ¨ublich notieren wirX= (X_t)_t=1,...,T := (X_t¹, . . . , X_t^d)_t=0,...,T, also

X¯ = (X⁰, X). Der diskontierte Gewinnprozess (Wertver¨anderungsprozess, gains-process)zu einer Strategie ξ¯ist definiert als

G0:= 0 und Gt:=

t

X

k=1

ξk·(Xk−X_k−1) f¨ur allet= 1, ..., T, wobei(Xk−Xk−1) = X_k¹−X_k−1¹ , ..., X_k^d−X_k−1^d

=:Yk. Proposition 2.12 Seiξ¯eine Strategie. Dann sind ¨aquivalent:

(a) ξ¯ist selbsfinanzierend.

(b) ξ¯_t·X¯_t= ¯ξ_t+1·X¯_tf¨ur allet= 1, ..., T −1.

(c) Vt=V0+Gt= ¯ξ1·X¯0+Pt

k=1ξk·(Xk−X_k−1)f¨ur allet= 1, ..., T.

Beweis: Ubung.¨ ut

Bemerkung 2.13

(i) Ist ¯ξ selbstfinanzierend, dann gilt f¨ur die Investition in den Num´eraire ξ_t+1⁰ −ξ_t^{0Prop. 2.12}= −(ξt+1−ξt)·Xt f¨ur t= 1, ..., T −1.

Da

ξ⁰₁=V₀−ξ₁·X₀,

ist jede selbstfinanzierende Strategie ¯ξ eindeutig gegeben durch das StartkapitalV₀und die Strategieξin den WertpapierenS¹, . . . , S^d. Um- gekehrt existiert zu jedem Startkapital V₀ und jeder Strategie ξ eine eindeutige selbsfinanzierende Strategie ¯ξ.

(ii) Analog zu Einperiodenmodellen heißt ein Mehrperiodenmodell nicht- redundant, falls:

ξt·(Xt−X_t−1) = 0 P-f.s. ⇒ ξt= 0 P-f.s.

f¨ur allet∈ {1, . . . , T}undξt∈L⁰(Ω,Ft−1,P,R^d).

2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing

Definition 2.14 Eine Arbitragem¨oglichkeitist eine selbstfinanzierende Stra- tegie ξ¯mit

V₀^ξ¯≤0 P−f.s., V_T^ξ¯≥0 P−f.s. und Ph

V_T^ξ¯>0i

>0.

Proposition 2.15 Ein Modell besitzt eine Arbitragem¨oglichkeit genau dann, wenn est∈ {1, . . . , T} undη∈L⁰ Ω,F_t−1,P;R^d₃

gibt, so dass η·(Xt−X_t−1)≥0 P−f.s. und P(η·(Xt−X_t−1)>0)>0.

Ein Mehrperiodenmodell ist also arbitragefrei genau dann, wenn die jeweili- gen Einperiodenmodelle (mit stochastischen Anfangsbedingungen) arbitrage- frei sind.

Beweis: Sei ξ⁰, ξ

eine Arbitrage und t:= minn

k|V_k^ξ¯≥0P−f.s. undP

V_k^ξ¯>0

>0o . Dann giltt≤T und entweder

V_t−1^ξ¯ = 0P−f.s. oder Ph

V_t−1^ξ¯ <0i

>0.

Betrachten wir zun¨achst den FallV_t−1^ξ¯ = 0P−f.s.. Mitη :=ξtgilt dann η·(Xt−Xt−1) =V_t^ξ¯−V_t−1^ξ¯ =V_t^ξ¯≥0 P−f.s.

und

P(η·(Xt−Xt−1)>0)>0.

Betrachten wir nun den FallP

V_t−1^ξ¯ <0

>0. Seiη := ξt1ⁿ_V^ξ¯

t−1<0o. Dann istη Ft−1-messbar und

η·(Xt−Xt−1) =

V_t^ξ¯−V_t−1^ξ¯ 1ⁿ_V^ξ¯

t−1<0o. Weiter gilt

V_t^ξ¯−V_t−1^ξ¯ 1ⁿ_V^ξ¯

t−1<0o≥ −V_t−1^ξ¯ 1ⁿ_V^ξ¯

t−1<0o≥0 P−f.s.

und

P

V_t^ξ¯−V_t−1^ξ¯ 1ⁿ_V^ξ¯

t−1<0o>0

>0.

Beweisen wir nun die R¨uckrichtung. F¨ur gegebeneη undt definieren wir ξs:=

(η, falls t=s 0, sonst

3 Das heißt mit Werten inR^d.

und betrachten die eindeutige selbstfinanzierende Strategie ¯ξ = ξ⁰, ξ mit V₀= 0 (Bemerkung 2.13 (i)).

Dann ist

V_T^ξ¯=V₀^ξ¯+

T

X

k=1

ξk·(Xk−X_k−1) =η·(Xt−X_t−1)≥0 P−f.s.

und

P

V_T^ξ¯>0

>0.

ξ¯ist also eine Arbitragestrategie. ut

Im Folgenden werden wir uns Martingalmaßen im Mehrperiodenmodell zu- wenden:

Definition 2.16 Ein stochastischer Prozess M = (Mt)_t=0,...,T auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum

Ω,(F_t)_t=0,...,T,F,Q

heißt Martingal, falls

(a) M adaptiert an(Ft)_t=0,...,T,

(b) Mt∈L¹(Ω,F,P) f¨ur allet= 0, . . . , T, (c) EQ[Mt| Fs] =Ms f¨ur0≤s≤t≤T.

Es ist leicht zu zeigen (Turmeigenschaft der bedingten Erwartung), dass (c)

¨aquivalent ist zu

(c’) E[M_t+1| F_t] =M_t f¨ur allet= 0, . . . , T −1.

Martingalmaße entsprechen der mathematischen Formulierung eines

”faire ga- me“: zu jedem Zeitpunkt ist die bedingte Erwartung des zuk¨unftigen Gewinns gleich Null.

Beispiel 2.17 (Fairer M¨unzwurf).

(Xi)_i=1,...,T sei eine Folge von unabh¨angigen Zufallsvariablen mit P(Xi = 1) =P(Xi=−1) = 1

2. Die Filtration (Fn)_n=1,...,T sei gegeben durch

F_n:=σ(X₁, ..., X_n). DefiniereM_t:=Pt

i=1X_i. Dann ist (M_t)_t=1,...,T ein Martingal, denn

• MtistFt-messbar f¨ur allet= 1, ..., T, also adaptiert.

• E[|M_t|]≤Pt

i=1E[|X_i|] =t <∞f¨ur allet= 1, ..., T.

• E[Mt| F_t−1] =E[M_t−1+Xt| F_t−1] =M_t−1+E[Xt]^E[X=^t]=0M_t−1. Definition 2.18 Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (Ω,F) heißt Martin- galmaß (oder risikoneutrales Maß), falls die diskontierten Preisprozesse Xⁱ, i= 1, ..., d,Q-Martingale bzgl.(Ft)_t=0,...,T sind.

Wie zuvor notiertP die Menge der zu P¨aqivalenten Martingalmaße.

Theorem 2.19 Folgende Aussagen sind ¨aquivalent:

(a) Qist ein Martingalmaß.

(b) F¨ur alle selbstfinanzierende Strategien ξ¯ = ξ⁰, ξ

mit ξ beschr¨ankt ist V = (Vt)_t=0,...,T einQ-Martingal.

(c) F¨ur alle selbstfinanzierende Strategien ξ¯mitEQ

V_T⁻

<∞istV ein Q-Martingal, wobeiV⁻ := max{−V,0}.

(d) F¨ur alle selbstfinanzierende Strategienξ¯mitV_T ≥0 Q−f.s. ist EQ[VT] =V0.⁴

Beweis: (a)⇒(b): SeiQein Martingalmaß und ¯ξselbstfinanzierend mit

|ξⁱ|< cf¨ur eine Konstantec >0, f¨ur allei= 1, ..., d. Dann gilt:

Vt=ξt·XtistFt-messbar, t= 0, ..., T und

|Vt| ≤ |V0|+c

t

X

k=1

|Xk|+|Xk−1|.⁵

Da Xk ∈ L¹(Q) f¨ur alle k = 1, ..., T, ist auch Vt ∈ L¹(Q) f¨ur alle t. F¨ur 0≤t≤T−1 ist

EQ[Vt+1| Ft] =EQ[Vt+ξt+1·(Xt+1−Xt)| Ft]

=V_t+ξ_t+1EQ[X_t+1−X_t| F_t]

Q∈P= V_t. V_tist also einQ-Martingal.

(b)⇒(c): Sei

ξ^(a)_t :=ξt1{|ξt|≤a} f¨ura >0 undt= 1, . . . , T.

4 EQ[VT] wohldefiniert, da nach VoraussetzungVT ≥0Q−f.s..

5 DaVt=V0+Pt

k=1ξk(Xk−Xk−1), mittels Dreiecksungleichung und wegen|ξⁱ|< c.