3. ¨ Ubungsblatt 506.051 Angewandte Statistik, WS 2008/2009

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Univ.-Prof. DI Dr. Ernst Stadlober

1.) [T] Einfache Varianzanalyse mit zwei Gruppen.

Seien Y_ij ∼ⁱ N(β_i, σ), i= 1,2; j = 1, . . . , n_i.

(a) Zeigen Sie, dass SSA=kp1(Y)−p2(Y)k² = ⁿ¹_nⁿ² Y1.−Y2.

2

. (b) Weisen Sie nach, dass

E(SSA) =E kp₁(Y)−p₂(Y)k²

=σ²+n₁n₂

n (β₁−β₂)².

(c) Zeigen Sie f¨ur den Erwartungswert der F–Statistik F = _{M SR}^{M SA} die Approxima- tion

E(F)≈1 + n₁n₂ n

β₁−β₂ σ

2

. Hinweis: Entwickeln Sie den Quotienten der Form

µ_X + (X−µ_X)

µ_Y + (Y −µ_Y) mit X =M SA , Y =M SR . 2.) [T] Einfache Varianzanalyse mit r Gruppen.

Sei Y_ij =µ₀+α_i+_ij, i= 1, . . . , r;j = 1, . . . , n_i; _ij ^iid∼N(0, σ), Pr

i=1n_iα_i = 0.

(a) Man zeige, dass die Linearkombinationen Pr

i=1e_iα_i mit Pr

i=1n_iα_i = 0 den linearen Unterraum L1 L2 aufspannen.

(b) Zeigen Sie, dass (siehe Satz 4.2.1)

E(M SA) = σ²+ 1 r−1

r

X

i=1

n_iα²_i mit M SA= 1 r−1

r

X

i=1

n_i Y_i.−Y_..2

E(M SR) = σ² mit M SR = 1 n−r

r

X

i=1 ni

X

j=1

Y_ij −Y_i.2

.

(c) Kruskal–Wallis–Test.

Seien Yi1, . . . , Yini

iid∼ Fi, Fi stetig, i = 1, . . . , r, und R11, R12, . . . , Rrnr die R¨ange der kombinierten geordneten Stichprobe,R_i.=Pni

j=1R_ij. i. Weisen Sie nach, dass unter H₀ : F_i(z) = F(z), i= 1, . . . , r gilt:

E(R_i.) = n_i n+ 1

2 , V ar(R_i.) = n_i(n+ 1)(n−n_i)

12 , E(H) =r−1. ii. Zeigen Sie, dass f¨ur r = 2 gilt (mit W_N Wilcoxon–Statistik nach Formel

(2.22)):

H = (W_N −E(W_N))²

V ar(W_N) mit E(W_N) = n(N + 1)

2 , V ar(W_N) = mn(N + 1)

12 .

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3.) [T] Varianzstabilisierende Transformationen.

Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und V ar(X) = σ²(µ). Man suche eine varianzstabilisierende Transformation Y = T(X) mit der Eigenschaft V ar(Y) ≈ c= constant. Sei T(x) eine zweimal differenzierbare Funktion.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe der Taylor–Formel, dass

V ar(Y)≈E((T⁰(µ)(X−µ))² = (T⁰(µ))²σ²(µ).

(b) Wie lautet T(X) f¨ur X ∼P oisson(λ) und X ∼Bin(n, p) bei kleinem p?

4.) Einfache Varianzanalyse; aimu 85.dat [R 2.7]

Man untersuche das Merkmal fvc (i) in Abh¨angigkeit vom Faktor al kl, (ii) in Abh¨angigkeit vom Faktor gr kl, welche in Aufgabe 1.1 definiert wurden. Analy- sieren Sie die Daten mit graphischen und varianzanalytischen Methoden.

(a) Explorative Analyse mit Boxplotserien und Fehlerbalken.

(b) F¨uhren Sie eine einfache Varianzanalyse inRmit den Befehlen gem¨aßHand-Out Abschnitt 4.1-4.3 durch.

(c) Welche Parametrisierung liefert der Aufrufsummary(lm(fvc∼al kl))? Rufen Sie auch die Prozedur oneway.test() auf, die keine Homogenit¨at der Varian- zen voraussetzt.

(d) Mit dem Befehl TukeyHSD() kann eine Post-hoc-Analyse durchgef¨uhrt wer- den. Durch plot(TukeyHSD())werden die Konfidenzintervalle geplottet. Man f¨uhre auch die paarweisen t–Tests pairwise.t.test() durch und vergleiche die Ergebnisse.

(e) Welches Ergebnis liefert der Kruskal–Wallis-Testkruskal.test()?

(f) Fassen sie die Ergebnisse in Form eines Reports zusammen.

5.) Einfache Varianzanalyse, Radon [R 2.7]

In einem Artikel der Zeitschrift Environment International, Vol.18, No.4., 1992, wird ein Experiment beschrieben bei dem die Menge von austretendem Radon in Duschen untersucht wurde. F¨ur das Experiment wurde mit Radon angereichertes Wasserverwendet. Sechs verschiedeneOffnungsdurchmesser¨ der Duschk¨opfe wurden getestet. Es liegen folgende Daten vor (Montgomery, 1997, S. 120, Aufgabe 3–9):

D¨usen– Freigesetztes durchmesser Radon in %

0.37 80 83 83 85

0.51 75 75 79 79

0.71 74 73 76 77

1.02 67 72 74 74

1.40 62 62 67 69

1.99 60 61 64 66

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(a) Geben Sie die Daten ein und speichern Sie diese in R unter radon.dat ab.

(b) Hat der ¨Offnungsdurchmesser der Duschk¨opfe einen Einfluss auf das durch- schnittlich freigesetzte Radon (α= 0.05)?

(c) Welcher p–Wert ergibt sich f¨ur die F–Statistik in (b)?

(d) Analysieren Sie die Residuen des Experiments.

(e) Wie lautet das 95%–Konfidenzintervall des Mittelwertes, wenn der Durchmes- ser 1.40 Einheiten betr¨agt?

(f) F¨uhren Sie eine Post-hoc-Analyse durch und plotten Sie die Konfidenzinterval- le. Man vergleiche die Resultate mit den Ergebnissen der paarweisen t–Tests.

(g) Was liefert der Kruskal–Wallis–Test?

6.) Fallbeispiel Luftschadstoffdaten (3. Teil) grazluft.dat; [R 2.7].

(a) F¨uhren Sie eine einfache Varianzanalyse f¨ur pm10 mit dem Faktor ort durch.

Hat der Faktor Messort einen Einfluss auf den PM10–Gehalt der Luft? An welchen Messorten ist der PM10–Gehalt auff¨allig hoch?

(b) Analysieren Sie die Residuen bzgl. pm10. Sind die Voraussetzungen f¨ur eine einfache ANOVA gegeben? Was liefern die nicht parametrischen Verfahren?

(c) Versuchen Sie gegebenenfalls eine Transformation f¨ur pm10 zu finden, welche die Varianz stabilisiert. Was kann man ¨uber die Verteilung der Residuen f¨ur die transformierte Variable sagen?

(d) Welche Methoden sind f¨ur den Vergleich der pm10–Daten bzgl. des Faktors periodead¨aquat? Vergleichen Sie die transformiertenperiode–Daten in ¨ahnli- cher Weise.

(e) Verfassen Sie einen kurzen Bericht Ihrer Analysen.

Herunter laden der Daten ¨uber die HomePage des Instituts: www.statistics.tugraz.at:

Speichern Sie alle ¨Ubungsaufgaben auf einem File ab: Angstat Nachname3.*

Ubermittlung der Files mit¨ Subject:Angstat an e-mail-Adresse statistik@tugraz.at.

Transfer der Files bis sp¨ atestens: Di. 9. 12. 2008, 13.00 Uhr

Besprechungstermin: Mi. 10. 12. 2008, 8.30–10.00, SR Statistik