3. ¨ Ubungsblatt 506.556 Statistik, WS 2007/2008
1Univ.-Prof. DI Dr. Ernst Stadlober
1.) [T] χ2-Verteilung, Student-t-Verteilung.
(a) Man beweise Satz A1:
Sind die Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn iid∼ N(0,1)–verteilt, dann ist Y =
n
X
i=1
Xi2 χ2n–verteilt.
Das heißt, die Zufallsvariable Y hat die Dichte hn(x) =
1
2n/2Γ(n/2)xn/2−1e−x/2 x>0
0 x <0 .
(b) Man beweise Satz A.2:
Falls X und Y unabh¨angige Zufallsvariable mit X ∼N(0,1) und Y ∼ χ2n, dann hat die Zufallsvariable
T = X
pY /n
die Dichte
tn(t) = Γ((n+ 1)/2) Γ(n/2)√
nπ 1 +t2/n−(n+1)/2
, −∞< t <∞ .
2.) [P] Konfidenzintervalle f¨ur µ und σ2.
Eine Stichprobe aus einer Normalverteilung vom Umfang n = 10 sei gegeben durch 11.3 10.2 9.5 10.4 9.8 11.0 10.2 10.9 9.9 9.8
(a) Wie lautet das zweiseitige 95%–Konfidenzintervall f¨urµ?
(b) Es kommen zwei weitere Messwerte 10.3 dazu. Wird dadurch das Konfidenz- intervall l¨anger oder k¨urzer?
(c) Geben Sie aufgrund der 10 Messwerte ein einseitiges 95%–Konfidenzintervall f¨ur σ2 an.
3.) [P] Gauß-Test f¨ur µ.
Das Gewicht G[ing] von Semmeln sei N(µ,6) verteilt. F¨ur n= 81 Semmeln ergab sich das Durchschnittsgewicht von x= 37g.
(a) Man ¨uberpr¨ufe mittels eines zweiseitigen Tests, ob die Daten mit der Hypothese H0 :µ0 = 38g vereinbar sind (α= 0.05).
(b) Sei µ1 = 37g der wahre Wert von µ. Wie groß ist dann der Fehler 2. Art beim Test in (a)?
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2(c) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens gew¨ahlt werden, damit der Fehler 2. Art des Tests H0 :µ0 = 38g gegen H1 :µ1 = 37g kleiner gleich 0.05 wird?
4.) [P] Konfidenzintervalle und Tests f¨ur Anteil p.
(a) Bei der Produktion von bestimmten Bauteilen f¨ur elektronische Ger¨ate entste- hen mit einer (unbekannten) Wahrscheinlichkeit p defekte St¨ucke. Um Auf- schluß ¨uber die Wahrscheinlichkeit p zu bekommen, wird bei laufender Pro- duktion eine Stichprobe von n Bauteilen entnommen, die auf ihre Funkti- onst¨uchtigkeit ¨uberpr¨uft werden. Unter geeigneten Annahmen
i. bestimme man f¨ur n = 600 ein konkretes Konfidenzintervall zum (ap- proximativen) Konfidenzniveau 0.95 f¨ur p, wenn 69 der 600 ¨uberpr¨uften Bauteile defekt sind.
ii. Der Ausschußanteil x sei wie in i. Welchen Stichprobenumfang n ben¨otigt man mindestens, damit die L¨ange des 95%–Konfidenzintervalls f¨ur p klei- ner gleich 0.05 wird?
iii. Wie groß muß n gem¨aß Fragestellung ii. mindestens sein, wenn der Aus- schußanteil x beliebig ist?
(b) Ein Unternehmen bezieht seit langem von einem bestimmten Lieferanten einen Massenartikel, wobei der Ausschussanteil 5% betr¨agt. Ein Konkurrenzangebot verspricht bei gleichem Preis einen Ausschussanteilunter5%. Unter 100 zuf¨allig ausgew¨ahlten Artikeln des Konkurrenzangebotes waren 2 Ausschussst¨ucke.
i. Formulieren Sie einen statistischen Test als Entscheidungsgrundlage. Dabei wird die Umstellung auf ein schlechteres Konkurrenzangebot als schwer- wiegender erachtet. Bestimmen Sie dann den kritischen Bereich des Tests zum Niveau α= 0.05; wie ist zu entscheiden?
ii. Skizzieren Sie die Operationscharakteristik (OC) des Tests. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ur den Fehler 2. Art 1−β, falls der tats¨achliche Ausschuss anteil des Konkurrenzartikels 3% ist.
iii. Welchen Test schlagen Sie bei einem Stichprobenumfang von n = 500 vor?
Wie ist bei 10 Ausschussst¨ucken zu entscheiden?
5.) [C] Konfidenzintervalle und Tests bei Lungenfunktionsdatenaimu 1985.sav aus Bsp. 3 [R 2.6.0].
(a) Analysieren Sie die Variablen fev1,fvc mit Hilfe von Stengel-Blatt-Diagram- men, Box-Plots, Fehlerbalken und Q-Q-Plots. Was liefert der t-Test bzgl. der Nullhypothesen µf vc= 5.4 und µf ev1 = 4.5?
(b) Man definiere die kategorische Variable jung alt(1,2) (16–30 Jahre, 31–59 Jahre) und f¨uhre eine explorative Analyse der Variablen fvc bzgl. der Ka- tegorien region und jung alt durch, indem man Stengel-Blatt-Diagramme, Box-Plots, Fehlerbalken und Q-Q-Plots erzeuge.
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3(c) Was liefern der Welch-Test und der t-Test beim Vergleich der beiden Alters- gruppen bzw. beim Vergleich der beiden Regionen?
(d) Was liefert der F-Test als Test auf gleichheit der Varianzen? (h¨andische Be- rechnung)?
(e) Testen Sie die Gleichheit des Lokationsparameters f¨ur fvc bzgl. der Regionen und bzgl. der Altersgruppen mit Hilfe des Mann-Whitney-U-Tests
(f) Fassen Sie die Ergebnisse in Form eines Dokuments (max. 4 Seiten) zusammen.
6.) [P] Konfidenzintervalle und Tests bei zwei unabh¨angigen Stichproben.
Der Prozentsatz von K¨orperfett ist ein guter Indikator f¨ur den metabolischen Ener- giestatus und den allgemeinen Gesundheitszustand eines Menschen. Es wurden 2 Gruppen von gesunden Studenten untersucht und deren Prozentsatz an K¨orperfett festgestellt. Gruppe A bestand ausn = 80 Studenten aus st¨adtischen Regionen und Gruppe B setzte sich aus m = 60 Studenten aus l¨andlichen Gegenden zusammen.
Es ergaben sich die folgenden Stichprobenwerte. x = 12.07 [%], sX = 3.04 [%], y = 11.04 [%], sY = 2.63 [%]. Die Meßwerte seien Realisierungen von unabh¨angigen Stichprobenvariablen Xi ∼N(µX, σX), Yj ∼N(µY, σY).
(a) Man bestimmte ein 95%–Konfidenzintervall f¨ur die Differenz µD =µX −µY. L¨aßt sich ein signifikanter Unterschied zwischen den mittleren Prozents¨atzen µX und µY zum Niveau α= 0.05 nachweisen?
(b) Wie lautet das 95%–Konfidenzintervall f¨ur θ = σX2/σY2? Ist H0 : θ = 1 zum Niveau von α = 0.05 zu verwerfen?
7.) [CS, optional] Simulation von Konfidenzintervallen [R 2.6.0]
(a) Man erzeuge m = 50 Stichprobenvektoren (X1, . . . , Xn) der L¨ange n = 20 mit Xi iid∼ N(µ= 0, σ= 1).
(b) Man berechne f¨ur jeden Vektor das arithmetische Mittel X und je ein 95%–
Konfidenzinterall f¨ur den Erwartungswert µ bei bekanntem σ = 1 und f¨ur unbekanntes σ.
(c) Stellen Sie diese Konfidenzintervalle graphisch in Form von Tabellen und Lini- enplots dar. Wie oft wird der wahre Parameter µ= 0 durch die Konfidenzin- tervalle ¨uberdeckt?
Hinweis:
Speichern Sie Ihre ¨Ubungsaufgaben (mit entsprechenden Kommentaren) unter folgenden File–Namen ab: Statistik Nachname1aufgabenr.* z.B. Statistik schiefer31.pdf und ¨ubermitteln Sie die Files per e-mail mit dem Betreffstat an statistik@tugraz.at.
