Differenzialrechnung (Kapitel 1) Pr¨ufungsstoff
1. Du kannst die Glieder einer explizit oder rekursiv definierten Folge berechnen.
2. Du kannst durch ¨Uberlegen oder mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen, welche der folgenden Eigenschaften eine Folge (an) hat.
• monoton wachsend oder monoton fallend (oder nicht monoton)
• beschr¨ankt (oder unbeschr¨ankt)
• alternierend (nicht alternierend)
• konvergent (divergent); siehe unten
3. Du kannst durch ¨Uberlegen oder mit Hilfe des Taschenrechners den Grenzwert einer Folge bestimmen. Drei Techniken spielen dabei eine besondere Rolle:
• Bruchterme k¨onnen mittels einer Division von Z¨ahler und Nenner durch das Monom mit dem gr¨ossten Exponenten so umgeformt werden, dass Nullfolgen entstehen. Auf diese Weise l¨asst sich der Grenzwert oft leichter absch¨atzen.
n→∞lim
4n2+ 1
5n2+ 7n = lim
n→∞
4n2/n2+ 1/n2
5n2/n2+ 7n/n2 = lim
n→∞
4 + 1/n2
5 + 7/n = 4 + 0 5 + 0 = 4
5
• Differenzen von Wurzeln k¨onnen geschickt zu einem Bruch erweitert werden, damit die Wurzeln im Z¨ahler wegfallen.
n→∞lim(√
n+ 3−√
n−1) = lim
n→∞
(√
n+ 3−√
n−1)(√
n+ 3 +√ n−1)
√n+ 3 +√ n−1
= lim
n→∞
(n+ 3)−(n−1)
√n+ 3 +√
n−1 (3. binomische Formel)
= lim
n→∞
√ 4
n+ 3 +√
n−1 = 0
• Exponentialfunktionen (Variable im Exponenten)
”wachsen schneller“ als Po- tenzfunktionen (Variable im Nenner).
n→∞lim x100
2x = 0 aber lim
n→∞
2x
x100 =∞
4. Du kannst untersuchen, ob eine Funktionf an der Stellex0einen Grenzwert besitzt, indem du mit Hilfe einer Tabelle und zwei geeignet gew¨ahlten Folgen xn → x−0 bzw.xn →x+0 den links- und den rechtsseitigen Grenzwert lim
x→x−0
f(x) bzw. lim
x→x+0
f(x) berechnest. Insbesondere in dem
”interessanten“ Fall, wenn f an der Stellex0 nicht definiert ist
