Ableitung
Eine Funktion f ist in einem Punkta differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a) h existiert.
Geometrisch bedeutet Differenzierbarkeit, dass die Steigungen der Sekanten gegen die Steigung der durch
y =f(a) +f0(a)(x−a) gegebenen Tangente konvergieren.
Man schreibt auch
f0(x) = d
dxf(x) = dy dx
mit y=f(x). Diese Schreibweise symbolisiert den Grenz¨ubergang ∆x →0 in dem Differenzenquotienten
∆y
∆x = f(x+ ∆x)−f(x) x+ ∆x−x .
H¨ohere Ableitungen werden mitf00,f000, . . . bzw. f(2),f(3), . . . bezeichnet.
Eine Funktion f heißt differenzierbar auf einer Menge D, wennf0(x) f¨ur alle x∈D existiert.
Beispiel
Ableitung von Monomen (i) Ableitung von f(x) =x2: Definition
f0(x) = lim
h→0
(x+h)2−x2
h = lim
h→0
2xh+h2
h = lim
h→0(2x+h) = 2x f00(x) = 2
(ii) Beliebiges Monom f(x) =xn,n ∈N: binomische Formel
f0(x) = lim
h→0
(x+h)n−xn
h = lim
h→0
n
1
xn−1h+O(h2)
h =nxn−1
O(h2): Terme mit Faktorenh2
Beispiel
Ableitung von f(x) = sinx:
Additionstheorem =⇒
sin(t±h/2) = sintcos(h/2)±costsin(h/2) t =x+h/2 Umformung des Differenzenquotienten
sin(x+h)−sinx
h = sin (x+h/2) +h/2
−sin (x+h/2)−h/2 h
= 2 cos(x+h/2) sin(h/2) h
rechte Seite→cosx f¨ur h→0, da
h→0lim
2 sin(h/2)
h = lim
h→0
sin(h/2) h/2 = 1
Linearit¨at der Ableitung
Die Ableitung ist linear, d.h. f¨ur differenzierbare Funktionen f und g gilt (r f)0 = r f0, r ∈R,
(f ±g)0 = f0±g0.
