Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion

Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion

1-E1

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

1-E2

1-E3

Parameterform einer Funktion: Ableitung

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

1-1

Eine Funktion sei in einer Parameterform gegeben:

x = f t , y = g t , t₀  t  t_n .

Die erste Ableitung dieser Funktion wird auf folgende Weise bestimmt

Die Ableitung ist also eine Funktion des Parameters t.

dy

dt = dy

dx ⋅ dx

dt , y_t = dy

dt , x_t = dx dt dy

dx = y_t x_t

Die zweite Ableitung ist d² y

dx² = d

dx













dy dx

Parameterform einer Funktion: Tangente

Die Gleichung der Tangente im Punkt P :

y − y₀ = mx − x₀ , m = y_tt₀ x_tt₀ x_t(t₀) (y − y₀) = y_t(t₀)(x − x₀)

x₀ = xt₀ , y₀ = yt₀ , P = x₀ , y₀

Die Gleichung der Normale im Punkt P : y − y₀ = − 1

m x − x₀, y_tt₀x − x₀ = −x_t t₀ y − y₀

1-2

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

2-1

Erste Ableitung: Aufgabe 1

Bestimmen Sie die erste Ableitung dy/dx der in Parameterform gegebenen Funktionen

a) xt = t² , y t = 3t² − 8t ,

b) x t = 4 sin 2 t  2, yt = cos4t , c ) xt = t 





d ) xt = 2t − 3³  t² , y t = t⁴  t² − 2 t

Erste Ableitung: Lösung 1

d ) xt = 2t − 3³  t² , y t = t⁴  t² − 2t x_t = 62t − 3²  2t , y_t = 4t³  2t − 2 dy

dx = y_t

x_t = 4 t³  2 t − 2

62 t − 3²  2 t = 2 t³  t − 1 32 t − 3²  t

a ) xt = t², x_t = 2t , yt = 3 t² − 8t , y_t = 6 t − 8 dy

dx = y_t

x_t = 6t − 8

2t = 3 − 4

t

b) x t = 4 sin 2t  2, x_t = 8 cos2 t yt = cos4 t , y_t = −4 sin4t dy

dx = y_t

x_t = −4 sin4t

8 cos 2t = − 8 sin 2t cos2 t

8 cos2t = −sin 2t c ) xt = t 



2







dy

dx = y_t x_t =

1 − 1

2



1  1

2



= 2



2



2-2

Erste Ableitung: Aufgabe 2

Bestimmen Sie die ersten Ableitungen dy/dx einer in Parameterform gegebenen Funktion an den drei gegebenen Stellen

a) xt = cost , yt = cos2t , t₁ = 0, t₂ = 

3 , t₃ = 2 3

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

3-1

b) x t = t

1  t² , y t = 1 − t

1  t² , t₁ = −2, t₂ = 1

2 , t₃ = 2 Aufgabe 2a:

Aufgabe 2b:

Bestimmen Sie die erste Ableitung dy/dx der in Parameterform ge- gebenen Funktionen:

Erste Ableitung: Lösung 2

3-2

a)

b) x t = t

1  t² , x_t = 1 − t²

1  t²² yt = 1 − t

1  t² , y_t = t² − 2t − 1

1  t²² , dy

dx = t² − 2t − 1 1 − t²













Tangente und Normale: Aufgabe 3

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

4-A

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale für die in Parameterform gegebenen Funktionen an der Stelle t

a) xt = t² , yt = 2 − t , t = −1 b) x t = 2 cos t , yt = 2 sin t , t = 

6

c ) xt = t⁴ − 2t² , y t = t⁵ − 4t³ 2, t = 2 d ) xt = 2 cos³t , yt = 2 sin³t , t = − 

4

Tangente und Normale: Lösungen 3a,b

4-1

a) xt = t² , yt = 2 − t , t = −1 y_T = x

2  5

2 , y_N = −2 x  5

b) x t = 2 cost , yt = 2 sint , t =  6 y_T = −





Tangente und Normale: Lösung 3c

xt = t⁴ − 2t² , yt = t⁵ − 4t³ 2, t = 2

x_t = 4t³ − 4t , y_t = 5 t⁴ − 12t²

m = y_t

x_t = 5t⁴ − 12t²

4t t² − 1 = 5 t⁴ − 12 t²

4t t² − 1 = 5t³ − 12t 4t² − 1

x₀ = xt=2 = 8, y₀ = yt=2 = 2, P = x₀ , y₀ = 8, 2

m|_t=2 =





^

^

y_T − y₀ = mx − x₀, y_T − 2 = 4

3 x − 8, y_T = 4

3 x − 26

3

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

4-2a

y_N − y₀ = − 1

m x − x₀ , y_N − 2 = − 3

4 x − 8, y_N = − 3

4 x  8

Abb. L3c: Ebene Kurve C der Aufgabe. Der Punkt P entspricht dem Parameterwert t = 2, T und N sind Tangente und Normale der Kurve in P

4-2b

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

4-3a

Tangente und Normale: Lösung 3d

xt = 2 cos³t , y t = 2 sin³t , t = −  4 x₀ = x





 ^



^

y₀ = x







^



^

 ^

^



x_t = −6 cos²t⋅sin t , y_t = 6 sin²t⋅cos t

m = y_t

x_t = − sin t

cost , m |_{t=− /4} = 1 y_T = x −



Tangente und Normale: Lösung 3d

4-3b

Abb. L3d: Ebene Kurve C der Aufgabe. Der Punkt P entspricht dem Parameterwert t = -π/4.

T und N sind Tangente und Normale der Kurve in P

Tangente und Normale: Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normalen für die in Parameterform gegebenen Funktion im Punkt P. Geben Sie, wenn möglich, eine analytische Gleichung der Funktion y = f (x) oder x = g (y) an. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Normalen mit der Kurve.

a) xt = t − 2, yt = t² − 4 t  2, P = 1, −1 b) x t = t − 4, yt = t² − 10t  24, P = 0, 0

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

5-A

Tangente und Normale: Lösung 4a

xt = t − 2, yt = t² − 4 t  2, P = x₀ , y₀ = 1, −1 1 = t − 2, t = 3

x_t = 1, y_t = 2 t − 4, dy

dx = y_t

x_t = 2t − 4 m = dy

dx |_t=3 = 2

y_T − y₀ = mx − x₀ , y_T − −1 = 2x − 1, y_T = 2 x − 3 y_N − y₀ = − 1

m x − x₀ , y_N − −1 = − 1

2 x − 1, y_N = − x

2 − 1

2 y_N = − x

2 − 1

2 = − t − 2

2 − 1

2 = 1 − t

2 , y_N = yt , 1 − t

2 = t² − 4t  2 t² − 7

2 t  3

2 = 0, t₁ = 3, t₂ = 1 2 t₂ = 1

2 , Q = x t , yt|_t=1/2 =





5-1a

Tangente und Normale: Lösung 4a

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

5-1b

Abb. L4a: Die ebene Kurve C entspricht der Parabel y = x² – 2. Der Punkt P entspricht dem Parameterwert t = 3. T und N sind Tangente und Normale der Parabel in P.

Tangente und Normale: Lösung 4b

5-2a

xt = t − 4, y t = t² − 10t  24, P = x₀ , y₀ = 0, 0 0 = t − 4, t = 4

x_t = 1, y_t = 2t − 10, dy

dx = y_t

x_t = 2t − 10 m = dy

dx |_t=4 = −2

y_T − y₀ = mx − x₀ , y_T − 0 = −2x − 0, y_T = −2 x y_N − y₀ = − 1

m x − x₀ , y_N − 0 = 1

2 x − 0 , y_N = x 2 y_N = x

2 = t − 4

2 , y_N = yt , t − 4

2 = t² − 10t  24 t² − 21

2 t  26 = 0, t₁ = 4, t₂ = 13 2 t₂ = 13

2 , Q = xt, y t|_t=13/2 =





Tangente und Normale: Lösung 4b

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

5-2b

Abb. L4b: Die ebene Kurve C entspricht der Parabel y = x (x - 2). Der Punkt P entspricht dem Parameterwert t = 4. T und N sind Tangente und Normale der Parabel in P.