Tangente
Der Tangentenvektor einer mit einer stetig differenzierbaren Funktion f : t 7→(f1(t), . . . ,fn(t))t
parametrisierten Kurve im Punkt f(t0) ist die Ableitung f0(t0), falls mindestens eine der Komponenten fk0(t0) ungleich Null ist. Die Tangente ist in diesem Normalfall die durch
f(t0) +f0(t0)(t−t0), t∈R, parametrisierte Gerade.
Ist f0(t0) der Nullvektor, so ist die Parametrisierung bei t0 sin- gul¨ar. Ein Tangentenvektor kann, muss aber nicht existieren, denn die Tangentenrichtung kann sich im Punktf(t0) abrupt ¨andern.
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Beispiel
Tangentenvektor und Tangente f¨ur die Schraubenlinie C : t 7→f(t) = (cost,sint,t)t
(i) Tangentenvektor:
f0(t) = (−sint,cost,1)t (ii) Tangente im Punkt f(3π):
f(3π) = (−1,0,3π)t f0(3π) = (0,−1,1)t
Parametrisierung
t 7→
−1 0 3π
+
0
−1 1
(t−3π)
0 1 5
1 10
0 15
-1 0
-2 -1
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Beispiel
Stetige und unstetige ¨Anderung des Tangentenvektors an einem singul¨aren Kurvenpunkt
(i)t 7→f(t) = (t3,t2)t:
abrupte Richtungs¨anderung f¨ur t0 = 0 von (0,−1)t nach (0,1)t m¨oglich, da f0(0) = (0,0)t
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(ii)t 7→g(t) = (t3,t4)t
stetige Tangenten¨anderung trotz f0(0) = (0,0)t Umparametrisierung
s =t3, f(t) =g(s) = s
s4/3
=⇒ g0(s) = (1,4s1/3/3)t stetig beis = 0
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