H20. Erwartungswerte des harmonischen Oszillators (7P)

26. Mai 2008

Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 7

Abgabe: 02. Juni 2008

H20. Erwartungswerte des harmonischen Oszillators (7P)

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators sich wie folgt

H ˆ = ~ ω

N ˆ + 1 2

schreiben l¨asst, wobei ˆ N = ˆ a ^† ˆ a der Besetzungszahloperator ist. Es zeigt sich, dass die durch die Zust¨ande |ni aufgespannte Eigenbasis zum Besetzungszahloperator ˆ N besonders geeignet ist (es gilt ˆ N|ni = n|ni).

i) Schreiben Sie ˆ H als Matrix in dieser Basis. Schreiben Sie auch den Erzeugungsoperator ˆ

a ^† und den Vernichtungsoperator ˆ a als Matrizen (es reicht nat¨ urlich einen Ausschnitt dieser unendlichdimensionalen Matrizen anzugeben) (2P).

ii) Zeigen Sie

[ ˆ N , ˆ a] = −ˆ a , [ ˆ N , ˆ a ^† ] = ˆ a ^† (1P).

iii) Berechnen Sie mit Hilfe der Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren die Erwar- tungswerte

hn|ˆ x ² |ni , hn|ˆ p ² |ni ,

sowie das Unsch¨arefeprodukt (∆x)(∆p) (2P).

iv) Stellen Sie die Operatoren ˆ x ² und ˆ p ² ebenfalls als Matrizen in der Eigenbasis von ˆ N dar (2P).

H21. Operatoralgebra (3+1P)

Es sei ˆ H erneut der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators.

i) Zeigen Sie mit Hilfe der Vertauschungsrelation [ˆ a, a ˆ ^† ] = 1 die Kommutatorbeziehung [ˆ a, e ^{−it H/ ˆ ~} ] = (e ^−iωt −1)e ^{−it H / ˆ ~} ˆ a (1P).

ii) Verifizieren Sie die Relation aus i) nochmals, indem Sie den Kommutator auf einen Eigenzustand des Besetzungszahloperators wirken lassen (1P).

iii) Berechnen Sie den Heisenberg–Operator ˆ

a H (t) = e ^{i Ht/ ˆ ~} ˆ ae ^{−i Ht/ ˆ ~}

einmal indem Sie die Beziehung aus i) nutzen und einmal durch l¨osen der Heisenberg Gleichung (1+1P).

H22. Zeitentwicklung im Oszillatorpotential (2P)

Berechnen Sie die Wellenfunktion ψ(x, t) eines Teilchens unter dem Einfluss eines har- monischen Oszillatorpotentials zum Zeitpunkt t = T /2, also nach einer halben Periode, in Abh¨angigkeit von ψ(x, 0). Benutzen Sie, dass man eine beliebige quadratintegrable Funktion nach Eigenfunktionen φ _n des harmonischen Oszillators entwickeln kann

ψ(x, t) =

∞

X

n =0

a n e ^−iω

^t φ n (x) , ω n = E n

~ (2P) .