Die Wellenfunktion ψ(~r, t) erf¨ ulle die Schr¨odingergleichung i ~ ∂

21. April 2008 Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 3

Abgabe: 28. April 2008

H8. Ehrenfest–Theorem

Die Wellenfunktion ψ(~r, t) erf¨ ulle die Schr¨odingergleichung i ~ ∂

∂t ψ(~r, t) =

− ~

2m

∂

∂~r

+ V (~r)

ψ(~r, t) .

Beweisen Sie die 2. Gleichung des Ehrenfest–Theorems d

dt h ~ pi ˆ = − ∂

∂~r V (~r)

(2P) , wobei

h ~ pi ˆ = Z

d

rψ

(~r, t) ~ i

∂

∂~r ψ(~r, t) der Mittelwert des Impulses und

− ∂

∂~r V (~r)

= − Z

d

rψ

(~r, t) ∂

∂~r V (~r)

ψ(~r, t)

der Mittelwert der Kraft ist.

H9. Zerfließen eines Wellenpakets

Eine Wellenfunktion ψ(~r, t) entwickle sich gem¨aß der Schr¨odingergleichung eines freien Teilchens. Sie l¨ aßt sich schreiben als

ψ(~r, t) = Z

d

p c(~ p) exp(i~ p·~r/ ~ −iEt/ ~ ) , wobei

c(~ p) = A exp

− σ

(~ p − p ~

)

2 ~

gegeben sei.

i) Welche Beziehung besteht zwischen E und ~ p? Berechnen Sie die Wellenfunktionen ψ(~r, t) im Ortsraum und ψ(~ e p, t) im Impulsraum f¨ ur einen beliebigen Zeitpunkt t (2P).

ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten P (~r, t) im Ortsraum und P (~ p, t) im

Impulsraum. Bestimmen Sie die Konstante A so, dass P (~r, t) und P (~ p, t) normiert sind

(2P).

iii) Berechnen Sie die (zeitabh¨angigen) Erwartungswerte h~ pi, h~ri, h~ p

i, h~r

i (2P).

iv) Bestimmen Sie σ

derart, dass die Varianz (∆~r)

zum Zeitpunkt t minimal wird (1P).

H10. Gleichm¨ aßig beschleunigtes Teilchen

Ein Teilchen unter dem Einfluss einer konstanten Kraft (z. B. eines Gravitationsfeldes) in z–Richtung wird durch die Schr¨odingergleichung

i ~ ∂

∂t ψ(~r, t) =

− ~

2m

∂

∂~r

+ mgz

ψ(~r, t) beschrieben.

i) Verwenden Sie das Ehrenfest–Theorem, um den Ortserwartungswert h~ri und den Impulserwartungswert h~ pi als Funktionen der Zeit t zu berechnen (3P).

ii) In diesem Falle kann man eine L¨osung der Schr¨odingergleichung aus einer L¨osung ψ

(~r, t) der Schr¨odingergleichung eines freien Teilchens gewinnen. Dazu w¨ahlt man den Ansatz

ψ(~r, t) = ψ

(~r − h~ri, t) exp i

~ W (~r, t)

W (~r, t) = φ(t) + ~ χ(t) · ~r .

Bestimmen Sie φ(t) und ~ χ(t), indem Sie diesen Ansatz in obige Schr¨odingergleichung

einsetzen (+2P).