Universit¨at Oldenburg Oldenburg, den 10. April 2013 Institut f¨ur Physik
Ubungen zur Vorlesung¨ Quantenmechanik (SoSe 2013, ¨Ubungsblatt 2)
http://www.condmat.uni-oldenburg.de/TeachingQM/QM.html Abgabe:Dienstag, 16. April bis 12:00 Uhr
5)Zeitentwicklung eines Gauß-Wellenpakets a) Betrachten Sie ein eindimensionales Wellenpaket
ψ(x, t) = 1
√2π Z +∞
−∞
dk ϕ0(k) ei(kx−ω(k)t)
mit der Dispersionsrelation ω(k) =~k2/(2m) und der Impulsverteilung ϕ0(k) =Ne−(k−k0)2a2/2 .
Wie muss (im Rahmen der ¨ublichen statistischen Interpretation der Wellenfunktion) der NormierungsfaktorN gew¨ahlt werden? Zeigen Sie, dass
ψ(x, t) = N a
q
1 + ima~t2
exp −x2−2ia2k0x+ i~mk20a2t 2a2 1 + ima~t2
! .
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, t)|2 und zeigen Sie, dass diese Dichte um die klassische Trajektorie eines freien Teilchens mit dem Impulsp=~k0 herum zentriert ist.
c) Erkl¨aren Sie, warum
∆x=a s
1 + ~t
ma2 2
ein vern¨unftiges Maß f¨ur die Breite des Wellenpakets darstellt. Nach welcher Zeit ∆twird also das “Zerfließen” des Pakets wesentlich? Welchen Wert erh¨alt ∆tf¨ur ein Staubkorn der Masse m = 1/100 g bzw. f¨ur ein Elektron, wenn in beiden F¨allen die anf¨angliche Ortsunsch¨arfe
durch a= 1 nm gegeben wird? (3P)
6)Weiteres zur Fourier-Transformation
a) Die Normkψk einer auf Rn quadratintegrablen Funktion ψ wird definiert durch kψk2 =
Z
dnx|ψ(~x)|2 .
Zeigen Sie durch eine formale Rechnung, dass die in Aufgabe 3 eingef¨uhrte Fourier-Trans- formation die Norm erh¨alt, dass also kψkb =kψk.
b) Zeigen Sie durch ein weiteres formales Argument, dass die Zeitentwicklung einer “freien”
Schr¨odingerwelle eines Teilchens der Masse m durch ψ(~x, t) =
Z
dnx0K(~x−~x0, t)ψ(~x0, t= 0) beschrieben wird, wobei der Integralkern (“der Propagator”) die Form
K(~x−~x0, t) = m
2πi~t n/2
exp
i m
2~t(~x−~x0)2
annimmt. (2P)
7)Funktionenr¨aume
a) Zeigen Sie durch je ein Beispiel, dass eine quadratintegrable Funktion nicht unbedingt auch integrabel ist, eine integrable Funktion ihrerseits nicht unbedingt quadratintegrabel.
b) Zeigen Sie, dass im Raum der auf dem Rn definierten, komplexwertigen, stetigen und quadratintegrablen Funktionen durch
hf|gi ≡ Z
dnx f∗(~x)g(~x)
ein Skalarprodukt definiert wird. (2P)
8)Weiteres zu den Hermite-Polynomen
a) Beweisen Sie f¨ur die in Aufgabe 4) eingef¨uhrten Hermite-Polynome die Identit¨aten Hn+1(x) = 2x Hn(x)−2n Hn−1(x) und d
dxHn(x) = 2n Hn−1(x). Hinweis: Sehr hilfreich ist hier die Beziehung (Beweis ?)
d dx
n
xe−x2 =x d
dx n
e−x2+n d
dx n−1
e−x2 . Zeigen Sie dann die G¨ultigkeit der Differentialgleichung
Hn00(x)−2x Hn0(x) + 2n Hn(x) = 0 . b) Betrachten Sie nun die Funktionen
ψn(x) =NnHn(x) e−x2/2 , n= 0,1,2,3, . . . ,
wobei die Normierungskonstanten Nn hier noch unbestimmt bleiben. Zeigen Sie unter Be- nutzung von Aufgabenteil a), dass diese Funktionen der Eigenwertgleichung (!)
−1 2
d2 dx2 + 1
2x2
ψn(x) =
n+1 2
ψn(x) gehorchen.
c) Bestimmen Sie nun die NormierungskonstantenNn. Hinweis: Ersetzen Sie dazu in der Bestimmungsgleichung
1 =Nn2 Z +∞
−∞
dxe−x2Hn2(x)
nureines der beiden Hermite-Polynome durch den aus Aufgabe 4) bekannten Ausdruck und integrieren Sien mal partiell. Es wird dann tats¨achlich verbl¨uffend einfach! (3P)
