Klasse II año
Arbeitsblatt: Quadratische Gleichungen -Mitternachtsformel
II-2010 Ab-quadrGl-pq.docx FJ Kurmann Seite 1/2
Die „Mitternachtsformel“ oder „p-q-Formel“ :
Die quadratische Gleichung
mit den Parametern
, Ñ
hat die Lösungen ,„Mitternachtsformel“
heißt
Diskriminante.
Es gilt:
☺
D > 0
: Die Gleichung hat2 Lösungen
D = 0
: Die Gleichung hat1 Lösung
D < 0
: Die Gleichung hatkeine Lösung
( inÑ
)
Löse folgende Gleichungen im Heft, gib die Lösungsmenge an und mache die Probe.
1. Lösungen
a) x2 – 17x + 60 = 0 x1 = 12; x2 = 5
b) 2x2 + 8x – 4,2 = 0 x1 = 0,47; x2 = ─ 4,47 c) x2 + 7x – 6 = 5 – x x1 = 1,2; x2 = ─ 9,2 d) (x – 12)2 + 22 = 2354 x1 = 60,29; x2 = ─ 36,29
e) x2 – 5x + 9 = 2x – 3 x1 = 4; x2 = 3
f) 4x2 + 8x – 3 = –2x – 6x2 + 204 x1 = 4; x2 = ─ 5
2. x2 – 8x + 16 = 0 x1 = 4
3. x2 + 20x + 144 = 0 Keine Lösung
4. Das Quadrat einer Zahl, vermehrt um das Vierfache
dieser Zahl ergibt 21. Für welche Zahlen gilt das? ( x1 = 3; x2 = ─7)
5. In einem Rechteck ist die Diagonale d = 20 cm. Eine Rechteckseite
ist 4 cm länger als die andere. Berechne die Länge beider Seiten. ( 12 cm und ─16 cm ) (Vorsicht: Satz des Pythagoras benutzen)
6. Verkürzt man eine Seite eines Quadrates um 5 cm und verlängert (Quadrat: a = 12 cm gleichzeitig die andere Seite um 10 cm, so erhält man ein Rechteck Rechteck: a = 7 cm mit dem Flächeninhalt 154 cm2. Berechne die Seitenlängen von b = 22 cm) Quadrat und Rechteck!
„
x
1,2 ist gleichdem halben Faktor von x mit umgekehrtem Vorzeichen
plus-minus der Wurzel aus o dem halben Faktor von x zum
Quadrat
o plus dem absoluten Glied mit umgekehrten Vorzeichen.“
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Ergänzung:
Die „a-b-c-Formel“ :
Die allgemeine quadratische Gleichung
mit den Parametern
, , Ñ
hat die Lösungen
,Diese Formel müssen wir uns aber eigentlich nicht merken, weil wir die Gleichung
durch
a
teilen können. Wir erhalten dann die Gleichung , die wir mit der (einfacher zu merkenden) p-q-Formel lösen können.
