II año

II año

Vieta

II-2010-AB-quadrGl-Vieta.docx Seite 1/2

FJ Kurmann

Hat die quadratische Gleichung die Lösungen x1 und x2, so gilt:

· (Zerlegung eines quadratischen Terms in Linearfaktoren)

Wurzelsatz von Vieta

Hat die quadratische Gleichung die Lösungen x1 und x2, so gilt:

x1 + x2 = ─ p und x1 • x2 = q

Bestimme alle äquivalenten Aussagen (Rechnung im Heft) und notiere den Lösungssatz!

Gleichung Linearfaktoren Lösung

1 x² + 7x + 10 = 0 1 (x + 2) (x - 1) = 0 x1 = 4, x2 = - 6 T 2 x² - 3x - 18 = 0 2 (x - 2) (x - 7) = 0 x1 = - 1, x2 = 4 O 3 x² + 2x - 24 = 0 3 (x + 11) (x + 3) = 0 x1 = 1, x2 = - 2 I 4 x² - 12x + 27 = 0 4 (x + 3) (x - 8) = 0 x1 = - 3, x2 = - 11 V 5 x² + 14x + 33 = 0 5 (x - 4) (x + 6) = 0 x1 = - 8, x2 = 2 A 6 x² - 3x - 4 = 0 6 (x + 8) (x - 2) = 0 x1 = - 3, x2 = 8 V 7 x² - 9x + 14 = 0 7 (x + 5) (x + 2) = 0 x1 = 9, x2 = 3 Z 8 x² - 5x - 24 = 0 8 (x - 2) (x - 2) = 0 x1 = 6, x2 = - 3 A

9 x² + x - 2 = 0 9 (x - 6) (x + 3) = 0 x1 = 2, x2 = 7 N

10 x² - x - 2 = 0 10 (x - 4) (x + 1) = 0 x1 = - 1, x2 = 2 E 11 x² - 4x + 4 = 0 11 (x - 3) (x - 9) = 0 x1 = - 5, x2 = - 2 S 12 x² + 6x - 16 = 0 12 (x + 1) (x - 2) = 0 x1 = 2, x2 = 2 T

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Vieta

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FJ Kurmann Lösungssatz:

Gleichung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Linearfaktoren Nr. 7 9 5 11 3 10 2 4 1 12 8 6

Lösung Nr. S A T Z V O N V I E T A

Der „Wurzelsatz von Vieta“ kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen!

Ist die quadratische Gleichung x² + 7x + 10 = 0 (die erste oben links in der Liste) gegeben, dann muss für die Nullstellen x₁, x₂ gelten:

x₁ + x₂ = – 7 x₁ — x₂ = 10

Nun kann man als erstes nach ganzzahligen Lösungen suchen, die ein Teiler der Zahl 10 sein müssen.

Die möglichen Faktoren aus ganzen Zahlen x₁ und x₂, deren Produkt 10 ist, sind:

x₁ x₂ x₁+x₂

1 10 11

2 5 7

–1 –10 –11 –2 –5 –7

Nur für x₁ = –2 und x₂ = –5 gilt:

x₁ + x₂ = – 7 x₁ — x₂ = 10

Also sind x₁ = –2 und x₂ = –5 die Lösungen von x² + 7x + 10 = 0 und es gilt:

x² + 7x + 10 = (x –(–2)) (x– (–5)) = (x+2) (x+5)