Die Zahl ! Dr. F. Raemy
Die Zahl !
Mit welcher Zahl muss man den Durchmesser d=2r eines Kreises multiplizieren, wenn man den Umfang U des Kreises bestimmen will?
Aus der Berechnung des Umfanges eines n-Ecks kann die Zahl ! bestimmt werden. Wir betrachten dazu ein Achteck und erweitern die Betrachtung anschliessend auf ein allgemeines n-Eck.
Das blaue n-Eck hat einen Umfang, der grösser ist als der Umfang des grünen Kreises. Dagegen ist der Umfang des roten n-Ecks kleiner als der Umfang des grünen Kreises. Der Umfang des Kreises liegt also zwischen dem Umfang des blauen und des roten n-Ecks.
Berechnen wir die Grundseite a und i der beiden Dreiecke:
i 2
r =
sin 360
016
! i=2r
"sin360
016
a 2
r =
tan 360
016
! a=2r
"tan 360
016
Bezeichnet man den Umfang des Kreises mit U, dann gilt in einem 8 Eck:
n
= 8 : ! 8 "
i#
U#! 8 "
a8 " ( 2r " sin
360160) #U # 8 " ( 2r " tan
360160)
2r " 3, 06147 #
U# 2r " 3, 31371
Der Umfang eines n-Ecks
Erweitern wir n, dann können wir für jedes n-Eck den Umfang U eingrenzen. Wir bezeichnen die Seite des einbeschriebenen n-Ecks mit i und die Seitenlänge des umschriebenen n-Ecks mit a.
n ! i " U " n ! a mit :
i2
r
=sin 360
02 ! n
#
$%
&
'( Dreieck
!innena2
r
=tan 360
02 ! n
#
$%
&
'( Dreieck
!aussenDamit folgt:
2r!n!sin 3600 2!n
"
#$
%
&' (U(2r!n!tan 3600
2!n
"
#$
%
&'
Berechnen wir für
n=109den Umfang:
n=109 : ! 2r"109"sin 3600
2"109 #U #2r"109"tan 3600
2"109
! 2r"3,1415927#U #2r"3,1415927
Die Bestimmung der Zahl ! und des Umfangs des Kreises
Daraus ist ersichtlich, dass die Zahl ! "
3,1415927
±5
#10$8 beträgt. Die Erhöhung von n schliesslich führt auf den Wert von !limn!" n#sin 3600 2#n
$
%&
'
() =*
und
limn!" n#tan 3600
2#n
$
%&
'
() =*