Die universelle ¨ Uberlagerung X ˜

Uberlagerungen ¨

Vorbemerkung. Ein top. Raum X sei die disjunkteVereinigung X = U

i∈I U_i von offenen TeilmengenU_i ⊂X. AlleU_isind dann als Komplement vonU

j6=iU_j auch abgeschlossen inX. F¨ur jede stetige Abbildung

γ :Q→X

von einem zusammenh¨angenden top. RaumQ(etwa einem QuaderQ=Qr

i=1[a_i, b_i]) nachXgilt dann

∃ξ ∈Q , γ(ξ)∈U_i =⇒ γ(Q)⊂U_i.

[Qist zusammenh¨angend und die disjunkte Vereinigung der offen und abgeschlos- senen Mengeγ⁻¹(U_i)undγ⁻¹(U_i^c). AlsoQ=γ⁻¹(U_i)oderQ=γ⁻¹(U_i^c)].

Definition. Eine Abbildungp:X →Y zwischen top. R¨aumen heißtUberlagerung,¨ wenn gilt:Jeder Punkty ∈Y besitzt eine UmgebungU ⊂Y f¨ur diep⁻¹(U)⊂X in eine disjunkte Vereinigung von offenen TeilmengenUi ⊂X zerf¨allt

(∗) p⁻¹(U) = ]

i∈F

U_i,

so daß alle eingeschr¨ankten Abbildungen

(∗∗) p:U_i →U Hom¨oomorphismen sind.

Im Fall (*) und (**) nennen wir eine offene TeilmengeU ⊂ Y gut(oderp-gut).

Offene Teilmengen einerp-guten Menge sind wiederp-gut.

Bemerkung 1. ¨Uberlagerungen sind stetige und offene Abbildung, d.h. Bilder of- fener Menge sind offen.

Bemerkung 2. Sind p_i : X_i → Y Uberlagerungen, dann ist auch die disjunk-¨ te Vereinung p = U

p_i : U

iX_i → Y eine ¨Uberlagerung. Ist p : X → Y eine ¨Uberlagerung und Y eine Mannigfaltigkeit, und ist X = U

iXi die Zer- legung von X in Zusammenhangskomponenten, dann ist p|_Xi : X_i → Y ei- ne ¨Uberlagerung. [F¨urp-gutes und obdA zusammenh¨angendes U giltp⁻¹(U) =

UU_i, undX_i∩U_iist aus Zusammenhangsgr¨unden entwederU_ioder∅, daU_i ∼=U zusammenh¨angend ist.]

Bemerkung 3. F¨ury∈Uliegt wegen (**) in jedemU_igenau ein Punktxder Faser p⁻¹(y). Die IndexmengeF kann daher mit der Faserp⁻¹(y)identifiziert werden.

Gilt x ∈ U_i f¨ur x ∈ p⁻¹(y), dann schreiben wir auch U_x anstelle von U_i, und nennen U_x dasBlatt vonx ¨uber U. F¨ur verschiedene x⁰ 6= x in der Faser F gilt offensichtlich

U_x∩U_x⁰ =∅.

Bemerkung 4. F¨ur Y⁰ ⊂ Y (versehen mit der Einschr¨ankungstopologie) ist die Einschr¨ankung einer ¨Uberlagerungp:p⁻¹(Y⁰)→Y⁰ wieder eine ¨Uberlagerung.

Bemerkung 5. Sei Y eine Mannigfaltigkeit. Sind p = p₁ ◦p₂ und p₂ : Z → Y Uberlagerungen und ist¨ p₁ : X → Z stetig und surjektiv, dann ist auch p₁ eine Uberlagerung.¨

[Der Durchschnitt U einer p-guten Umgebung von y mit einer p₁-guten Um- gebung von y, ist p- und p₁-gut. Jede zusammenh¨angende offene Teilmenge U ist dann p- und p1-gut mit U

jUj = p⁻¹(U) = p⁻¹₁ (p⁻¹₂ (U)) = p⁻¹₁ (U

iVi) = U

ip⁻¹₁ (V_i). DieU_j ∼=U sind die Zusammenhangskomponenten vonp⁻¹(U). Bil- der zusammenh¨angender Mengen unter der stetigen Abbildung p1 sind wieder zusammenh¨angend. Also ist p₁(U_j) zusammenh¨angend. Aus Zusammenhangs- gr¨unden folgtp₁(U_j)∩V_i =p₁(U_j)(die Menge dieserj seiJ) oderp₁(U_j)∩V_i =

∅. Im ersten Fall giltp1(Uj)⊂Vi. Anwenden des Hom¨oomorphismusp2 :Vi →U zeigt p₁(U_j) = V_i wegen p₂(p₁(U_j)) = p(U_j) = U. Also p⁻¹₁ (V_i) = U

j∈JU_j, denn(p|_Uj)undp₂|_Vi sind Hom¨oomorphismen und wegenp₂|_Vi◦p₁|_Uj =p|_Uj gilt dies dann auch f¨urp1 :p1|Uj →Vi.]

Existenz und Eindeutigkeit von Lifts

Seip:X →Y eine stetige Abbildung, und sei

• γ :I →Y ein stetiger Weg mitγ(0) =y₀

• x₀ ∈X ein Punkt mitp(x₀) = y₀.

Ein Lift vonγ ist dann ein stetiger Weg˜γ :I →X X

p

I ^{γ //}

˜ γ??



Y mit

p◦γ˜=γ .

Lokale Lifts. ¨Uber jeder guten TeilmengeU ⊂Y einer ¨Uberlagerungp:X →Y existiert ein ‘lokaler’ Lift. D.h. f¨ur [a, b] ⊂ I mit γ|_[a,b] : [a, b] → U und ein beliebiges gew¨ahltes BlattU_x ¨uberU ist

˜

γ = (p|Ux)⁻¹◦γ ein Lift vonγ|_[a,b].

Eindeutigkeitslemma. F¨ur eine ¨Uberlagerung pist ein Lift von γ durch seinen Anfangspunktx₀ eindeutig bestimmt.

Beweis. Die Menge J der Punkte in I, wo zwei Lifts ¨ubereinstimmen, ist nicht leer (0∈JAnfangspunkt !). Wir zeigenJ ist offen und abgeschlossen, und damit J = I. F¨ur jedest₀ ∈ I w¨ahlen wir dazu eine gute UmgebungU ⊂ Y vonγ(t₀) und setzenV =γ⁻¹(U).

Sei nunt0 ∈/J oder anders gesagt

x= ˜γ(t₀) 6= x⁰ = ˜γ⁰(t₀).

Aus x⁰, x ∈ F = p⁻¹(γ(t₀))und der Vorbemerkung folgt dann γ|˜_V ⊂ U_x und

˜

γ⁰|V ⊂ Ux⁰. WegenUx∩Ux⁰ = ∅enth¨ahlt also das Komplement vonJ auch die offene MengeV umt₀, ist also offen.

Andererseits istJ selbst offen, denn stimmen zwei Lifts im Punktt₀ ¨uberein, dann auch in der offenen Umgebung V von t₀. Dies ist wiederum eine unmittelbare Konsequenz der Vorbemerkung und der Eigenschaften (*) und (**). QED

Liftungslemma. Sei p : X → Y eine ¨Uberlagerung. Dann besitzt jeder stetige Wegγ :I →Y einen Lift zu vorgegebenem Anfangspunktx₀ ∈p⁻¹(y₀).

Beweis. Die MengeJ allert∈I mit der Eigenschaft ”Der gesuchte Teillift

˜γ|_[0,t): [0, t)→X

existiert” ist nicht leer [da der lokale Lift auf einer guten Umgebung des An- fangspunktes y₀ existiert]. Wie man leicht (!) aus der Definition sieht, gilt dann t₀ =sup(J)∈J. Es gen¨ugt den Lift auf eine Umgebung von

t₀ =sup(J) =max(J)

fortzusetzen. Sei dazuU ⊂ Y eine gute Umgebung vony = γ(t₀). W¨ahleε >0 mit γ([t₀ −ε, t₀ +ε]) ⊂ U (Stetigkeit von γ) und ein t₁ ∈ (t₀ −ε, t₀). Setze x = ˜γ(t₁) ∈ X. Auf Grund unserer Annahmen existiert dann aufU ein (a priori m¨oglicherweise anderer) lokaler Lift

˜

γ⁰ : [t₀−ε, t₀+ε]→p⁻¹(U) vonγ mit der Vorgabe

˜

γ⁰(t₁) =x= ˜γ(t₁)∈X .

Als Lifts von γ stimmen dann wegen dieser Vorgabe γ˜ und ˜γ⁰ auf [t0 − ε, t1]

¨uberein (Eindeutigkeitslemma !). Also verheften sich beide Lifts zu einer stetigen Abbildung. Dies setzt γ˜ stetig als Lift auf eine Umgebung von t₀ ∈ I fort. Aus der Minimalit¨at vont0 folgt dahert0 = 1, sowie die stetige Fortsetzbarkeit vonγ˜ vom Bereich aller0≤t < t₀ = 1auf den Bereich0≤t≤t₀ = 1. QED

Homotopie-Liftungslemma. Sei p : X → Y eine ¨Uberlagerung. Dann besitzt jede stetige HomotopieH : I² →Y einen stetigen LiftH˜ :I² →X bei vorgege- benem AnfangswertH(s,0) =x₀ ∈p⁻¹(y₀).

Beweis.H(s, t)ist eine Familie von stetigen Kurvenγ_s(t) =H(s, t). Diese lassen sich (wie bereits gezeigt) einzeln liften zu Kurvenγ˜s. Dies definiert

H(s, t) := ˜˜ γs(t).

Es bleibt zu zeigen, daß H˜ : I² → X stetig ist. Per Definition ist H˜ stetig in t bei fest gehaltenems. Wie im letzten Lemma benutzt man die Existenz eines

”maximalen”t₀ f¨ur das H(s, t)noch stetig ist auf I ×[0, t₀) ⊂ I². F¨ur die Ste- tigkeit vonH˜ auf ganzI²gen¨ugt wiederum die Stetigkeit vonH˜ in allen Punkten (s, t) ∈ I ×[t₀ −ε, t₀ +ε]. Dies ist eine lokale Frage und man kann Y durch eine gute Umgebung U vony = H(s, t)und I² durch einen geeigneten Quader

Q = [a, b]×[a⁰, b⁰]⊂ I² mitH(Q)⊂ U ersetzen. Es gen¨ugt dann die Blatttreue in folgendem Sinne zu zeigen

H(Q)˜ ⊂U_x falls x:= ˜H(s, t), da dies sofort die lokale Stetigkeit vonH˜ zeigt verm¨oge

H|˜ I⁰ =p|Ux ◦HI⁰ .

Bild:

Die Blatttreue. Aus der Vorbemerkung folgt H(s˜ ₀, t) ∈ U_x f¨ur alle t ∈ [a⁰, b⁰] (Stetigkeit in t bei festem s). W¨ahle ein t₁ mit b⁰ ≤ t₁ < t₀. Aus der Vorbe- merkung folgt wiederum H(s, t˜ ₁) ∈ U_x f¨ur alle s ∈ [a, b] (Stetigkeit in s nach Definition vont₀). Schliesslich gilt auchH(s, t)˜ ∈ U_xf¨ur allet∈ [a⁰, b⁰](wieder die Stetigkeit intbei festems). QED

Die universelle ¨ Uberlagerung X ˜

SeiXeine Mannigfaltigkeit (topologisch, differenzierbar oder eine Riemannsche Fl¨ache) und wegweise zusammenh¨angend. Wir fixieren einen Basispunktx₀ ∈X.

Sei dannX˜ die Menge der Homotopieklassenγ/∼von (stetigen) Wegenγ :I = [0,1] → X in X mit Startpunkt in γ(0) = x₀. Da der Endpunkt γ(1) nur von der Homotopieklasse vonγ abh¨angt definiertp(γ/∼) =γ(1)eine wohldefinierte Abbildung

p: ˜X →X .

p ist surjektiv, da X zusammenh¨angend ist. ¨Uber x₀ liegt ein spezieller Punkt

˜

x₀ ∈X, die Homotopieklasse des konstanten Wegs˜ x₀. Die Topologie vonX˜

Um X˜ mit einer Topologie zu versehen, gen¨ugt es eine Basis¹ der zu konstruie- renden Topologie anzugeben. Wir w¨ahlen dazu einen geeigneten Atlas der Man- nigfaltigkeit X, d.h. eine ¨Uberdeckung X = S

i∈IX_i durch offene Teilmengen mit Kartenabbildungen ψi : Xi ∼= Vi ⊂ R^dderart, dass die Bildmengen ψi(Xi) sternf¨ormige offene Teilmengen von R^d sind. Wir nehmen obdA an f¨ur jeden Punkt x ∈ X gibt es ein X_i mit x ∈ X_i so dass die Kartenabbildung ψ_i den Punkt x auf einen Sternmittelpunkt von ψi(Xi)abbildet. Wir nennen einen sol- che Umgebung U = X_i von x ∈ X eine gute offene Umgebung von x. Man kann zus¨atzlich annehmen, daß mit X_i auch auch alle gestreckten Kartenmenge Xi(t) = ψ_i⁻¹(t·ψi(Xi))f¨ur0< t≤ 1im Atlas enthalten sind. Man sieht leicht, dass ein solcher Atlas existiert.

Definition der Basis vonX. Gegeben sei eine Wegeklasse˜ γ/∼, also ein Punktx˜ vonX. Zu dem Endpunkt˜ x=p(˜x)w¨ahlen wir eine gute UmgebungU =Xi von xinX. Dem Paar(U, γ/∼)zugeordnet wird eine Teilmenge inX˜

[U, γ/∼] ⊂ X ,˜

1Eine BasisBeines topologischen Raums ist einen Teilmenge der Menge aller offenen Menge, welche die Basis-Eigenschaft besitzt: B1)U, V ∈ B=⇒U∩V ⊂S

i∈IVif¨ur geeigneteVi∈ B, i ∈ I. B2) Eine Teilmenge ist offen, wenn sie mit jeder ihrer Punktex˜auch einV ∈ Benth¨alt mitx˜ ∈ V. Beispiel: Die offenen Kugeln definieren einen Basis der Topologie des Euklidschen Raums. Jede TeilmengeBder Potenzmenge einer gegebenen MengeX˜ mit der Basis-Eigenschaft B1) definiert umgekehrt durch die Vorschrift B2) eine eindeutig bestimmte Topologie aufX˜, die von der BasisBerzeugte Topologie.

n¨amlich die Menge aller Wegeklassen

(yx◦γ)/∼ , y∈U .

Hierbei bezeichne yx das das Urbild des linearen Verbindungswegs zwischen ψ_i(x)undψ_i(y)in dem sternf¨ormigen Gebietψ_i(U)unter der Abbildungψ_i. D.h.

yxist ein Weg inU mit Anfangspunktxund Endpunkty. Die Abbildungpbildet [U, γ/∼]⊂X˜ bijektiv aufU ⊂Xab

p([U, γ/∼]) = U .

Basiseigenschaft B1) .

Seiγ/∼im Durchschnitt von[U⁰, γ⁰/∼]und[U⁰⁰, γ⁰⁰/∼]. Das Bildxvonγ/∼ unterp: ˜X →Xliegt dann inU⁰∩U⁰⁰⊂X. SeiUeine gute UmgebungU vonx;

ersetzt man U durch eine geschrumpfte MengeU(t)kann man obdA annehmen U ⊂U⁰∩U⁰⁰. Zum Beweis der Basiseigenschaft gen¨ugt

[U, γ/∼] ⊂ [U⁰, γ⁰/∼]

und analog f¨ur[U⁰⁰, γ⁰⁰/ ∼], denn solche[U, γ/ ∼] ¨uberdecken sann den Durch- schnitt (Eigenschaft B1). Zur ben¨otigten Inklusion muss f¨ury ∈U gezeigt werden

yx◦γ ∼ yx⁰⁰◦γ⁰ . Wegen[γ/∼]∈[U⁰, γ⁰/∼]gilt dies f¨ury=x, also

γ ∼ xx◦γ ∼ xx⁰⁰◦γ⁰ .

Einsetzen in die zu zeigende Identit¨at reduziert auf eine Ausage inU, n¨amlich zu zeigen

yx◦xx⁰⁰ ∼ yx⁰⁰

Diese folgt unmittelbar aus dem Schl¨ussellemma², denn U ist hom¨oomorph zu einen offenen sternf¨ormigen Menge und damit einfach zusammenh¨angenden Men- ge im Euklidschen Raum.

2In einem einfach zusammenh¨angenden Raum sind je zwei Wege mit denselben Anfangspunk- ten und denselben Endpunkten zueinander homotop.

Wir betrachten nun eine fixierte offene Menge [U⁰, γ⁰/ ∼] versehen mit der Einschr¨ankungstopologie. Eine Basis dieser Einschr¨ankungstopologie wird gege- ben durch die Schnitte [U⁰, γ⁰/ ∼]∩ B. Obiges Argument zeigt, daß man alter- nativ statt dieser Basis von [U⁰, γ⁰/ ∼] die Menge aller [U, γ/ ∼] w¨ahlen kann mitU ⊂ U⁰ und obiger Bedingung anγ/ ∼. Ersetzt man[U⁰, γ⁰/ ∼]mittels der Bijektionp durch die MengeU⁰, so entspticht dies genau den guten Teilmengen U ⊂U⁰, denn f¨ur jedesU⁰gibt esγ, das die obige Bedingung erf¨ullt. Es folgt Lemma.Die bijektive Projektion

p: [U⁰, γ⁰, /∼]−→U⁰

ist ein Hom¨oomorphismus zwischen der offenen Teilmenge [U⁰, γ⁰, / ∼] ⊂ X˜ versehen mit der Teilraumtopologie und der offenen MengeU⁰ ⊂X. Insbesondere istpstetig.

Beweis. Es gen¨ugt zu bemerken, daß die sternf¨ormigen KartenU ⊂U⁰um Punkte x∈ U⁰ mit ”Sternmittelpunkt”xeine Basis der Topologie vonU darstellen. Dies

¨uberlassen wir dem Leser als ¨Ubungsaufgabe.

Separiertheit der Topologie

Gegeben seinen zwei verschiedene Punkteγ⁰/∼undγ⁰⁰/∼inX˜ mit Bildpunkten x⁰, x⁰⁰inX.

F¨ur U⁰ ∩U⁰⁰ = ∅ sind [U⁰, γ⁰/ ∼]und [U⁰⁰, γ⁰⁰/ ∼] disjunkt, da ihre Bilder unterpdisjunkt sind. DaX separiert ist, zeigt dies die Separiertheit f¨urx⁰ 6=x⁰⁰.

Im Fallx⁰ =x⁰⁰definiert jeder Punkt

γ/∼ ∈ [U, γ⁰/∼] ∩ [U, γ⁰⁰/∼]

eine Homotopie yx◦γ⁰ ∼ γ ∼ yx◦γ⁰⁰. Anwenden vonyx⁻ gibt γ⁰ ∼ γ⁰⁰. Ein Widerspruch. Dies zeigt die Trennungseigenschaft und ausserdem die Eigenschaft (∗)von ¨Uberlagerungen

p⁻¹(U) = ]

γ/∼∈F

[U, γ/∼],

wobeiF die Homotopieklassenγ/∼von Wegen inX vonx₀ nachxdurchl¨auft.

Aus dem letzten Lemma folgt aber auch die Eigenschaft (**) einer ¨Uberlagerung.

Korollar.p: ˜X →Xist eine ¨Uberlagerung.

Da X˜ lokal so aussieht wie X, kann man den gew¨ahlten Atlas von X mit den guten Kartenmengen zu einem Atlas vonX˜ machen durch Zusammensetzung der Kartenabbildungen vonψ :U →ψ(U)⊂R^dmit den Projektionen

p: [U, γ/∼] ∼= U .

Korollar. Ist X eine topologische (differenzierbare) Mannigfaltigkeit oder eine Riemannsche Fl¨ache, dann gilt dasselbe f¨ur die ¨Uberlagerung X, und der Mor-˜ phismusp: ˜X →X ist stetig (differenzierbar) bzw. holomorph.

Wichtige Eigenschaften

SeiXeine (wegweise) zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit. Wir haben gezeigt:

F¨urx₀ ∈Xdefiniert der topologische Raum

X˜ = {Wege inXmit Anfangspunktx₀ }/Homotopie mit der kanonischen Abbildung

p: ˜X →X ,

welche jeder Wegeklasse seinen Endpunkt zuordnet, eine ¨Uberlagerung. Man nennt diese ¨Uberlagerung die universelle Uberlagerung von¨ X. Die Faser F = p⁻¹(x₀)istπ_X(x₀, x₀). InF gibt es einen ausgezeichneten Punkt x˜₀ = id_x0, die Klasse des konstanten Wegs vonx₀nachx₀.

Liftungsformel. Seix˜₀ ∈F die Klasse des konstanten Wegs. Seiγ :I → X ein stetiger Weg in X mit Anfangs- und Endpunkt x₀ und ˜γ : I → X˜ der eindeutig bestimmte Lift von γ zum Anfangspunkt x˜0. Dann gilt: Der Endpunkt in F = π_X(x₀, x₀)⊂X˜ ist

˜

γ(1) = γ/∼ .

Korollar 1.Je zwei Punktex˜₀,x˜⁰₀in der FaserF ¨uberx₀k¨onnen durch einen Weg inX˜ verbunden werden.

Korollar 2.IstX wegweise zusammenh¨angend, dann auchX.˜

Beweis. Jedes x˜ ∈ X˜ kann mit einem Punkt x˜⁰₀ in der Faser ¨uberx₀ verbunden werden, wennXzusammenh¨angend ist. Lifte dazu einen Weg inXvonp(x)nach x0). Dann benutze Korollar 1.

Korollar 3. Zwei Wege in X mit Anfangs- und Endpunkt x₀ sind homotop inX genau dann wenn ihre (eindeutig bestimmten) Lifts nachX˜ mit Anfangspunktx˜₀ denselben Endpunkt haben.

Korollar 4.X˜ ist einfach zusammenh¨angend.

Beweis von Korollar 4. Seien˜γ⁰,˜γWege inX˜ vonx˜₀nachx˜₀. Per Definition sind sie die Lifts ihrer Bildwege γ⁰ = p◦γ˜⁰, γ = p◦γ˜inX. Daγ˜⁰ undγ˜denselben Endpunktx˜₀ inX˜ haben, folgt aus der Liftungs-Formel

γ⁰ ∼γ , inπX(x0, x0). Aus dem Homotopie Liftungslemma folgt dann

˜

γ⁰ ∼γ˜ , inπX˜(˜x₀,x˜₀). Da dies f¨ur alle˜γ⁰,γ˜gilt, ergibt sichπ₁( ˜X,x˜₀) = 0.

Beweis der Liftungsformel

γ sei ein Weg inXmit Anfangspunktx₀. Bezeichneγ_s :t 7→γ_s(t) :=γ(st)den umsgeschrumpften Weg. Dann gilt

• γ_s(t)ist stetig int ∈ I mit Anfangspunkt γ_s(0) = x₀. Also ist f¨ur festess die Wegeklasseγ_s/∼ein Punkt vonX.˜

• F¨urs= 0istγ₀(t) =γ(0) =x₀ =id_x0(t)der konstante Weg inX.

• Der Endpunkt inX vonγ_sistx:=γ_s(1) =γ(s).

• γs/∼ ∈πX(x0, x)⊂X.˜

Variert mans, definiert dies eine Abbildung

˜

γ :I →X˜

verm¨oge s 7→ γ_s/∼. Der Endpunkt x vonγ_s h¨angt dabei von s ab. Wir haben damit eine Zuordnung konstruiert

{Wege inX mit Anfangspunktx0} −→ {Wege inX˜ mit Anfangspunktx˜0}, welche den Wegγ :I → X (parametrisiert durch die Variablet) aufγ˜ : I → X˜ abbildet (parametrisiert via γ(s) =˜ γ_s/∼ durch die Variable s). Das folgende Diagramm ist kommutativ

X˜

p

3x˜₀

I ^{γ //}

˜ γ @@

X 3x₀

dennp◦γ(s) =˜ p(γ_s/∼) = γ(st)|_t=1 =γ(s). Weiterhin gilt

1. Der Anfangspunktγ˜(0)inX˜ (beis= 0) istγ₀/∼=id_x0/∼= ˜x₀. 2. Der Endpunkt˜γ(1)inX˜ (beis= 1) istγ₁/∼=γ/∼.

3. Ausserdem istγ˜:I →X˜ stetig. Dies folgt aus dem n¨achsten Lemma (wenn man sich genau an die Definition der Basis der Topologie vonX˜ erinnert).

Also istγ˜der eindeutig bestimmte Lift vonγmit Anfangspunktx˜₀. Die Liftungs- formel folgt damit aus 2). QED

Lemma.SeiΦ : I² →X eine stetige Abbildung mitΦ(s,0) = x₀. Setzeγ_s(t) = Φ(s, t). Dann gilt: F¨ur festess⁰ ∈Iund allesnahe genug beis⁰ gilt

γ_s ∼ yy⁰◦γ_s⁰ .

Hierbei bezeichneyy⁰ wie bisher die ”Verbindungsgerade” vony⁰ =γ_s⁰(1) nach y=γ_s(1)in einer beliebigen ‘sternf¨ormigen’ Umgebung³U ⊂Y vony⁰.

Bild:

Beweis. ¨Uberdecke Φ(I²) durch sternf¨ormige offene Teilmengen U_i ⊂ Y; man legt in solchen Teilgebieten dann ”Verbindungsgeradenγ_i =y_iy⁰_imity_r=y, y⁰_r= y(siehe Bild). Dann gilt

α1 ∼γ1◦β1 , ..., αi ∼γi◦βi◦γ_i⁻

und α = α_r ◦..◦α₁ = γ_s, da die U_i einfach zusammenh¨angend sind (bereits bewiesenes Schl¨ussellemma⁴), sowieβ =β_r◦...◦β₁ =γ_s⁰ sowieγ_r =yy⁰. Aus der Homotopieassoziativit¨at undγ_i⁻◦γ_i ∼id_y⁰

i folgt dann α∼γ_r◦β .

Universalit¨at

SeiY eine zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit undp:X →Y eine ¨Uberlagerung.

Seix₀ ∈ X ein fixierter Punkt undy₀ ∈ Y sein Bildpunkt. Seip_Y : ˜Y → Y die universelle ¨Uberlagerung. Wir konstruieren eine stetige Abbildungq : ˜Y → X, welche das Diagramm

Y˜

pX

∃q

X

p Uberlagerung¨

~~~~~~~~~~

Y

3d.h. eine Umgebung, welche unter einer geeigneten Kartenabbildungφauf eine sternf¨ormige Menge inCabgebildet wird mit Sternmittelpunktφ(y⁰)

4Giltπ1(Ui) = 0, dann sind je zwei Wege inUi, die einen gemeinsamen Anfangspunkt und einen gemeinsamen Endpunkt besitzen, homotop inUi

kommutativ macht.

Konstruktion vonq. F¨urγ/ ∼inY˜ w¨ahle einen Repr¨asentantγ : I →Y, γ(0) = y₀. F¨ur den eindeutig bestimmten Liftγ˜ :I →X mitγ(0) =˜ x₀ setzen wir

q(γ/∼) = ˜γ(1) ∈Y .

Dies ist wohldefiniert [denn f¨ur einen anderen Repr¨asentantγ⁰ ∼γfolgt aus dem Homotopieliftungslemmaγ˜⁰ ∼˜γ, und somit˜γ⁰(1) = ˜γ(1)]. Es giltp(q(γ/∼)) = p(˜γ(1)) =γ(1) =p_Y(γ/∼). Alsop◦q =p_X. Man zeigt leicht:qist stetig.

Lemma. Ist X zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit und p : X → Y eine Uberlagerung, dann ist auch¨

q: ˜Y →X eine ¨Uberlagerung.

Beweis. Jeder Punktxkann mit x₀ durch einen Weg γ˜verbunden werden. Setze γ = p ◦ ˜γ, dann gilt q(γ/ ∼) = x. Also ist q surjektiv. Nach Bemerkung 5 (Abschnitt ¨Uberlagerungen) istqeine ¨Uberlagerung.

Satz.SeiY eine zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit mitπ₁(Y, y₀) = 0. Sei p:X→Y

eine ¨Uberlagerung und X zusammenh¨angend. Dann istp : X → Y ein Isomor- phismus.

Beweis. Es gilt p_Y = p ◦q. Wegen π₁(Y, y₀) = 0 ist p_Y ein Isomorphismus.

Also p◦f = id_Y f¨ur f := q◦ p⁻¹_Y . Eine direkte Rechnung zeigt andererseits f◦p=id_X. F¨urx∈Xw¨ahle dazu einen Hilfswegγ, der˜ x₀ mitxverbindet. Sei γ inY der Bildweg vony₀ nachy=p(x). Dann giltf(p(x)) =f(y) =q(y), und per Definitionq(y) = ˜γ(1)und damit gleich(f◦p)(x) =q(y) =x. QED

Korollar 5.Sei X eine zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit mit π1(X, x0) = 0 und

p:X→Y

eine ¨Uberlagerung. Dann istq : ˜Y →Xein Isomorphismus.

Funktorialit¨at

Seif :X → Y stetig. Dann existiert eine stetige Abbildungf˜: ˜X →Y˜, welche folgendes Diagram kommutativ macht

X˜ ^∃

f˜ //

pX

Y˜

pY

X ^{f //}Y definiert durch

γ/∼ 7→ (f◦γ)/∼ . Kommutativit¨at:

p_Y( ˜f(γ/∼)) =p_Y((f◦γ)/∼) = (f ◦γ)(1) =f(γ(1)) =f(p_X(γ/∼)). Wir ¨uberlassen es dem Leser nachzupr¨ufen, dassf˜stetig ist. Istf ein Morphismus zwischen Mannigfaltigkeiten (diffbar, hol. etc), dann auchf˜.

Quotienten

Sei X eine Mannigfaltigkeit und Γ eine Gruppe von Morphismen, welche auf X operiert. x, x⁰ ∈ X heissen ¨aquivalent unter Γ, wenn ein γ ∈ Γ existiert mit x⁰ = γ(x). Dies definiert eine ¨Aquivalenzrelation aufX. Die ¨Aquivalenzklassen nennt man Orbits vonΓaufX.

Seip:X →X/Γdie Abbildung, welche jedemxseinen Orbit zuordnet. Versehe X/Γ mit der Quotiententopologie, d.h. U ⊂ X/Γ ist offen gdw p⁻¹(U) offen in X ist. Dann ist p stetig per Definition und außerdem offen, d.h.: IstV offen in X, dann auch p(V). [p⁻¹(p(V)) = S

γ∈Γγ(V) ist offen als Vereinigung der offenen Mengen γ(V)]. Man sieht leicht, daß eine gegebene Topologie aufX/Γ die Quotiententopologie ist, wenn pstetig und offen ist. [Ist p⁻¹(V)offen, dann auchp(p⁻¹(V)) =V.]

Die Operation heisstfrei, wenn gilt

1. F¨ur jedesx∈Xgibt es eine UmgebungUx vonxmit der Eigenschaft γ(U_x)∩U_x 6=∅=⇒γ = 1.

2. Sindx, ynicht ¨aquivalent unterΓ, dann gibt es UmgebungenU_xvonxund U_y vonymitU_y ∩γ(U_x) = ∅f¨ur alleγ ∈Γ.

Aus 1) folgt:γ(U_x)∩γ⁰(U_x)6=∅impliziertU_x∩γ⁻¹γ⁰(U_x)6=∅, damitγ⁻¹γ⁰ = 1 wegen 1), alsoγ =γ⁰.

Eigenschaft 2) folgt bereits aus 1): Da X eine Mannigfaltigkeit ist, ist X lokal- kompakt. W¨ahlt man U_x in einem Kompaktum K, sind f¨ur 2) bei festem y nur endlich viele γ relevant. Wegen der Separiertheit von X kann man dann U_y und U_x endlich oft verkleinern so, daß 2) gilt.

OperiertΓfrei aufX, dann auch jede Untergruppe vonΓ.

Beispiel. Sei X = C und Γ = Z+Z ·τ (f¨ur ein festes τ ∈ H) operiere per Translation. F¨ur y = Im(τ)gilt|γ| ≥ yf¨ur alle γ 6= 0in Γ. W¨ahlt man f¨urUx

eine Kugel vom Radiusr < y/2, dann ist Eigenschaft 1) und damit 2) erf¨ullt.

Lemma. Ist die Operation von Γ auf X frei, dann ist p : X → X/Γ eine Uberlagerung.¨

Beweis. F¨urx ∈ X/Γ sei x ∈ X ein Repr¨asentant. W¨ahle V = U_x wie in 1).

Dann istU =p(V)offen inX/Γundp⁻¹(U) =S

γ∈Γγ(V) =U

γ∈Γγ(V), denn γ(V)∩ γ⁰(V) 6= ∅ impliziert γ⁰ = γ wegen 1). Es bleibt zu zeigen, daß p die Mengenγ(V)hom¨oomorph aufU abbildet. Dapstetig und offen ist, gen¨ugt dazu die Bijektivit¨at. Surjektivit¨at gilt per Definition vonU und wegenp=p◦γ.

Injektivit¨at. F¨ur x, x⁰ ∈ V gelte p(x⁰) = p(x), also x⁰ = γ(x) f¨ur ein γ aus Γ.

Dann istx⁰ ∈γ(U_x)∩U_x. Daraus folgtγ = 1wegen 1). Alsox⁰ =x. QED.

Lemma. Ist die Operation vonΓaufX frei, dann istX/Γeine Mannigfaltigkeit undp:X →X/Γein Morphismus von Mannigfaltigkeiten.

Beweis. Aus Eigenschaft 2) folgt, daßX/Γals top. Raum separiert ist. Da peine Uberlagerung ist, findet man leicht Karten auf einer guten Menge durch Karten auf¨ X, derart daß alle Kartenwechsel die gew¨unschten Eigenschaften haben. QED Ist U ein Normalteiler⁵ in Γ und operiert Γ frei aufX, dann induziert dies eine freie Operation vonΓauf denU-Orbits und damit aufX/U. Man zeigt leicht

(X/U)/(Γ/U) =X/Γ.

5D.h. es gelteγU γ⁻¹=U f¨ur alleγ∈Γ. Damit ist einerseits die FaktorgruppeΓ/Uerkl¨art.

Andererseits giltγ(U x) = γU γ−1γ(x) =U(γ(x)). Mit anderen Worten:γbildet denU-Orbit vonxauf denU-orbit vonγ(x)ab.

Die Operation vonπ₁(Y, y₀)aufY˜ SeiY eine zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit.

Die Homotopieklasse eines Weges inY mit Anfangspunkty₀ kann verkn¨upft mit der Homotopieklasse eines Weges vony₀ nachy₀. Dies f¨uhrt zu einer Operation der Fundamentalgruppe aufY˜. Genauer: Die Fundamentalgruppe Γ = π₁(Y, y₀) vonY operiert auf der universellen ¨UberlagerungY˜ vonY verm¨oge

(γ/∼)×(˜γ⁰/∼) 7→ (γ⁰◦γ⁻¹/∼) (f¨urγ⁰/∼inY˜) so dass die Diagramme

Y˜

γ/∼ //

p?Y??????? Y˜

pY



Y

kommutativ sind. Man sagt daher oft,Γoperiert durchDeckbewegungen. Die Or- bits dieser Operation sind offensichtlich die Mengen

π_Y(y₀, y)

da Γ = π_Y(y₀, y₀)einfach transitiv aufπ_Y(y₀, y) operiert (Eigenschaft des Fun- damentalgruppoids). Der Orbit ist daher durchyfestgelegt. Die MengeY /Γ˜ kann daher mit Y identifiziert werden und die Orbitquotientenabbildung p durch die Abbildungp_Y : ˜Y →Y.

Satz. Die Fundamentalgruppe operiert frei aufY˜ und die Quotientenabbildung Y˜ →Y /Γ˜ kann mit der Abbildungp_Y : ˜Y →Y identifiziert werden.

Beweis. Da die ¨Uberlagerungsabbildung stetig und offen ist, ist die Quotienten- topologie auf Y damit die gegebene Topologie auf Y. F¨ur y˜ ∈ Y˜ sei U einen gute Umgebung vonp(˜y). Dann giltp⁻¹(U) =U

iU_i.Γoperiert aufp⁻¹(U), und permutiert die Zusammenhangskomponenten U_i. Diese werden durch die Faser p⁻¹(y) = π_Y(y, y)parametrisiert. Aus der Fundamentalgruppoid-Eigenschaft er- gibt sich daher, daß die U_i mit den Mengen γ(U₁), γ ∈ Γ identifiziert werden k¨onnen. Hierbei seiU₁die Teilmenge, diey˜enth¨alt. Also operiertΓfrei aufY˜.

Zu jeder ¨Uberlagerungp:X →Y mitzusammenh¨angendemXhatten wir bereits eine ¨Uberlagerungq: ˜Y →Xkonstruiert, welche das Diagramm

Y˜

pX

q Uberlagerung¨

X

p Uberlagerung¨

~~~~~~~~~~

Y

kommutativ macht. Aus Korollar 5 folgert man, dassX˜ →Y˜ ein Isomorphismus ist, d.h.

q: ˜Y →X

ist die universelle ¨Uberlagerung vonX.Die Abbildungpinduziert eine Abbildung p∗ :π₁(X, x₀)→π₁(Y, y₀) = Γ. Aus dem Homotopie-Liftungslemma folgt, dass diese Abbildung injektiv ist. Das BildU

U ,→Γ

ist zuπ₁(X, x₀)isomorph. Die FundamentalgruppeU operiert daher aufY˜ derart, dass gilt

X ∼= ˜Y /U , U ∼=π₁(X, x₀).

Abelsche ¨Uberlagerungen

SeiAeine abelsche Gruppe. Wir nennen eine MannigfaltigkeitXeinenA-Raum, wennAoperiert frei aufX operiert. Dies definiert eine ¨Uberlagerung

p:X →X/A =Y .

Ein A-Morphismus f : X → X⁰ von A-R¨aumen ist ein Morphismus mit der Eigenschaftf(a·x) =a·f(x).

Sei b : Y → A eine lokalkonstante Funktion. Wir fassen b verm¨oge b(x) :=

b(p(x))dann auch als Funktionb :X →Aauf. F¨ur diese gilt dannb(a·x) = b(x).

Jede lokalkonstante Funktion b : Y → A definiert einen A-Morphismus vonX verm¨ogef_b(x) :=b(x)·x, dennf_b(a·x) = a·f_b(x)wegen

b(a·x)·(a·x) =b(x)·(a·x) = (b(x)·a)·x= (a·b(x))·x=a·(b(x)·x) =a·fb(x), da A abelsch ist! Ein A-Morphismus X → X⁰ induziert einen Morphismus X/A → X⁰/Ader Quotientenr¨aume. Ein A-Raum heisst trivial, wenn er als A- Raum isomorph ist zuA×Y mit der Operationa⁰·(a, y) = (a⁰+a, y).

Lemma.SeiX =A×Y ein trivialerA-Raum. Die Gruppe derA-Isomorphismen vonX, welche die Identit¨at aufY induzieren, ist isomorph zuAund wird erzeugt von denf_b f¨urb ∈A.

Kozykel. SeiXeinA-Raum mit QuotientY =X/A. F¨ur einen geeignet gew¨ahlten AtlasU vonY aus guten zusammenh¨angend gew¨ahlten Karten gilt f¨ur dieU_i ∈ U, daßp⁻¹(U_i)alsA-Raum trivial ist. Also gibt es einenA-Isomorphismus, der mit der Operation vonAvertr¨aglich ist

ψ_i :p⁻¹(U_i)∼=A×U_i.

Bei einem Kartenwechsel zuU_i ⊃U_i∩U_j ⊂U_j hat man daher einen zusammen- gesetztenA-Isomorphismusψji =ψ_j⁻¹|Ui∩Uj ◦ψi|Ui∩Uj

ψ_ji: (A×U_i)|_Ui∩U_j ∼=p⁻¹(U_i∩U_j)∼= (A×U_j)|_Ui∩U_j . Es gilt notwendigerweise

ψ_ji(a, u) = (a+a_ji(u), u)

f¨ur eine lokalkonstante Funktiona_ji : U_i∩U_j → A. Aus der Definition von ψ_ji folgen die

Kozykelrelationen: a_kj(u) +a_ji(u) =a_ki(u) , ∀u∈U_i∩U_j ∩U_k sowie a_ii(u) = 0 auf U_i. Man nennt eine beliebige Kollektion lokal konstanter Funktionena_ji(u) : U_i ∩U_j → A einen Cech-Kozyklus zu der ¨UberdeckungU, wenn die obigen Kozykelgleichungen f¨ur alleUi, Uj, Uk ∈ U gelten.

Die MannigfaltigkeitY kann vollst¨andig aus den KartenU_iund den Verheftungen entlang der Durchschnitte rekonstruiert⁶werden. Analog gilt dies f¨ur denA-Raum

6Y = UUi/ ∼mit der ¨Aquivalenzrelationui ∼ uj gdwui unduj denselben Punkt inUij

definieren.

X. Aus der Kenntnis des Cech-Kozyklus kann man den A-RaumX vollst¨andig rekonstruieren durch Verheften vonA-Karten

A×U_i , U_i ∈ U

entlang der Durchschnitte U_i ∩U_j mit Hilfe der A-Kartenwechselabbildungen ψ_ij(u). Zur wohldefinierten Konstruktion einer solchen Verheftung braucht man nur die Kozyklerelationen⁷. Dies zeigt, da man f¨ur einen beliebigen Chech-Kozyklel einenA-RaumX zusammenkleben kann, und es giltX/A=Y.

Lemma.Seiena_jiunda⁰_jiKozykel f¨urU. SeienX, X⁰ die zugeh¨origenA-R¨aume.

Dann gibt es einen Isomorphismf : X → X⁰ vonA-R¨aumen, welcher aufY die Identit¨at induziert, genau dann wenn es Elementea_i ∈Agibt mit

a⁰_ji(u)−aji(u) = aj −ai , u∈Ui∩Uj , ∀i, j .

7X = (UA×Ui)/ ∼mit(a, ui) ∼(a⁰, uj)genau dann wennui unduj denselben Punkt u∈ Uij definieren und wenn gilta⁰ =a+aij(u). Die Kozykelrelationen zeigen, daß dies eine Aquivalenzrelation definiert.¨