Binomialkoeffizienten, Pascal'sches Dreieck undBinomischer Lehrsatz mathphys-online

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Binomialkoeffizienten, Pascal'sches Dreieck und Binomischer Lehrsatz

Theorie 1: Die Fakultät

Das Produkt 1 2 3456...(n 2)(n1)n

wird folgendermaßen abgekürzt:

n=1 2 3456...(n 2)(n 1)n mit n ∈ IN.

(Sprich n-Fakultät) Festlegung: 0=1; 1=1; Anwendung:

Die Anzahl der verschiedenen Anordnungen aller Elemente einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge wird als Permutation bezeichnet.

Beispiel: 3 =1 2 3=6 , also (123) , (132) , (231) , (213) , (312) , (321)

Theorie 2: Binomialkoeffizienten

Das Symbol n k

 



 



(sprich n über k) heißt Binomialkoeffizient und entspricht den Zeilen

Spalten

 



 



^.

Beachten Sie, dass die Zählung mit der 0-ten Zeile bzw. 0-ten Spalte beginnt.

0 0

 



 



⁼¹

1 0

 



 



⁼¹

1 1

 



 



⁼¹

2 0

 



 



⁼¹

2 1

 



 



⁼²

2 2

 



 



⁼¹

3 0

 



 



⁼¹

3 1

 



 



⁼³

3 2

 



 



⁼³

3 3

 



 



⁼¹

4 1

 



 



⁼⁴

4 2

 



 



⁼⁶

4 3

 



 



⁼⁴

4 4

 



 



⁼¹

4 0

 



 



⁼¹

5 0

 



 



⁼¹

5 1

 



 



⁼⁵

5 2

 



 



⁼¹⁰

5 3

 



 



⁼¹⁰

5 4

 



 



⁼⁵

5 5

 



 



⁼¹

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Binomialkoeffizienten und binomischer Satz.

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Theorie 3: Berechnung der Binomialkoeffizienten

n k

 



 



k Faktoren von n abwärts k Faktoren von 1 aufwärts

=

Beispiel: 7

3

 



 



7 6 5 1 2 3

=

n k

 



 



n n( 1)(n2)...[n (k1)] 1 2 3...k

= n n( 1)(n 2)...(n k 1) 1 2 3...k

=

Verwendet man das Fakultätszeichen, so gilt:

n k

 



 



n

k(n k)

=

Festlegung: 0 0

 



 



⁼¹

;

ⁿ

0

 



 



⁼¹

;

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Abrufen der Binomialkoeffizienten bis zum Grade: N18 Programmierung

Ausgabe als Matrix

Pasc N1( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 8

0 0 0 0 0 1 0 7 0

0 0 0 0 1 0 6 0 28

0 0 0 1 0 5 0 21

0 0 0 1 0 4 0 15

0 56

0 1 0 3 0 10

0 35

0 1 0 2 0 6 0 20

0 70

0 1 0 3 0 10

0 35

0 0 0 1 0 4 0 15

0 56

0 0 0 1 0 5 0 21

0 0 0 0 0 1 0 6 0 28

0 0 0 0 0 1 0 7 0

0 0 0 0 0 0 1 0 8

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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Binomialkoeffizienten und binomischer Satz.

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Theorie 4: Binomischer Satz und Pascal'sches Dreieck

ab

( )ⁿ n

0

 



 



^a

 n n

1

 



 



^a

n 1

 b

 n

2

 



 



^a

n 2

 b²

 ... n

n 1

 



 



^{a b}

n 1



 n

n

 



 



^b

 n

= 

für alle n ∈ IN.

Binomialkoeffizienten bis zum Grade n:

n7 Programmierung

ab

( )ⁿ  a⁷7 a ⁶b21 a ⁵b² 35 a ⁴b³ 35 a ³b⁴21 a ²b⁵7 a b⁶b⁷

Pascalsches Dreieck

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