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Die Arcussinusfunktion

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f mit f x ( )  sin x ( ) mit x ∈ IR.

a ) Bestimmen Sie eine möglichst große Definitionsmenge und die zugehörige Werte- menge, in der die Sinusfunktion umkehrbar ist.

b) Geben Sie Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion u x ( ) = arcsin x ( ) an.

c) Zeichnen Sie die Graphen der Funktion f und der Umkehrfunktion u.

d) Bestimmen Sie die Ableitung der Arcussinusfunktion mithilfe der Ableitung der Umkehrfunktion.

Teilaufgabe a)

 10  8  6  4  2 0 2 4 6 8 10

 1.5

 1

 0.5 0.5

1 1.5

Graph der Sinusfunktion

x-Achse

y-Achse

π

2



2

Für die Umkehrbarkeit wird ein Bereich strenger Monotonie ausgewählt:

G

ist streng monoton steigend: ⇒ Df = [ π

 2 ; ^π

2 ] _{Wf = [ 1}  ; 1 ]

Teilaufgabe b)

Schreibweise in Mathcad für die Arcussinusfunktion: arcsin x ( )  asin x ( )

u x ( )  arcsin x ( ) Definitionsmenge: Du = [ 1  ; 1 ]

Wertemenge: Wu = [ π

 2 ; ^π

2 ]

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Teilaufgabe c)

Definitionsbereiche: x1 π

 2 π

 2  0.001

 π

 2

 x2   1   0.999  1

 2  1 0 1 2

 2

 1 1 2

Graph von f(x)=sin(x) Randminimum von f Randmaximum von f Graph von u(x)=arcsin(x) Randminimum von u Randmaximum von u

Graphen von Funktion und Umkehrfunktion

x-Achse

y-Achse

π

 2

2

 1 1

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Teilaufgabe d)

f x ( ) = sin x ( ) f' x ( ) = cos x ( )

u x ( ) = arcsin x ( ) u' x ( ) 1 f' y ( )

= 1

cos y ( )

= mit y = arcsin x ( )

Darstellung Kreis

Mit Pythagoras gilt: ( sin y ( ) ) ²  ( cos y ( ) ) ² = 1 ⇒ ( cos y ( ) ) ² = 1  ( sin y ( ) ) ²

 1  0.5 0 0.5 1

 1

 0.5 0.5

1

Einheitskreis mit Sektor

x-Achse

y-Achse

1 sin(x)

x = sin(arcsin(x))

Wurzelziehen: cos y ( ) = 1  ( sin arcsin x ( ( ) ) ) ² = 1  x ²

Eingesetzt: u' x ( ) 1

sin arcsin x ( ( ) )

= 1

1  x ²

= mit D = ] 1  ; 1 [

Weiter gilt:

 1 x

 1 1  x ²

lim _    ∞

1 x

 1 1  x ²

lim _    ∞

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Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion g x ( ) 1 1  x ²

 mit x ∈ ] 1  ; 1 [.

a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g in einem Koordinatensystem.

b) Berechnen Sie die Fläche unter dem Graphen von g im Intervall [ 0 ; x ] für mindestens drei verschiedene Werte von x und vergleichen Sie diese Werte jeweils mit dem Wert von arcsin(x).

Es gilt: arcsin x ( )

0 x

1 τ 1  τ ²

 

 



d

=

Wählen Sie x:

Darstellung

 2  1.5  1  0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Fläche

Graph von g

Arcussinus als Stammfunktion

x-Achse

y-Achse

x

x  0.7

0 x

1 τ 1  τ ²

 

 



d  0.775

Zum Vergleich:

arcsin x ( )  0.775

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