Bestimmung der Gravitationskonstanten
Historisches
Zu Lebzeiten Newtons (1643 - 1727) konnte die Gravitationskonstante G aus dem Gravitations- gesetz FGrav G M m
r2
= nicht experimentell bestimmt werden. Erst Cavendish gelang es 1798, also hundert Jahre später, diese Naturkonstante zu bestimmen.
Das Grundprinzip der Gravitationsdrehwaage
beruht auf der Messung kleinster Kräfte durch Verdrillung (Torsion) eines Fadens.
An einem dünnen Draht ist ein horizontal drehbarer Stab befestigt, der an seinen Enden zwei Bleiku- geln der Masse m trägt. Zwei große Bleikugeln der Masse M werden aus der gestrichelt gezeichneten Stellung in eine Position mit dem Abstand r zu den kleinen Kugeln geschwenkt. Aufgrund der Gravita- tionskraft werden die kleinen Kugeln auf die großen Kugeln hin beschleunigt.
Über den Lichtzeiger des Laserstrahls kann die Bewegung vergrößert beobachtet werden. Aus seinem Weg S kann auf den Weg s der Kugeln geschossen werden (geometrische Optik).
Die Kraft des Torsionsdrahtes ist anfangs Null und kann bei kleinen Winkeln gegenüber der Gravita- tionskraft vernachlässigt werden. Für kleine Winkel gilt auch s << r, d.h. r = const während der Messung.
Theoretische Herleitung
Nach dem 2. Newtonschen Gesetz und nach dem Gravitationsgesetz gilt: Fa FGrav=
m a G M m r2
= ⇒ Gleichung (*) G a r 2
= M
Mit konstanter Beschleunigung a gilt: Gleichung (**) s a 2t2
= ⇔ s proportional zu t2
s und t werden experimentell bestimmt.
Mit dem Drehwinkel Φ gilt: (1) tan( )Φ s
= d
Nach den Gesetzen der Optik bei der Reflexion (vgl. Reflexionsgesetz unten) wird der Lichtzeiger um den Winkel 2Φ gedreht, wenn sich der Spiegel um den Winkel Φ dreht.
(2) tan 2( Φ) S
= L
Für kleine Winkel Φ gilt folgende Näherung: (3) tan 2( Φ)=2 tan ( )Φ
Mit (3) in (2) gilt: (2*) tan( )Φ S 2 L
=
Aus (1): s=tan( )Φ d
(2*) einsetzen: s S
2 L d
= d
2 L S
=
Mit den konkreten Zahlenwerten:
Masse einer großen Kugel: M 1.5 kg
Abstand vom Spiegel der Waage zur Wand: L 8.19 m Abstand der kleinen Kugeln zur Drehachse: d 5.0 10 2m Mittenabstand der Kugeln nach dem Schwenken: r 4.6 10 2m
Messwerte
t (0 15 30 45 60 75 90 105 120)Ts S(0 0.25 0.75 1.5 3 5 6 9.5 11.5)T102m
"Fallstrecke":
s1 d 2 L S
Wähle für das Steigungsdreieck: x1 3 x2 12
Steigung: k 2.477 108 m
s2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Auswertung
Fallstrecke
Beschleunigung mit dem Steigungsdreieck: (**) a 2 k a 4.953 108 m s2
Experimentell ermittelte Gravitationskonstante: (*) G a r 2
M G 6.9881011 m3 kg s 2
Theorie
Das Reflexionsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Richtung des einfallenden Strahls, des reflektierten Strahls und der Lage des Spiegels. Als Hilfsmittel dient dabei das sogenannte Einfallslot ( = Senkrechte, die auf der Spiegeloberfläche im Auftreffpunkt des ein- fallenden Strahles errichtet wird).
Das Reflexionsgesetz lautet:
- Der einfallende Strahl und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene.
- Der Einfallswinkel ist genauso groß wie der Reflexionswinkel.
Wird nun der Spiegel um einen Winkel β gedreht, so wird der reflektierte Strahl um den doppelten Winkel, also 2β gedreht.
Mit dem Schieberegler wird der Spiegel um den Winkel β gedreht:
Berechnungen
Drehwinkel des Spiegels gegenüber der
Horizontalen:
β 15 Grad
Drehwinkel des reflektierten Strahls:
δ 30 Grad
Erklärung
Der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot sei zu Beginn α. Nach dem Reflexions- gesetz beträgt der Winkel zwischen dem einfallenden und reflektierten Strahl 2α.
Wird der Spiegel um den Winkel β im Uhrzeigersinn gedreht, so wird auch das Lot um den Winkel β gedreht. Der Winkel zwischen einfallendem Strahl und dem Lot beträgt jetzt α β , also ist der Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl jetzt 2α 2β .
Während der Spiegel um den Winkel β gedreht wurde, wurde der reflektierte Strahl um den Winkel 2β, also doppelt so stark gedreht.
Anwendung
Nachweis sehr kleiner Drehwinkel, z. B. bei der Bestimmung der Gravitationskonstanten G mit Hilfe einer Torsionsdrehwage.
