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Goethe-Universität Frankfurt am Main 8. Dezember 2011 Institut für Informatik

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Goethe-Universität Frankfurt am Main 8. Dezember 2011 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2011 / 2012

Übungsblatt 7

Zu bearbeiten bis Donnerstag, 15. Dezember 2011

Aufgabe 1: (20 Punkte)

Aus der Vorlesung wissen Sie, dass für jede endliche Signatur σ, jede Klasse S von σ-Strukturen und jede Anfrage Q gilt:

Q ist FO-definierbar auf S = ⇒ Q ist Gaifman-lokal auf S.

Gilt auch die Umkehrung? D.h. gilt für jede Anfrage Q:

Q ist Gaifman-lokal auf S = ⇒ Q ist FO-definierbar auf S ?

Belegen Sie Ihre Antwort, indem Sie entweder beweisen, dass die Umkehrung gilt, oder indem Sie ein Gegenbeispiel angeben.

Aufgabe 2: (30 Punkte)

Finden Sie einen auf dem Satz von Hanf beruhenden Beweis der folgenden Variante des Satzes von Seese:

Für jede Zahl d ∈ N

>1

und jeden FO[E]-Satz ϕ gibt es einen Algorithmus, der das A

USWERTUNGSPROBLEM FÜR

ϕ

AUF DER

K

LASSE ALLER ENDLICHEN

G

RAPHEN VOM

G

RAD

6 d

Eingabe: ein endlicher Graph G vom Grad 6 d Frage: Gilt G | = ϕ?

in Zeit O(n) löst, wobei n = |V

G

| + |E

G

| für G = (V

G

, E

G

) ist.

Aufgabe 3: (30 Punkte)

Sei Σ ein endliches Alphabet und SFR

Σ

die Klasse aller sternfreien regulären Ausdrücke über Σ.

Zeigen Sie, dass Folgendes gilt: Für jede sternfreie reguläre Sprache L ⊆ Σ

gibt es einen FO[σ

Σ

]- Satz, der die Sprache L beschreibt.

Aufgabe 4: (20 Punkte)

Finden Sie eine Sprache L, für die Sie Folgendes beweisen können:

L ist regulär, aber L ist nicht sternfrei regulär.

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