Konvexe H¨ ulle und Durchschnitte

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Konvexe H¨ ulle und Durchschnitte

Elmar Langetepe University of Bonn

Algorithmische Geometrie Durchschnitte/Konvexe H¨ulle 06.05.15 cElmar Langetepe SS ’15 1

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Erwartete Anzahl Konflikte: Beweis!

7

8 nil

9 10 11 12

8 nil

9

10 nil

11 12

A

p₈ p₈

p₁₀ p₁₀

a a

b b

p₁₂ z

z

p₉ p₉

p₁₂

p₇ p₇

p₁₁ p₁₁

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Erwartete Anzahl Konflikte: Beweis!

(p_i, p_j) in Konflikt ⇐⇒ zp_j schneidet eine Kante von ch(S_i−1), die beim Einf¨ugen von p_i entfernt wird

7

8 nil

9 10 11 12

8 nil

9

10 nil

11 12

A

p₈ p₈

p₁₀ p₁₀

a a

b b

p₁₂ z

z

p₉ p₉

p₁₂

p₇ p₇

p₁₁ p₁₁

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Absch¨ atzung durch Integral!

j

X

i=1

2

j ≤ 2

Z j

i=1

1

xdx ∈ O(log n)

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Einfaches optimales Verfahren: Vorsortieren!

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Einfaches optimales Verfahren: Vorsortieren!

Theorem 4.7 Die konvexes H¨ulle von n sortierten Punkten kann in Zeit O(n) berechnet werden.

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Einfaches optimales Verfahren: Vorsortieren!

Beweis:

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Einfaches optimales Verfahren: Vorsortieren!

Beweis: Konturpolygon bestimmen!

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Einfaches optimales Verfahren: Vorsortieren!

Beweis: Konturpolygon bestimmen! Geradeziehen der Ketten

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Konturpolygon bestimmen

R O

L

U

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Konturpolygon bestimmen

• Sortieren nach X- und Y -Koordinate, Min., Max. O, U, L, R

• Y -monotone Ketten L − O, O −R, R −U, U −L, Beispiel L − O

R O

L

U

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Konturpolygon bestimmen

• Sortieren nach X- und Y -Koordinate, Min., Max. O, U, L, R

• Y -monotone Ketten L − O, O −R, R −U, U −L, Beispiel L − O

• Laufzeit: O(n)

R O

L

U

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Konturketten in konvexe Ketten

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Konturketten in konvexe Ketten

• Sweep: Konvex-so-far, Backtracking, Beispiel Tafel

(15)

Konturketten in konvexe Ketten

• Insgesamt nicht mehr als O(n) (amortisiert) Orientationtests

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Konturketten in konvexe Ketten

• Insgesamt nicht mehr als O(n) (amortisiert) Orientationtests

p₁=L p_i-1

p_i

p_j p_j+1

p_k+1 O

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Einfaches optimales Verfahren: Vorsortieren!

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Das Dualit¨ atsprinzip!

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Das Dualit¨ atsprinzip!

Konfiguration von Punkten ¨ubertragen auf Konfiguration f¨ur Geraden

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Das Dualit¨ atsprinzip!

p = (a, b) −→ p^∗ = {Y = aX + b}

G^∗ = (−a, b) ←− G = {Y = aX + b}

(21)

Das Dualit¨ atsprinzip!

p = (a, b) −→ p^∗ = {Y = aX + b}

G^∗ = (−a, b) ←− G = {Y = aX + b}

Beispiel!

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Strukturelle Eigenschaften

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Strukturelle Eigenschaften

• Relative Lage von Punkten und Geraden zueinander

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Strukturelle Eigenschaften

• Abst¨ande bleiben gleich

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Strukturelle Eigenschaften

• Gerichteter vertikaler Abstand gva, Vorzeichen

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Strukturelle Eigenschaften

• p ∈ G ⇐⇒ G^∗ ∈ p^∗

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Strukturelle Eigenschaften

• p ∈ G ⇐⇒ G^∗ ∈ p^∗

Lemma 4.8 F¨ur einen Punkt p und eine Gerade G haben wir gva(p, G) = −gva(G^∗, p^∗). Insbesondere gilt:

p liegt oberhalb von G ⇐⇒ p^∗ verl¨auft oberhalb von G^∗

(28)

Weitere Eigenschaften

(29)

Weitere Eigenschaften

Lemma 4.9 Seien p = (a, b) und q = (c, d) mit a 6= c und `(pq) die Gerade durch p und q.

Dann gilt:

p^∗ ∩ q^∗ = (`(pq))^∗.

(30)

Weitere Eigenschaften

Lemma 4.9 Seien p = (a, b) und q = (c, d) mit a 6= c und `(pq) die Gerade durch p und q.

Dann gilt:

p^∗ ∩ q^∗ = (`(pq))^∗.

Beweis: Konstruktiv!

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Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe H¨ ulle

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Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe H¨ ulle

• n Geraden G_i, 1 ≤ i ≤ n, in der Ebene, nicht senkrecht

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Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe H¨ ulle

• G_i = {(x, y) ∈ IR²; y = a_ix + b_i} = {Y = a_iX + b_i} reelle Zahlen a_i, b_i

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Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe H¨ ulle

• Durchschnitt der unteren Halbebenen H_i = {Y ≤ a_iX + b_i}

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Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe H¨ ulle

• Durchschnitt der unteren Halbebenen H_i = {Y ≤ a_iX + b_i}

n

\

i

H_i

Berandet durch untere Kontur des Arrangements der Geraden

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Dualit¨ at ausnutzen

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Dualit¨ at ausnutzen

Theorem 4.10 Arrangement von n Geraden G_i:

G_i ∩ G_j ist Eckpunkt des Durchschnitts der unteren Halbebenen

⇐⇒ das Liniensegment G^∗_i G_j∗ ist eine untere Kante der konvexen H¨ulle der Punkte G^∗_i

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Dualit¨ at ausnutzen

Konvexe H¨ulle und Schnitt von Halbebenen ist identisch

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Dualit¨ at ausnutzen

Konvexe H¨ulle und Schnitt von Halbebenen ist identisch Beweis!

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Ergebnisse

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Ergebnisse

Korollar 4.11 Die Berechnung des Durchschnitts von n Halbebenen hat die Zeitkomplexit¨at Θ(n log n).

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Ergebnisse

Korollar 4.11 Die Berechnung des Durchschnitts von n Halbebenen hat die Zeitkomplexit¨at Θ(n log n).

Korollar 4.12 Der Schnitt von n Halbebenen, deren Geraden nach Steigung sortiert sind, kann in Zeit O(n) berechnet werden.