Netzwerke, Signale undsysteme

Hochschultext

H. W SchUBler

Netzwerke, Signale undSysteme

Band II

Theorie kontinuierlicher und diskreter Signale und Systeme

Mit 176 Abbildungen

Springer-Verlag

Berlin Heidelberg New York Tokyo

1984

Dr.-Ing. Hans Wilhelm SchuBler

o. Professor, Lehrstuhl fUr Nachrichtentechnik der Universitat Erlangen-NUrnberg

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek SchUBler, Hans Wilhelm

Netzwerke, Signale und Systeme 1 H.w. SchUBler Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer (Hochschultext)

Bd.2 : SchUBler, Hans Wilhelm

Theorie kontinuierlicher und diskreter Signale und Systeme H.w. SchUBler

Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer 1984 (Netzwerke, Signale und Systeme 1 H.W. SchUBler; Bd. 2) (Hochschultext)

ISBN-13: 978-3-540-13118-2 e-ISBN-13: 978-3-642-96810-5 001: 10.1007/978-3-642-96810-5

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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1984

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2362/3020-543210

Fur die Signal- und Systemtheor~e ist in besonders starkem MaBe charakteristisch, daB sie mit mathematischen Modellen arbeiten, mit denen die Signale und die an einem Gebilde gultigen Be- ziehungen zwischen ihnen beschrieben werden. Da es dabei stets nur auf diese mathematischen Aussagen ankommt, tritt die Art der auftretenden GraBen und der Realisierung der Systeme in den Hin- tergrund. Fur die Untersuchungen ist es zunachst gleichgultig, ob ihre Ergebnisse fur die approximative Beschreibung des Ver- haltens von z.B. elektrischen oder mechanischen Gebilden verwen- det werden sol len oder ob sie flir ein Rechnerprogramm gel ten.

MaBgebend ist, wenn vorhanden, die gemeinsame mathematische Basis.

In dem hier vorgelegten zweiten Teil des Buches wird der Versuch unternommen, sowohl diskrete wie kontinuierliche Signale und Systeme einheitlich und weitgehend parallel zu behandeln. Die engen Verwandtschaften zwischen beiden Gebieten werden aufge- zeigt, die Unterschiede herausgearbeitet. Ebenso werden deter- minierte und stochastische Signale nebeneinander betrachtet. Es wird untersucht, wie Systeme auf sie reagieren.

Das erste Hauptkapitel behandelt zunachst die verwendeten Signale im Zeit- und Frequenzbereich. Dabei werden sowohl Folgen wie Funk- tionen betrachtet und die zwischen ihnen bestehenden Beziehungen untersucht, falls z.B. die Folgen durch Abtastung der Funktionen entstanden sind. Die Behandlung erstreckt sich dabei sowohl auf determinierte wie stationare stochastische Signale. Es schlieBt sich eine allgemeine Theorie der Systeme an, die auf der Basis der durch sie vermittelten Relation zwischen Eingangs- und Ausgangs- graBen klassifiziert werden. Eingehender werden lineare Systeme betrachtet, die durch Impuls- oder Sprungantwort gekennzeichnet sind. Die weitere Spezialisierung fuhrt auf zeitinvariante lineare Systeme, die zusatzlich im Frequenzbereich beschrieben werden kannen.

VI Vorwort Bis hierher waren noch keine Voraussetzungen uber die mathematische Form der die Systeme beschreibenden Beziehungen gemacht worden. Die restlichen drei Kapitel fuhren solche Spezialisierungen ein. Sehr eingehend werden die Systeme betrachtet, die durch gewahnliche Dif- ferential- oder Differenzengleichungen beschrieben werden, wobei der lineare, zeitinvariante Fall einen besonders breiten Raum einnimmt Bezuglich kontinuierlicher Systeme kann dabei haufig auf das Beispiel der in Band I behandelten Netzwerke verwiesen werden. Hier wird die dazu magliche Verallgemeinerung dargestellt, besonders aber die groBe Parallelitat zu den Systemen herausgestellt, die durch Diffe- renzengleichungen beschrieben werden. Die Eigenschaften der sie kennzeichnenden Impuls- und Sprungantworten sowie der Ubertragungs- funktion und des Frequenzganges werden ausfuhrlich diskutiert, so wie das fur die entsprechenden GraBen kontinuierlicher Systeme be- reits im Band I geschah. Die fur beide Systemarten gultigen Unter- suchungen der Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Stabilitat schlie Ben sich an. In diesem Abschnitt finden sich weiterhin charakteristische Beispiele fur die Anwendung diskreter Systeme sowie fur das Zusammen- spiel beider Systemarten. SchlieBlich werden die wichtigsten gefun- denen Beziehungen tabellarisch zusarnrnengestellt. Es folgen eine kurz gefaBte Untersuchung linearer, zeitvariabler, insbesondere periodisch

zeitvariabler Systeme und ein Abschnitt uber die Stabilit~t all- gemeiner Systeme.

Die Behandlung von Gebilden mit verteilten Parametern beschrankt sich auf Systeme, bei denen die beschreibende partielle Differen- tialgleichung nur zwei unabhangige variable hat, neben der Zeit also eine Ortsvariable. Als charakteristisches Beispiel wird die homogene Leitung untersucht und ihr Frequenz- und Zeitverhalten insbesondere fur einige wichtige Spezialfalle dargestellt. Eine Verbindung zu diskreten Systemen ist hier insofern maglich, als diese als Modell fur spezielle Leitungsnetzwerke verwendet werden konnen. In einem kurzen Abschnitt wird gezeigt, daB das Verhalten einiger anderer, nicht elektrischer physikalischer Systeme durch die gewonnenen Ergebnisse ebenfalls beschrieben werden kann.

Das abschlieBende 5. Kapitel befaBt sich mit idealisierten, linea- ren, zeitinvarianten Systemen. Oem klassischen Vorgehen von Kupf- muller folgend wird das Zeitverhalten von kontinuierlichen und diskreten systemen untersucht, fur die willkurlich idealisierte Ubertragungsfunktionen angenornrnen werden. Dadurch gelingen sehr allgemeingultige Aussagen uber die Wirkung charakteristischer Ab-

Vorwort

weichungen vom idealen Verhalten. Es schlieBt sich eine Betrachtung tiber kausale Systeme und die bei ihnen vorliegenden Beziehungen zwischen den Komponenten des Frequenzganges an. Erganzende Aussa- gen zur Signaltheorie bilden den AbschluB. Der Anhang bringt eine z.T. tabellarische Zusammenstellung von Beziehungen und Aussagen aus verschiedenen im Buch benotigten mathematischen Gebieten.

Auch der II. Band der Reihe' ist als Lehrbuch gedacht. Er ist aus Vorlesungen liber Systemtheorie und Digitale Signalverarbeitung entstanden, die an der Universitat Erlangen-Nlirnberg fUr das 5.

und 6. semester gehalten werden. Das Buch enthalt eine Vielzahl von Beispielen, die durch MeBergebnisse von Versuchen unterstlitzt werden, die ihrerseits z.T. wieder von Vorlesungsdemonstrationen stammen.

Bei der Niederschrift konnte ich mir zu Einzelfragen Rat und Hin- weise bei den Professoren Brand, Brehm, Brunk, Henze, Mecklen- brauker, Pfaff und Rupprecht sowie bei Dr. Kittel holen. Die Vor- bereitung der Beispiele und der vorgestellten Experimente erfor- derte die Hilfe mehrerer Mitarbeiter des Institutes, von denen ich die Herren Dipl.-Ing. Rabenstein und Weith besonders erwahne.

Bei der mlihevollen Arbeit des Korrekturlesens haben mich die Herren Dr.-Ing. habil. Heute und Dr. Steffen sehr unterstlitzt.

Insbesondere habe ich hier die Hilfe von Dr. Steffen hervorzu- heben, der mir zu allen Kapiteln ein kritischer Gesprachspartner war und zu verschiedenen Punkten konstruktive Vorschlage ge- macht hat. Die Reinschrift des Textes, die Anfertigung der zahl- reichen Zeichnungen und die photographischen Arbeiten lagen in den bewahrten Handen von Frau Frizlen, Frau Grlindl, Frau Felske und Frau WeiB. Ihnen allen gilt mein Dank. Ebenso danke ich dem Springer-Verlag flir die gute Zusammenarbeit.

Erlangen, 31.12.1983

H.W. SchliBler

VII

Inhaltsverzeichnis

2

Einleitung

Eigenschaften von Signalen und Systemen 4 2. 1 Determinierte S ignale . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . • . • • . . . . . 4 2.1.1 Betrachtung im Ze i tbereich .. . . . . . . . . . . . . . . . • . . 4 2.1.2 Betrachtung im Frequenzbereich 14 2.1.2.1 Periodische Funktionen, Fourierreihen 14 2.1.2.2 Periodische Folgen, Diskrete Fourier-

transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2.3 Spektrum von Funktionen, Fouriertrans-

formation .. . . • . . . . . . • . . . • . • . . . .• . . • . . . 27 1. Einflihrung

2. Gesetze der Fouriertransformation 2.1.2.4 Spektren von Folgen

2.1.2.5 Spektren verallgemeinerter Funktionen 2.1.2.6 Spektren abgetasteter Funktionen

2.1.2.7 Das Abtasttheorem ....•....•...

2.2 Stochastische Folgen und Funktionen

2.2.1 Betrachtung im Zeitbereich ....•...•...

2.2.1.1 Einflihrung ... . 2.2.1.2 Erwartungswert, Charakteristische

Funktion •...•..

2.2.1.3 Zwei Zufallsvariablen ... . 2.2.1.4 Korrelation und Kovar ianz ... . 2.2.1.5 Zeitmittelwerte, Ergodische Prozesse 2.2.2 Betrachtung im Frequenzbereich

2.3 Systeme

27 30 41 46 49 53 59 59 59 66 68 74 79 83 87 2.4 Beschreibung von linearen Systemen im Zeitbereich 95 2.4.1 Kennzeichnung durch die Sprungantwort ... 96 2.4.2 Kennzeichnung durch die Impulsantwort ... 100 2.4.3 Eine StabilitKtsbedingung ..•... 103 2.4.4 Zeitverhalten von linearen Systemen mit ~ Ein-

gKngen und r AusgKngen ... 107

Inhaltsverzeichnis

2.5 Beschreibung von linearen, zeitinvarianten Systemen im Frequenzbereich ••....•.•••.••.•••.•.••••••.•••••.

2.6 Reaktion eines linearen, zeitinvarianten Systems auf ein Zufallssignal .•....••.•.•.••.••••..•••.••.••.•....

2.7 Verlustfreie und verlustbehaftete Systeme

2.8 Beispiele .•...•...••.•.•.••...••••....•.

1. Verzogerungsglied •.••••....•...••.•..••.•...••...

2. Angenaherte und exakte Differentiation

3. Angenaherte und exakte Integration ...•..•....•...

4. Mittelwertbildung tiber ein Fenster fester Breite 5. System erster Ordnung

2.9 Bemerkungen zu nichtlinearen Systemen

2.9.1 Regulare Verzerrungen ...•..•...•..•...•

2.9.2 MeBgroBen fur nichtlineare Verzerrungen ...•...

2.9.3 Nichtregulare nichtlineare Verzerrungen a) Ubersteuerung

b) Quantisierung 2.9.4 Hystereseverzerrungen Literatur

3 Kausale Systeme, beschrieben durch gewohnliche Differenzen- oder Differentialgleichungen ...•...

3.1 Zustandskonzept und Zustandsgleichungen

3.2 Lineare, zeitinvariante Systeme ...••...

3.2. 1 Vorbemerkung ...•..••...•...•...

3.2.2 Zustandsgleichungen, realisierende Strukturen, Ubertragungsfunktionen ... . 3.2.2.1 Beispiele

3.2.2.2 Systeme n-ter Ordnung 3.2.2.3 Verallgemeinerung

3.2.2.4 Transformation von Zustandsvariablen 3.2.3 Die Losung der Zustandsgleichung im Zeitbereich

3.2.3.1 Kontinuierliche Systeme 3.2.3.2 Diskrete Systeme

3.2.4 Die Losung der Zustandsgleichung im Frequenzbe- reich ...•...

3.2.4.1 Kontinuierliche Systeme 3.2.4.2 Diskrete Systeme

3.2.5 Erganzende Betrachtung diskreter Systeme ...•.

3.2.5.1 Impuls- und Sprungantwort ...•.

3.2.5.2 Stabilitat 3.2.5.3 Frequenzgang

3.2.5.4 Beziehungen zwischen den Komponenten

109 114 122 125 126 127 129 131 136 138 139 141 143 143 144 146 148

150 150 152 152 157 159 165 176 180 184 184 186 193 193 194 202 202 205 208 einer Ubertragungsfunktion ...•... 215

IX

x

3.2.5.6 Autokorrelierte der Impulsantwort 3.2.5.7 Nichtrekursive Systeme

3.2.5.8 Systeme linearer Phase ... . 3.2.5.9 Charakteristische Frequenzgange ... . 3.2.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ... . 3.2.7 Erganzende Betrachtungen zur Stabilitat linearer,

zeitinvarianter Systeme ... . 3.2.7.1 Stabilitatsuntersuchung basierend auf den

Zustandsvariablen ... . 3.2.7.2 Graphische Stabilitatstests

a) Nyquist-Kriterium b) Wurzelortsverfahren 3.2.8 Anwendungen

226 231 237 240 242 251 258 258 260 261 272 283 a) Simulation . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . 284 b) Digital-Analogwandlung und Glattung ... 291 3.2.9 Zusammenstellung von Beziehungen dieses Abschnit-

tes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29'5 3.3 Lineare, zeitvariante Systeme

3.3.1 Losung der Zustandsgleichung

3.3.1.1 Behandlung der homogenen Gleichungen a) Allgemeiner Fall

301 302 302 302 b) Periodisch zeitvariable Systeme 308 3.3.1.2 Behandlung der inhomogenen Gleichungen 318 3.3.2 Behandlung zeitvarianter Systeme im Frequenzbe-

reich ... 322 3.4 Allgemeine Systeme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .. 323 3.4.1 Stabilitatsdefinition nach LYAPUNOV (1892) 324 3.4.2 Stabilitat nicht erregter linearer Systeme 328 3.4.3 Die direkte Methode von LYAPUNOV

3.4.4 Stabilitat erregter linearer Systeme Literatur

331 342 344 4 Lineare, kausale Systeme, beschrieben durch partielle Diffe-

rentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 347 4.1 Vorbemerkungen

4.2 Homogene Leitungen

4.2.1 Leitungsgleichungen

4.2.2 Untersuchung des Frequenzverhaltens 1. Verzerrungsfreie Leitung

2. Verlustfreie Leitung

4.2.3 Untersuchung des Zeitverhaltens ... . 4.2.4 Wellenmatrizen ... .

347 348 348 349 358 359 362 369

Inhaltsverzeichnis

4.2.4.1 Einftihrung 4.2.4.2 Die Wellenquelle

XI 369 371 4.2.4.3 Eintorige StoBstelle .•...•....•... 372 4.2.4.4 Zweitorige StoBstelle, Streumatrix •...••• 374 4.2.4.5 Kaskadenmatrix

4.2.4.6 Beispiele

377 379 a) Die Elementarleitung ...•....•..• 379 b) Zusammenschaltung zweier Leitungen 380 c) Betriebsverhalten einer Leitungs-

kaskade . . . 381 4.3 Physikalische Systeme, die zur homogenen Leitung analog

sind .. . . . • . . • . . . 383 4.3.1 Die Wellengleichung

4.3.2 Die Warmeleitungsgleichung Literatur

383 385 388 5 Idealisierte, lineare, zeitinvariante Systeme .•...•. 390 5.1 Einftihrung ... . . . 390 5.2 Verzerrungsfreie Systeme ... '" . .. ... .. . ... . . .. . .. ... . .. 392 5.3 Impuls- und Sprungantworten idealisierter Systeme 395

5.3.1 Verzerrung des Betragsfrequenzganges 5.3.1.1 Idealisierter TiefpaB

395 395 5.3.1.2 Allgemeine Systeme linearer Phase ... 400 5.3.1.3 Spezielle Verzerrungen des Betragsfre-

quenzganges ... '.' . . . . . . . . . • . . . 407 1. Ansteigender oder abfallender Verlauf

von Ho (w) ., • ••• •• •• •• •• • •• ••• •• ••• • •• • 408 2. Schwankende Ubertragungsfunktion 409 3. Gtinstige Ubertragungsfunktion

5.3.1.4 Impulsantwort von Bandpassen

5.3.2 Systeme mit Phasenverzerrung ...•...

5.3.2.2 Tiefpasse mit Phasenverzerrung ... . 5.3.3 Allgemeine Verfahren zur Berechnung des Zeitver-

hal tens von Systemen ...•...•...•.•.

5.4 Wechselschaltvorgange

5.4.1 Allgemeine Zusammenhange ... . 5.4.2 Wechselschaltvorgange in idealisierten Tiefpassen 5.4.3 Wechselschaltvorgange im idealisierten BandpaB 5.5 Kausale Systeme

5.5.1 Vorbemerkung

5.5.2 Beziehungen zwischen Real- und Imaginarteil

eines Frequenzganges •...

5.5.3 Beziehungen zwischen Dampfung und Phase

412 415 419 422 425 431 431 436 442 446 446 450 461

XII Inhaltsverzeichnis 5.6 Erganzende Aussagen zur Signaltheorie ••...•....••.•

5.6.1 Reziprozitat von Impulsdauer und Bandbreite

5.6.2 MeBtechnische Spektralanalyse .•...•.•...

5.6.3 Hilbert-Transformation von Zeitfunktionen 1. Einhlillende eines Signals

2. Einseitenbandmodulation

3. Abtasttheorem flir bandpaBformige Signale Literatur

467 467 471 475 478 479 479 482 Anhang • • . • • . . • . . • . • . • . . .• . . . . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . 484 A.1 Funktionentheorie ...•...•..•... 484

A.1.1 Holomorphe Funktionen A.1.2 Potenzreihen

A.1.3 Integration A.2 Z-Transformation

A.2.1 Definition und Eigenschaften A.2.2 Zweiseitige Z-Transformation A.2.3 Die Rlicktransformation

484 485 486 488 488 492 493 A.3 Einflihrung in die Distributionentheorie ...•.. 495 A.3.1 Lokal integrable Funktionen ...•. 496 A.3.2 Die allgemeine Distribution

A.4 Einflihrung in die Theorie stochastischer Signale A.4.1 Definitionen und grundlegende Beziehungen A.4.2 Funktionen einer Zufallsvariablen

A.4.3 Zwei Zufallsvariablen A.5 Fourierreihen

A.5.1 Definition und grundlegende Beziehungen

A.5.2 Transformationseigenschaften der Fourierreihen-

498 501 501 504 509 513 513 entwicklung ...•...•... 514

A.6 Diskrete Fouriertransformation 518

A.7 Fourierintegrale ... . . . . . . . .• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 A.7.1 Definition •...•... 522 A.7.2 Satze und Eigenschaften der Fouriertransformation 524 A.7.3 Fouriertransformation von Distributionen

A.8 SignalfluBgraphen Literatur

Namen- und Sachverzeichnis

528 532 536 538