L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik E 5. ¨ Ubungsblatt
Prof. Dr. G. Sch¨ on und Priv.Doz. Dr. M. Eschrig
Wintersemester 2008/2009
Aufgabe 13 6 Punkte
(a)
|+,+i=
1 0 0 0
|+,−i=
0 1 0 0
|−,+i=
0 0 1 0
|−,−i=
0 0 0 1
(1)
und H =−J
~2(S+,1S−,2+S−,1S+,2). (2)
Wir berechnen
S+,1=Sx,1+iSy,1=~h
|+,+ih−,+| + |+,−ih−,−|i
=~
1 0 0 0
(0,0,1,0) +
0 1 0 0
(0,0,0,1)
. (3)
Dies, und analoge Rechnung f¨ur die restlichen Matrizen f¨uhrt auf
S+,1= ~ 2
0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
. S+,2=~ 2
0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0
(4)
S−,1=~ 2
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0
S−,2=~ 2
0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0
. (5)
Damit erhalten wir
H =−J
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
. 2 Punkte
(b)
Wir entwickeln den OperatorU =e−iHt/~in eine Taylorreihe, und verwenden, dass
H2=J2
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
, (6)
und somit
H2n =J2n
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
, H2n+1 =−J2n+1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
. (7)
Damit k¨onnen wir die Reihe wieder aufsummieren, und erhalten
U =
1 0 0 0
0 cosJτ~ isinJτ~ 0 0 isinJτ~ cosJτ~ 0
0 0 0 1
=
1 0 0 0
0 cosγ isinγ 0 0 isinγ cosγ 0
0 0 0 1
. 3 Punkte
(c)
Wir setzenγ=π/2 ein, was auf
U =
1 0 0 0 0 0 i 0 0 i 0 0 0 0 0 1
(8)
f¨uhrt. Wir wenden dies auf einen Vektor
a b c d
(9)
and und erhalten
a ic ib d
. (10)
Das ist gerade bis auf Vorfaktoreni der urspr¨ungliche Spinvektor mit vertauschten Spin-Indizes. 1 Punkt
Aufgabe 14 4 Punkte
Wir berechnen zun¨achst die Erwartungswerte hσxi = sin(θ) cos(φ)
hσyi = sin(θ) sin(φ) (11)
hσzi = cos(θ).
Damit erhalten wir (∆σx)2= 1−sin2(θ) cos2(φ)
(∆σy)2= 1−sin2(θ) sin2(φ) (12)
(∆σz)2= 1−cos2(θ).
Somit wird
∆σx·∆σy= q
cos2(θ) + sin4(θ) sin2(φ) cos2(φ). 2 Punkte
F¨ur die rechte Seite verwenden wir [σx, σy] = 2iσz, was auf 1
2|h[σx, σy]i|=|hσzi|=|cos(θ)| 1 Punkt
f¨uhrt. Offensichtlich ist
∆σx·∆σy= q
cos2(θ) + sin4(θ) sin2(φ) cos2(φ)≥ |cos(θ)|= 1
2|h[σx, σy]i|. 1 Punkt
2
Aufgabe 15 5 Punkte
(a)
Wir berechnen das ¨Ubergangselement
0hΨf|Ψii= 0hf|UI(t,−∞)|ii0, (13)
wobei wir den zweiten Term in der St¨orungsentwicklung des Zeitentwicklungsoperators einsetzen,
−i
~ 2Z t
−∞
dt′ Z t′
−∞
dt′′VI(t′)VI(t′′). (14)
Um die Notation zu vereinfachen, lassen wir von hier ab die Indices 0 an den ungest¨orten Zust¨anden weg. Das f¨uhrt auf
−i
~ 2
hf| Z t
−∞
dt′ Z t′
−∞
dt′′eiH0t′/~V e−iωt′eǫt′e−iH0t′/~eiH0t′′/~V e−iωt′′eǫt′′e−iH0t′′/~|ii. 1 Punkt Wir schieben nun eine 1, d.h. 1 =P
z|zihz|, zwischen die beiden Exponentialfunktionene−iH0t′/~undeiH0t′′/~. Damit k¨onnen wir nun ¨uberallH0 durch die entsprechenden ungest¨orten EigenwerteEz =~ωz ersetzen:
−i
~ 2
X
z
hf|V|zihz|V|ii Z t
−∞
dt′ Z t′
−∞
dt′′ei(ωf−ωz−ω−iǫ)t′ei(ωz−ωi−ω−iǫ)t′′ 1 Punkt Wir f¨uhren das Integral aus, und erhalten
1
~2ei(ωf−ωi)t e2ǫte−2iωt ωf−ωi−2ω−2iǫ
X
z
hf|V|zihz|V|ii
ωz−ωi−ω−iǫ. 1 Punkt
Wir erhalten daraus die ¨Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeit, Wf←i = d
dt 1
~2
e2ǫt ωf−ωi−2ω−2iǫ
X
z
hf|V|zihz|V|ii ωz−ωi−ω−iǫ
2
= 1
~4
4ǫe4ǫt
|ωf−ωi−2ω−2iǫ|2
X
z
hf|V|zihz|V|ii ωz−ωi−ω−iǫ
2
(15) Wir verwenden nun
ǫlim→0
2ǫ
(ωf−ωi−2ω)2+ (ǫ)2 = 2πδ(ωf−ωi−2ω). (16)
In den Termen innerhalb der Summe ¨uber die Zwischenzust¨andezk¨onnen wirǫ= 0 setzen, da beiωz−ωi=ω, bzw. beiEz−Ei=~ωja gerade nach Voraussetzung die Matrixelementehz|V|iialle verschwinden sollen, und somit kein Deltafunktionsbeitrag aus diesem Nenner entstehen kann. Damit erhalten wir
Wf←i=2π
~4
X
z
hf|V|zihz|V|ii ωz−ωi−ω
2
δ(ωf−ωi−2ω) (17)
Wf←i= 2π
~
X
z
hf|V|zihz|V|ii Ez−Ei−~ω
2
δ(Ef −Ei−2~ω). (18)
F¨ur den Rest der Herleitung gib es 2 Punkte
Es ist wichtig, dass zuerst die Summe ¨uber die Zwischenst¨ande ausgef¨uhrt werden muss, und erst dann das Betragsquadrat genommen wird. Man sieht, dass die EnergieerhaltungEf =Ei+ 2~ωfordert. Es werden also zwei Energiequanten vom St¨orungsfeld absorbiert.
3
(b)
Wir scheiben cosωt= (eiωt+e−iωt)/2 und berechnen wie in a) 1
4
−i
~ 2
X
z
hf|V|zihz|V|ii Z t
−∞
dt′ Z t′
−∞
dt′′ei(ωf−ωz−iǫ)t′(eiωt′+e−iωt′)ei(ωz−ωi−iǫ)t′′(eiωt′′+e−iωt′′) 1 Punkt Es ergibt sich nach dem Integrieren
ei(ωf−ωi)t 4~2
( e−2iωte2ǫt ωf−ωi−2ω−2iǫ
X
z
hf|V|zihz|V|ii
ωz−ωi−ω−iǫ + e2iωte2ǫt ωf−ωi+ 2ω−2iǫ
X
z
hf|V|zihz|V|ii ωz−ωi+ω−iǫ+
+ e2ǫt ωf−ωi−2iǫ
X
z
2(ωz−ωi−iǫ)hf|V|zihz|V|ii (ωz−ωi−iǫ)2−ω2
)
1 Punkt Wir bilden davon das Betragsquadrat und differenzeren nacht. Danach nehmen wir den Grenz¨ubergangǫ→0 vor.
In den Termen innerhalb der z-Summen k¨onnen wir wieder ǫ = 0 setzen, da an den Stellen ωz = ωi ± ω bzw. Ez = Ei ±~ω die Matrixelemente hz|V|ii verschwinden sollen. Diese Terme tragen somit nicht zu Deltafunktionen beim Grenz¨ubergangǫ→0 bei.
Beim Bilden des Betragsquadrates bekommen wir die drei Betragsquadrate der drei Summanden in der geschweiften Klammer des letzten Ausdrucks sowie gemischte Terme. Die gemischten Terme sind zeitabh¨angig und verschwinden, wenn man ¨uber die Schwingungsperiode mittelt.
Es bleiben also nur drei Terme ¨ubrig:
Wf←i=2π
~ 1 4
X
z
hf|V|zihz|V|ii Ez−Ei−~ω
2
δ(Ef−Ei−2~ω) +
X
z
hf|V|zihz|V|ii Ez−Ei+~ω
2
δ(Ef−Ei+ 2~ω)+
+
X
z
2(Ez−Ei)hf|V|zihz|V|ii (Ez−Ei)2−(~ω)2
2
δ(Ef−Ei)
. 2 Punkte
Die Energieerhaltung, ausgedr¨uckt durch die Deltafunktionen, sowie die Energienenner zeigen vier Prozesse:
A) Die Absorption zweier Energiequanten~ω vom St¨orungsfeld unter Besetzung eines ZwischenzustandsEz
mitEz≈Ei+~ω und EndzustandEf =Ei+ 2~ω (erster Term).
B) Die Emission zweier Energiequanten~ω ins St¨orungsfeld, wobei sich das System in einem angeregten Zu- stand befinden muss. Die Emission direkt vonEi nachEf < Ei ist verboten, aber ¨uber den Zwischenzustand Ez≈Ei−~ω nachEf =Ei−2~ω erlaubt (zweiter Term).
C) Die Absorption eines Energiequants~ω, Besetzung eines Zwischenzustands mitEz≈Ei+~ω, und anschlie- ßende Emission eines Quants~ω f¨uhrt auf einen Zustand derselben Energie Ef =Ei zur¨uck. Selbiges gilt f¨ur den Fall, dass das System angeregt ist, und zun¨achst ein Energiequant~ω abgibt,Ez≈Ei−~ω, und danach eines wieder aufnimmt. Diese beiden Prozesse m¨ussen koh¨arent addiert werden, d.h. sie werden erst addiert und dann wird das Betragsquadrat gebildet (dritter Term).
Bei den ¨Uberg¨angen in die Zwischenzust¨ande ist die Energie nur unscharf definiert, da die Zwischenzust¨ande nur kurzzeitig besetzt werden. Deshalb k¨onnen auch Werte mitEz6=Ei±~ω auftreten.
Die vier Typen aufeinanderfolgender Absorptions- und Emissionsprozesse kann man auch graphisch darstellen.
F¨ur eine Diskussion der vier Prozesse (graphisch oder verbal) gibt es 1 Punkt Befindet sich das System anfangs im Grundzustand, so sind nur die zwei Prozesse mit anf¨anglicher Absorption eines Energiequants erlaubt. Schließlich ist es noch interessant den Fallω= 0 zu betrachten: eine adiabatisch eingeschaltete zeitlich konstante St¨orung. In diesem Fall ergibt sich
Wf←i=2π
~
X
z
hf|V|zihz|V|ii Ez−Ei
2
δ(Ef−Ei), (19)
vorausgesetzt, die Matrixelemente hf|V|ii verschwinden alle. Man beachte auch, dass der Nenner zu keiner Divergenz beiEz=Eif¨uhrt, da die Matrixelemente im Z¨ahler f¨ur diesen Fall verschwinden.
4
