L¨osungsvorschlag Theoretische Physik E 9. ¨Ubungsblatt

L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik E 9. ¨ Ubungsblatt

Prof. Dr. G. Sch¨ on und Priv.Doz. Dr. M. Eschrig

Wintersemester 2008/2009

Aufgabe 26 10 Punkte

(a)

Wir erhalten mit Ψ(x) =hx|Ψidie Beziehung PΨ(x, p) =

Z ^∞

−∞

dx^′ hx−x^′/2|ΨihΨ|x+x^′/2ie^ipx′/~ (1) und damit

PΨ(x, p) = Z ^∞

−∞

dx^′ Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)e^ipx′/~ 1 Punkt

(b)

Wir gehen von der Ortsdarstellung aus (die Spur ist unabh¨angig von der Darstellung), und haben f¨ur skalare Observable (falls Spins noch eine Rolle spielen, muss man einfach ¨uberall das Integral ¨uber xnoch durch eine Summe ¨uber die diskreten Freiheitsgrade erg¨anzen),

hAi ≡Tr( ˆAˆρ) = Z ^∞

−∞

dxhx|Aˆρˆ|xi (2)

Das Integral Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dp

2π~ A(x, p)P(x, p) (3)

kann mittels A(x, p) =

Z ^∞

−∞

dx^′hx−x^′/2|Aˆ|x+x^′/2ie^ipx′/~ (4) und

P(x, p) = Z ^∞

−∞

dx^′hx−x^′/2|ρˆ|x+x^′/2ie^ipx′/~ (5) in

Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dp 2π~

Z ^∞

−∞

dx^′hx−x^′/2|Aˆ|x+x^′/2i Z ^∞

−∞

dx^′′hx−x^′′/2|ρˆ|x+x^′′/2ie^{ip(x′′+x′)/~} 1 Punkt

¨uberf¨uhrt werden, was unter Verwendung von Z ^∞

−∞

dp

2π~ e^{ip(x′′+x′)/~}=δ(x^′′+x^′) (6)

wiederum auf Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dx^′hx−x^′/2|Aˆ|x+x^′/2ihx+x^′/2|ρˆ|x−x^′/2i 1 Punkt f¨uhrt. Mit der Variablentransformationy=x−x^′/2,y^′ =x+x^′/2 (mitJacobideterminante 1, wie leicht zu zeigen) ergibt sich

Z ^∞

−∞

dy Z ^∞

−∞

dy^′hy|Aˆ|y^′ihy^′|ρˆ|yi= Z ^∞

−∞

dyhy|Aˆρˆ|yi= Tr( ˆAρ).ˆ 1 Punkt

(c)

Analog zu (b) erhalten wir ρ(x) =

Z ^∞

−∞

dp 2π~

Z ^∞

−∞

dx^′hx−x^′/2|ρˆ|x+x^′/2ie^ipx′/~= Z ^∞

−∞

dx^′hx−x^′/2|ρˆ|x+x^′/2iδ(x^′) =hx|ρˆ|xi. 1 Punkt

(d)

Wir gehen wie in (b) vor und berechnen Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dp

2π~ PΨ(x, p)PΦ(x, p) = Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dp 2π~

Z ^∞

−∞

dx^′Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)e^ipx′/~ Z ^∞

−∞

dx^′′Φ^∗(x+x^′′/2)Φ(x−x^′′/2)e^ipx′′/~, (7) was wir wieder unter Verwendung von

Z ^∞

−∞

dp

2π~ e^{ip(x′+x′′)/~}=δ(x^′+x^′′) (8)

in Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dx^′ Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)Φ^∗(x−x^′/2)Φ(x+x^′/2) 1 Punkt

¨uberf¨uhren k¨onnen. Mit der Variablentransformationy =x−x^′/2,y^′=x+x^′/2 (mitJacobideterminante 1, wie leicht zu zeigen) ergibt sich

Z ^∞

−∞

dy Z ^∞

−∞

dy^′Ψ^∗(y^′)Ψ(y)Φ^∗(y)Φ(y^′) (9)

was gleich Z ∞

−∞

dyΦ^∗(y)Ψ(y)

Z ∞

−∞

dy^′ Ψ^∗(y^′)Φ(y^′)

=

Z ^∞

−∞

dyΦ^∗(y)Ψ(y)

2

1 Punkt ist, und damit

Z ^∞

−∞

dx Z ^∞

−∞

dp

2π~ PΨ(x, p)PΦ(x, p) =

Z ^∞

−∞

dxΨ^∗(x)Φ(x)

2

. (10)

(e)

DieSch¨odingergleichung f¨ur freie Teilchen lautet i~∂Ψ(x, t)

∂t =−~² 2m

∂²Ψ(x, t)

∂x² , i~∂Ψ^∗(x, t)

∂t = ~² 2m

∂²Ψ^∗(x, t)

∂x² . (11)

Wir zeigen, dass die Gleichung

∂P(x, p)

∂t + p m

∂P(x, p)

∂x = 0 (12)

dazu ¨aquivalent ist. Dazu benutzen wir aus (a) P(x, p) =

Z ^∞

−∞

dx^′ Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)e^ipx′/~, (13) und berechnen

i~∂P(x, p)

∂t =i~ Z ^∞

−∞

dx^′

∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂t Ψ(x−x^′/2) + Ψ^∗(x+x^′/2)∂Ψ(x−x^′/2)

∂t

e^ipx′/~ (14)

was auf

~² 2m

Z ^∞

−∞

dx^′

∂²Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x² Ψ(x−x^′/2)−Ψ^∗(x+x^′/2)∂²Ψ(x−x^′/2)

∂x²

e^ipx′/~ 1 Punkt

f¨uhrt (kann man durch ein paar Variablensubstitutionen zeigen). Dies wiederum kann umgeschrieben werden als

~² m

Z ^∞

−∞

dx^′

∂²Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x∂x^′ Ψ(x−x^′/2) + Ψ^∗(x+x^′/2)∂²Ψ(x−x^′/2)

∂x∂x^′

e^ipx′/~ (15)

und eine partielle Integration f¨uhrt auf 1 Punkt

~² m

∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x Ψ(x−x^′/2) + Ψ^∗(x+x^′/2)∂Ψ(x−x^′/2)

∂x

e^ipx′/~

x^′=∞ x^′=−∞−

−~² m

Z ^∞

−∞

dx^′

∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x

∂Ψ(x−x^′/2)

∂x^′ +∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x^′

∂Ψ(x−x^′/2)

∂x

e^ipx′/~−

−i~p m

Z ^∞

−∞

dx^′

∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x Ψ(x−x^′/2) + Ψ^∗(x+x^′/2)∂Ψ(x−x^′/2)

∂x

e^ipx′/~. (16) Der zweite Term verschwindet, wie man sieht wenn man die Ableitungen nachx^′ wieder in Ableitungen nach xumschreibt:

∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x

∂Ψ(x−x^′/2)

∂x^′ +∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x^′

∂Ψ(x−x^′/2)

∂x =

1 2

−∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x

∂Ψ(x−x^′/2)

∂x +∂Ψ^∗(x+x^′/2)

∂x

∂Ψ(x−x^′/2)

∂x

= 0. (17)

Die restlichen Terme geben

~² m

∂

∂x[Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)]e^ipx′/~

x^′=∞

x^′=−∞−i~p m

Z ^∞

−∞

dx^′ ∂

∂x[Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)]e^ipx′/~. (18) Der erste Term muss verschwinden, da keine Teilchenstromquellen im Unendlichen existieren sollen (Teilchen- zahlerhaltung) und außerdem die Wellenfunktionen im Unendlichen immer verschwinden sollen (dieser Punkt wird oft nicht pr¨azise diskutiert, aber selbst bei ebenen Wellen wird die Wellenfunktion f¨ur einen Kasten mit unendlich hohen W¨anden berechnet, dessen Dimensionen man dann gegen unendlich gehen l¨asst; das eleminiert die Randterme und sichert, dass alle Wellenfunktionen einen kompakten Tr¨ager haben und normierbar sind).

Damit bleibt nur der Term i~∂P(x, p)

∂t =−i~p m

∂

∂x Z ^∞

−∞

dx^′Ψ^∗(x+x^′/2)Ψ(x−x^′/2)e^ipx′/~=−i~p m

∂P(x, p)

∂x . 1 Punkt

Aufgabe 27 5 Punkte

(a)

Es ist

αⁱα^j+α^jαⁱ=

0 σⁱ σⁱ 0

0 σ^j σ^j 0

+

0 σ^j σ^j 0

0 σⁱ σⁱ 0

. (19)

Ausmultiplizieren ergibt αⁱα^j+α^jαⁱ=

σⁱσ^j+σ^jσⁱ 0 0 σⁱσ^j+σ^jσⁱ

. (20)

Wie verwendenσⁱσ^j+σ^jσⁱ = 2δ^ij, was auf 1 Punkt

αⁱα^j+α^jαⁱ= 2δ^ij1 (21)

f¨uhrt. ¨Ahnlich ergibt sich 1 Punkt

αⁱβ+βαⁱ=

0 σⁱ σⁱ 0

1 0 0 −1

+

1 0 0 −1

0 σⁱ σⁱ 0

=

0 −σⁱ σⁱ 0

+

0 σⁱ

−σⁱ 0

=0 (22) Schließlich ist

2(αⁱ)²=αⁱαⁱ+αⁱαⁱ= 21, β²=

1 0 0 −1

1 0 0 −1

=1. 1 Punkt

(b)

Es ist γⁱ=βαⁱ=

1 0 0 −1

0 σⁱ σⁱ 0

=

0 σⁱ

−σⁱ 0

. 1 Punkt

Weiter giltγⁱγ^j+γ^jγⁱ=βαⁱβα^j+βα^jβαⁱ =β(αⁱ(βα^j+α^jβ)−αⁱα^jβ+α^j(βαⁱ+αⁱβ)−α^jαⁱβ) =−2β(δ^ij1)β =

−2δ^ij1f¨uhrt. Analog, f¨urµ= 0, ν 6= 0 bzw.ν = 0,µ6= 0 ergibt sichγ⁰γⁱ+γⁱγ⁰ =β²αⁱ+βαⁱβ =β0=0. Schließlich ist 2(γ⁰)²= 2β²= 21. Damit ist gezeigt, dassγ^µγ^ν+γ^νγ^µ= 2g^µν1ist, wobeig⁰⁰= 1,g⁰ⁱ=gⁱ⁰= 0

undg^ij =−δ^ij f¨ur i=x, y, z. 1 Punkt

Aufgabe 28 5 Punkte

(a)

Die station¨areDirac-Gleichung lautet 1

c

i~∂

∂t−βmc²

Ψ =αⁱ

−i~ ∂

∂xⁱ −q cAi

Ψ. (23)

Die beiden gew¨unschten Teilgleichungen sind 1 Punkt

1

c(E−mc²)φ1=σⁱ

−i~ ∂

∂xⁱ −q cAi

φ2 (24)

und 1

c(E+mc²)φ2=σⁱ

−i~ ∂

∂xⁱ −q cAi

φ1. (25)

Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste ergibt 1

c²

E²−m²c⁴ φ1=

σⁱ

−i~ ∂

∂xⁱ −q cAi

2

φ1. 1 Punkt

(b)

Wir setzten den Ansatz

φ1(x, y, z) =χ1(x)e^i(kyy+kzz) (26)

ein und erhalten 1

c²

E²−m²c⁴

χ1(x) =

−i~σ^x ∂

∂x+σ^y

~ky−q cBx

+~kzσ^z −i~σ^x ∂

∂x+σ^y

~ky−q cBx

+~kzσ^z

χ1(x)

=

−~² ∂²

∂x² +

~ky−q cBx2

+~²k²_z−~q c Bσ^z

χ1(x) (27)

Dies f¨uhrt auf die Eigenwertgleichung

~²d²χ1

dx² −

~ky−q cBx2

χ1+ E²

c² −m²c²−~²k²_z+~q c Bσ^z

χ1= 0 1 Punkt

Eine solche Eigenwertgleichung ist bekannt vom harmonischen Oszillator. Wir f¨uhren die dimensionslose Va- riable

ξ= r|q|B

~c

x−c~ky

qB

, d² dξ² = ~c

|q|B d²

dx² (28)

ein und erhalten f¨ur die Spinkomponente inz-Richtung, σ=±1, d²

dξ² −ξ²+aσ

χ1(x) = 0, aσ=

E²

c −m²c³−c~²k²_z+~qσB

~|q|B . (29)

Die L¨osungen sindHermitesche Polynome mitaσ= 2n+ 1,n= 0,1,2, . . ., χ^(n,σ)₁ =

p|q|B n!2ⁿ√

π~c

!1/2

e^−ξ2/2Hn(ξ). (30)

Die Energieeigenwerte sind gegeben durch die Gleichung

E_n,σ² = (2n+ 1−sign(q)σ)~c|q|B+m²c⁴+c²~²k²_z (31) Im unseren Falle istq=−eund 2n+ 1−sign(q)σ= 2n+ 1 +σ= 2n^′, und (wegen~kz=pz)

En^′ =±p

(mc²)²+ (cpz)²+ 2n^′~ceB. 1 Punkt

Der Fall σ =−1 entspricht n =n^′, und der Fall σ = 1 entspricht n^′ =n+ 1. Alle Zust¨ande sind zweifach entartet bis auf den Zustandn^′= 0 (dan≥0 sein muss), f¨ur denσ=−1 sein muss.

[Hinweis: Graphen ist ein Material, in welchem die Leitungselektronen durch einen effektiven Dirac- Hamiltonoperator mit Masse m = 0 und sogenanntem Pseudospin ¹₂ beschrieben werden. Im Falle pz = 0 ergibt sich f¨ur Graphen eine Abh¨angigkeit der LandauniveausEn^′ proportional zu√

n^′. Dieses Resultat, wel- ches erst k¨urzlich sowohl experimentell als auch theoretisch eingehend untersucht wurde, ist aus unserem Resultat klar ersichtlich.]

(c)

Wir entwickeln die Energieeigenwerte, und erhalten f¨ur die positiven L¨osungen En^′ =mc²

r

1 + p²_z

m²c² +2n^′~ceB

m²c⁴ ≈mc²+ p²_z

2m +n^′ ~e

mcB. 1 Punkt