L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik F Ubungsblatt 11 ¨

L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik F Ubungsblatt 11 ¨

Prof. Dr. G. Sch¨ on und PD Dr. M. Eschrig

Sommersemester 2006

Aufgabe 28 12 Punkte

a.)

E=

N

X

i=1

Ei=−

N

X

i=1

~

µiB~ =−µB

N

X

i=1

cosθi

ZN(β) = [Z1(β)]^N, Z1(β) =X

θ

e^βµBcosθ= Z 2π

0

dφ Z π

0

dθ e^βµBcosθsinθ= 4πsinh(βµB)

βµB 1 Punkt

h~µii=µhcosθii~eB, hcosθii= P

θcosθe^βµBcosθ P

θe^βµBcosθ = 1 µβ

∂

∂βlnZ1(β)

⇒ h~µii=µ

coth(βµB)− 1 βµB

~eB, h~µii=µL(βµB)~eB 1 Punkt

1 Punkt x1 (entsprichtkBT µB):L(x)∼^x₃−^x₄₅³. . . ⇒ M~ ≈_3k^N0_B^µ_T²B, wo~ N0=N/V.

χ= N0µ² 3kBT = C

T 1 Punkt

C=N0µ² 3kB

1 Punkt

b.)

µ²=g²µ²_BJ(J + 1), µB= e~

2mc, gµB =γ~,







g= Land´e-Faktor

µB= Bohrsches Magneton γ= gyromagnetisches Verh¨altnis

Z1(β) =

J

X

m=−J

e^βgµBmB=

J

X

m=−J

e^mx/J

↑ x=β(gµBJ)B

=e(2J+1)x/(2J)−e−(2J+1)x/(2J)

e^x/(2J)−e^−x/(2J) =sinh

1 + _2J¹ x

sinh _2J¹ x 2 Punkte

Mz=Nhµzi= N β

∂

∂BlnZ1(β) =N(gµBJ)

1 + 1 2J

coth

1 + 1

2J

x

− 1 2J coth

1 2Jx

hµzi= (gµBJ)BJ(x) 1 Punkt

F¨urx1 (kBT gµBBJ):

BJ(x)≈1 3

1 + 1

J

x+. . .

hµzi ≈ (gµBJ)² 3kBT

1 + 1

J

B=g²µ²_BJ(J + 1)

3kBT B= µ² 3kBTB χ= N0µ²

3kBT =C

T, C=N0µ² 3kB

(Hochtemperaturlimes kann durchµ²ausgedr¨uckt werden!) 1 Punkt

c.)

J→ ∞, g→0, Jg= const., ⇒ BJ(x)≈cothx− 1 2J

2J

x = cothx−1

x=L(x)

Im GrenzfallJ → ∞,Jg= const. verh¨alt sich der Spin wie ein klassisches magnetisches Moment. 1 Punkt

d.)

J= 1

2, hµzi=g

2µBtanhx, C= N0µ²_B kB

g 2

²

1 Punkt

Aufgabe 29 5 Punkte

H=−JX

hiji

SizS_{j z}−γBX

i

Siz, Z= Trh e⁻

H kB T

i

M =kBT ∂

∂BlnZ = γ ZTr

"

X

i

Size⁻

H kB T

#

2 Punkte

χ= ∂M

∂B = γ² kBT ZTr



 X

ij

S_izS_{j z}e⁻

H kB T



− γ² kBT Z²

"

Tr X

i

S_ize⁻

H kB T

!#2

2 Punkte

χ= γ² kBT



 X

ij

hS_izS_{j z}i − hX

i

S_izi²



 1 Punkt

2