L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik E 7. ¨ Ubungsblatt
Prof. Dr. G. Sch¨ on und Priv.Doz. Dr. M. Eschrig
Wintersemester 2008/2009
Aufgabe 18 3 Punkte
Wir betrachten eine lineare Kette vonnOszillatoren mit Abstanda, so dass die Gleichgewichtspositionen bei x = ja mit j = 1, . . . , n sind. Wir verwenden periodische (Born- von K´arm´an-) Randbedingungen, d.h.
xn+1=x1,pn+1=p1. Aus der Vorlesung wissen wir, dass xk = 1
√n
n
X
j=1
xje−ikja (1)
pk = 1
√n
n
X
j=1
pje−ikja, (2)
wobeikVielfache von 2πna sind. Es gelten die Vertauschungsrelationen [xj, pj′] =δjj′. Damit erhalten wir unter Verwendung vonp†j=pj
[xk, p†k′] = 1 n
n
X
j,j′=1
e−ikja[xj, pj′]eik′j′a= 1 n
n
X
j,j′=1
e−i(kj−k′j′)aδjj′, 2 Punkte
also
[xk, p†k′] = 1 n
n
X
j
e−i(k−k′)ja=δk,k′+1−δk,k′
n
e−i(k−k′)na−1 1−ei(k−k′)a
!
=δk,k′. 1 Punkt
Das war zu zeigen.
[Bemerkung: Die obige Konvention ist u.a. die inCohen-Tannoudji. Die Normalkoordinaten werden oft auch geschickterweise mit verschiedenen Fouriertransformationen f¨urxkundpkdefiniert, so dass dann im Gegensatz zu oben die Vertauschungsrelationen [xk, pk′] =δkk′ gelten. ]
Aufgabe 19 8 Punkte
(a)
Wir suchen eine Rotationsmatrix im Spinraum, die den Hamiltonoperator diagonalisiert, d.h.
H′ =U P~2
2m+αP~σ·P~
!
U† = P~2
2m+αPA′σz (3)
mit zu bestimmendem A′. Dazu verwenden wir Impulseigenfunktionen ei~k~r/√
V, so dass der Impuloperator durch~p=~~kersetzt werden kann. Wir drehen dazu die~p-Richtung im Spinraum in die Richtung~ez, d.h. wir drehen um die Achse~n = (~p×~ez)/|~p×~ez| = (~p×~ez)/|~p|sin(α), und zwar um den Winkel α, dem Winkel zwischen~ez undp. Da~ αder Polarwinkel ist, ist sin(α) immer positiv.
Wir wissen schon, dass die gesuchte Rotationsmatrix die Form U =e−iα2~n·~σ= cos(α
2)−i~n·~σsin(α
2) (4)
hat. Wir m¨ussen also cos(α
2)−i~n·~σsin(α 2)
(~p·~σ) cos(α
2) +i~n·~σsin(α 2)
(5) berechnen. Wir verwenden die Idendit¨at
(~a·~σ)(~b·~σ) =~a·~b+i(~a×~b)·~σ, (6)
was insbesondere
(~p·~σ)(~n·~σ) =i(~p×~n)·~σ= i
|~p|sin(α)[~p×(~p×~ez)]·~σ= i
|~p|sin(α)[pz(~p·~σ)− |p~|2σz] (7) und
(~n·~σ)(~ez·~σ) =i(~n×~ez)·~σ= i
|~p|sin(α)[pzσz−(~p·~σ)] (8)
nach sich zieht. Damit wird (~n·~σ)(~p·~σ)(~n·~σ) = i
|~p|sin(α)(~n·~σ)
pz(~p·~σ)− |~p|2(~ez·~σ)
(9)
= 1
|~p|2sin2(α) |~p|2pzσz− |~p|2(~p·~σ) +pz
pz(~p·~σ)− |~p|2σz
(10)
= − 1
|~p|2sin2(α)(|p~|2−p2z)(~p·~σ) =−(~p·~σ) (11) und
cos(α
2)−i~n·~σsin(α 2)
(~p·~σ) cos(α
2) +i~n·~σsin(α 2)
= (12)
cos2(α
2)(~p·~σ)−isin(α 2) cos(α
2) [(~n·~σ)(~p·~σ)−(~p·~σ)(~n·~σ)] + sin2(α
2)(~n·~σ)(~p·~σ)(~n·~σ) = (13)
hcos2(α
2)−sin2(α 2)i
(~p·~σ) + 1
|~p|sin(α)sin(α)
|~p|2σz− |~p|cos(α)(~p·~σ) =|p~|σz. (14) Damit istA′=|~p|, und in Impulsdarstellung
H′ =U ~p2
2m+αP~σ·~p
U† = p~2
2m+αP|~p|σz. 1 Punkt
Die Eigenwerte und Eigenvektoren des Hamiltonoperators sind somit E±=~2|~k|2
2m ±~αP|~k| |~k,±i=|~ki ⊗U(~k)|±iz 1 Punkt
mit der obigen (~k-abh¨angigen) Rotationsmatrix U und rellen Wellenvektoren ~k, die die Impulseigenwerte
~p=~~k bestimmen. Die Impulseigenfunktionen sind in Ortsdarstellung ei~k~x/√
V. Die Spins sind entlang ±~k ausgerichtet. In der Abbildung 1 ist die Dispersion abgebildet. 1 Punkt
(b)
Wir wiederholen die Betrachtungen aus a). Wir suchen eine Rotationsmatrix im Spinraum, die den Hamilton- operator diagonalisiert, d.h.
H′ =U P~2 2m+αR
h~σ×P~i
z
!
U†= P~2
2m +αRA′σz (15)
mit zu bestimmendemA′. Im Impulsraum schreiben wir dazu
[~σ×~p]z= (~σ×~p)·~ez= (~p×~ez)·~σ. 1 Punkt
Abbildung 1: DispersionE±= ~
2|~k|2
2m ±~αP|~k|.
Damit k¨onnen wir die Betrachtungen aus a) verwenden, indem wir dort~pdurchp~×~ezersetzen. Das heißt, wir rotieren um die Achse~n= (~p×~ez)×~ez/|(~p×~ez)×~ez|. Da aber (~p×~ez)×~ez =pz~ez−p~ist, und dies gleich
−px~ex−py~ey≡ −P~⊥, ist~n=−~p⊥/|~p⊥|. Wir rotieren um diese Achse um den Winkel vonπ/2. 1 Punkt Wir erhalten
U =e−iπ4~n·~σ= cos(π
4)−i~n·~σsin(π
4). (16)
Wir m¨ussen also hier 1
2(1−i~n·~σ){(~p×~ez)·~σ}(1 +i~n·~σ) (17)
mit~n=−~p⊥/|~psin(α)| berechnen. Wir k¨onnen (~p×~ez) = (~p⊥×~ez) verwenden. Wir erhalten 1
2
1 +i~p⊥·~σ
|~p⊥|
{(~p⊥×~ez)·~σ}
1−i~p⊥·~σ
|~p⊥|
. (18)
Es ist
(~p⊥·~σ)[(~p⊥×~ez)·~σ] =−i|p~⊥|2(~ez·~σ) (19)
und
(~p⊥·~σ)[(~p⊥×~ez)·~σ](~p⊥·~σ) =|~p⊥|2[(~ez×~p⊥)·~σ] (20) Damit wird
1 2
1 +i~p⊥·~σ
|~p⊥|
{(~p⊥×~ez)·~σ}
1−i~p⊥·~σ
|~p⊥|
= (21)
1 2
[(~ez×~p⊥)·~σ] + [(~p⊥×~ez)·~σ] + 2|~p⊥|(~ez·~σ)
=|~p⊥|~ez·~σ. (22)
Wir erhalten also daraus H′ =U
~p2
2m+αR[~σ×p]~z
U† = p~2
2m+αR|p~⊥|σz 1 Punkt
Die Eigenwerte und Eigenvektoren des Hamiltonoperators sind somit E±=~2|~k|2
2m ±~αR|~k⊥| |~k,±i=|~ki ⊗U(~k)|±iz 1 Punkt
mit der obigen RotationsmatrixU und rellen Wellenvektoren~k, die die Impulseigenwerte~p=~~kbestimmen.
Die Impulseigenfunktionen sind in Ortsdarstellungei~k~x/√
V. Die Spins sind in Richtung±~p×~ez, also senkrecht zu den Wellenvektoren~k ausgerichtet. In der Abbildung 2 sind die Dispersion und die Spinausrichtungen zu
sehen. 1 Punkt
Abbildung 2: Dispersion und Spinausrichtungen f¨ur denRashba-Hamiltonoperator. Die Spins sind hier rot gezeichnet, und die Impulsvektoren gr¨un.
Aufgabe 20 9 Punkte
(a)
Der OperatorRrotiert die Zust¨ande um ein Atom weiter. Sechsfache Anwendung f¨uhrt zum Ausgangszustand zur¨uck.R6|φii =|φii. Das bedeutet, das die Eigenwerte von R die Beziehung r6 = 1 erf¨ullen m¨ussen. Dies sind gerade die sechs Einheitswurzeln,
rn =ei2π6n=einπ3 (23)
mitn= 0, . . . ,5. Die entsprechenden Eigenvektoren|nierh¨alt man, indem man die Beziehung
R|ni=rn|ni (24)
verwendet. Entwickelt man die Eigenvektoren nach den|φii, also
|ni=
6
X
i=1
ani|φii (25)
so erhalten wir (wir definierenφ7≡φ1) R
6
X
i=1
ani|φii=
6
X
i=1
ani|φi+1i=
7
X
i=2
an,i−1|φii=rn 6
X
i=1
ani|φii, (26)
und nach ausprojizieren die Rekursionsrelationen
an,i−1=rnani=einπ3 ani. 1 Punkt
mitn= 0, . . . ,5,i= 2, . . . ,7, und an,7≡an,1. Damit sind die Eigenvektoren:
hi|0i = 1
√6
1 1 1 1 1 1
hi|1i= 1
√6
1 e−iπ3 e−i2π3
−1
−e−iπ3
−e−i2π3
hi|2i= 1
√6
1 e−i2π3
−e−iπ3 1 e−i2π3
−e−iπ3
(27)
hi|3i = 1
√6
1
−1 1
−1 1
−1
hi|4i= 1
√6
1
−e−iπ3 e−i2π3
1
−e−iπ3 e−i2π3
hi|5i= 1
√6
1
−e−i2π3
−e−iπ3
−1 e−i2π3
e−iπ3
(28)
Die Eigenvektoren sind alle orthogonal aufeinander, d.h. linear unabh¨angig, und spannen somit den Zustands-
raum auf. 2 Punkte
(b)
Es gilt
H0|φii=E0|φii (29)
und
W|φii=−t(|φi−1i+|φi+1i) (30)
mitφ7≡φ1undφ0≡φ6. Wenden wir aufH0 den OperatorRan so erhalten wir
RH0|φii=E0R|φii=E0|φi+1i=H0|φi+1i=H0R|φii. (31) Wenden wirRauf W an, so ergibt sich
RW|φii=−tR(|φi−1i+|φi+1i) =−t(|φii+|φi+2i) =W|φi+1i=W R|φii. (32)
Wir haben hier das Problem periodisch fortgesetzt, aber man kann auch explizit die F¨alle einzeln pr¨ufen. Damit
haben wir gezeigt, dassR(H0+W) = (H0+W)Rgilt. 2 Punkte
Wir wissen somit, dassRundH ein gemeinsames Set von Eigenvektoren besitzt. 1 Punkt Wir ben¨otigen nur noch die entsprechenden Eigenwerte. Wir erhalten durch direktes Einsetzten
ǫ0=E0−2t ǫ1=ǫ5=E0−t ǫ2=ǫ4=E0+t ǫ3=E0+ 2t 1 Punkt Wir sehen, dass die EnergienE0±t je zweifach entartet sind. Daher kann man als Eigenvektoren auch Line- arkombinationen der entsprechenden Eigenvektoren nehmen, z.B.
hi|1′i= 1 2
0
−1
−1 0 1 1
hi|5′i= 1 2
1 0
−1
−1 0 1
(33)
f¨ur die EnergieE0−t(jeweils bindende Kombination bei gegen¨uberliegenden Bindungen, “Doppelbindungen”) und
hi|2′i= 1 2
0 1
−1 0 1
−1
hi|4′i= 1 2
1 0
−1 1 0
−1
(34)
f¨ur die EnergieE0+t (antibindende Kombinationen bei gegen¨uberliegenden Bindungen).
Den Grundzustand erh¨alt man, indem man die 6 Elektronen in die niedrigsten Niveaus f¨ullt. Es gehen 2 nachǫ0, und vier nachǫ1=ǫ5. Damit ist die GrundzustandsenergieEg= 6E0−8t. 1 Punkt
Die Elektronen sind delokalisiert. Die beiden Elektronen im untersten Niveau ǫ0 bilden einen Ring mit gleicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit an jedem Atom. Die vier Elektronen im n¨achsth¨oheren Niveau bilden Doppelbindungen an jeweils zwei gegen¨uberliegenden Bindungen, wobei alle 3 Konfigurationen gleichberechtigt
sind. 1 Punkt
[Bemerkung: Die oft ¨ubliche Darstellung durch 3 Doppelbindungen in zwei resonierenden Zust¨anden ist somit hier nicht realisiert. Seine Energie l¨age bei 6E0−6t, also 2t uber der oben gefundenen. Jedoch haben¨ wir hier v¨ollig die Wechselwirkungen zwischen den Elektronen vernachl¨assigt. Die Wahrheit liegt irgedwo in der Mitte.]
