Xn) sei eine einfache Stichprobe vom Umfang nzu Y

Universit¨at des Saarlandes Lehrstab Statistik

PD Dr. Martin Becker

3. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2020/21

Aufgabe 6

Es werde angenommen, dass die ein bestimmtes Merkmal einer Grundgesamtheit beschreibende ZufallsvariableY die folgende Dichte — abh¨angig von einem unbekannten Parameter θ∈R— besitze:

f_Y(y|θ) =

( e⁻(y−θ) fallsy≥θ

0 sonst

Eine einfache Stichprobe (X1, . . . , Xn) zu Y ergab die Realisation (x1, . . . , xn).Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨atzwert f¨ur θ.

Aufgabe 7

Das Merkmal Y einer Grundgesamtheit sei alternativverteilt mit Parameterp∈[0,1], d. h. es gelte

y_i 0 1

p_Y(y_i|p) 1−p p .

(X₁, . . . , X_n) sei eine einfache Stichprobe vom Umfang nzu Y. Weiterhin sei

pb= 1 n

n

X

i=1

X_i =X der”ubliche“ Sch¨¨ atzer f¨ur p. Zeigen Sie:

(a) pbist eine erwartungstreue Sch¨atzfunktion f¨ur p.

(b) Die Varianz von bplautet p(1−p)

n .

(c) p(1b −p)b

n−1 ist ein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur die Varianz p(1−p)

n von p.b Aufgabe 8

Der W¨ahleranteilp einer Partei wird von zwei Meinungsforschungsinstituten unabh¨angig von- einander jeweils durch eine einfache Stichprobe vom Umfang n1 = 400 bzw. n2 = 1200 unter- sucht. Die Sch¨atzfunktionen f¨ur die W¨ahleranteile in den beiden Stichproben seien (wie ¨ublich) gegeben als die in der jeweiligen Stichprobe beobachteten Anteilswerte und mit pb₁ bzw. pb₂ bezeichnet.

(a) Zeigen Sie:

(i) Var(pb1) = 3·Var(pb2)

(ii) F¨ur jedesλ∈[0,1] ist die (konvex-)kombinierte Sch¨atzfunktion p(λ) :=b λ·pb₁+ (1−λ)·pb₂

erwartungstreu f¨ur p.

(b) Bestimmen Sie λ^∗ ∈ [0,1] so, dass p(λb ^∗) effizient ist in der Klasse der Sch¨atzfunktionen {p(λ)|λb ∈[0,1]}.

Aufgabe 9

Zu einer Grundgesamtheit Y mitE(Y) =µund Var(Y) =σ² >0 sei zur Sch¨atzung vonµaus einer einfachen StichprobeX1, . . . , Xn vom Umfangn >1 (jeweils) die Sch¨atzfunktion

µen:= 1

2(X1+Xn)

definiert, also die Sch¨atzfunktion, die (jeweils) die erste und letzte Beobachtung in der Stich- probe mittelt.

(a) Sind die Sch¨atzfunktionen µen erwartungstreu f¨ur µ? Begr¨unden Sie Ihre Antwort!

(b) Ist die Folge der Sch¨atzfunktionenµenf¨urµkonsistent im quadratischen Mittel? Begr¨unden Sie Ihre Antwort!

Aufgabe 10

F¨ur λ >0 sei Y ∼Pois(λ) (es gilt also insbesondere E(Y) = Var(Y) = λ),X₁, . . . , X_n sei f¨ur n∈Neine einfache Stichprobe vom Umfangn zuY.

(a) Zeigen Sie: Die Sch¨atzfunktionen

Tn(X1, . . . , Xn) := 1 n

n

X

i=1

X_i²−Xi

sind erwartungstreu f¨ur λ².

(b) Welche Eigenschaft m¨ussen die Sch¨atzfunktionen T_n aus Teil (a) außerdem erf¨ullen, um f¨ur λ² konsistent im quadratischen Mittel zu sein?

(Die G¨ultigkeit dieser Eigenschaft istnicht zu ¨uberpr¨ufen!)