Analytizit¨ at in mehreren Ver¨ anderlichen.
Ein Satz von Hartogs
Seminar, SS 2005
Harald Woracek
1 Der Begriff der Analytizit¨ at
Eine Potenzreihe in den k Variablen z1, . . . , zk mit Entwicklungspunkt z10, . . . , z0k∈Cist ein formaler Ausdruck der Gestalt
X∞ n1,...,nk=0
an1,...,nk(z1−z01)n1·. . .·(zk−zk0)nk, (1.1) mit an1,...,nk∈C.
Ist f¨ur einz1 = (z11, . . . , z1k)∈Ck die Reihe (1.1) absolut konvergent, so ist sie in dem PolydiskD(z0, r) mitz0= (z10, . . . , z0k),r= (|z11−z10|, . . . ,|zk−zk0|) absolut und gleichm¨aßig konvergent. Dabei ist
D(z0, r) :={z∈Ck:|zj−zj0|< rj, j= 1, . . . , k}
Sie stellt daher in D(z0, r) eine stetige Funktion f dar. Weiters ist die darge- stellte Funktion f analytisch in jeder Variablenz1, . . . , zk einzeln. D.h. es gilt:
F¨ur jeden Punkt a = (a1, . . . , ak) ∈ D(z0, r) und jedes j ∈ {1, . . . , k}ist die Funktion
fj(z) :=f(a1, . . . , aj−1, z, aj+1, . . . , ak)
analytisch in einer Umgebung vonaj. Insbesondere besitztf an jeder Stelle von D(z0, r) partielle Ableitungen jeder Ordnung und diese k¨onnen durch formales differenzieren von (1.1) berechnet werden. Insbesondere erh¨alt man
an1...nk= 1 n1!. . . nk!
∂n1+...+nkf
∂zn11·. . .·∂zknk(z0).
1.1 Definition. SeiD⊆Ck ein Gebiet,f :D→C. Dann heißtf analytisch in D, wenn es zu jedem Punktz0∈Deine Potenzreihe gibt, die in einer Umgebung vonz0 konvergiert und dortf dartellt.
1.2 Satz. Sei D ⊆ Ck ein Gebiet, f : D → C. Dann ist f analytisch in D genau dann, wennf stetig inD ist und analytisch in jeder Variablen einzeln.
Beweis. Ist f analytisch in D, so folgt wegen dem obigen das f stetig ist und in allen Variablen einzeln analytisch. Wir zeigen die Umkehrung. Sei dazu z0∈Dgegeben und w¨ahleR= (R1, . . . , Rk) so daß der PolydiskD(z0, R)⊆D.
Nach der Cauchyschen Integralformel f¨ur analytische Funktionen einer Variablen erh¨alt man f¨urz= (z1, . . . , zn)∈D(z0, R)
f(z) = 1 2πi
k Z
|ζ1−z10|=R1
1 ζ1−z1
Z
|ζ2−z2|=R2
1 ζ2−z2
. . .
. . . Z
|ζk−zk|=Rk
f(ζ1, . . . , ζk) ζk−zk
dζk·. . .·dζ1
Daf stetig aufD(z0, R) ist, k¨onnen wir das iterierte Integral als Mehrfachinte- gral umschreiben:
f(z) = 1 2πi
k Z
|ζ1−z1|=R1
· · · Z
|ζk−zk0|=Rk
f(ζ1, . . . , ζk)
(ζ1−z1). . .(ζk−zk) dζ1· · ·dζk
Sei nun oBdAz0= 0. Wir verwenden die Entwicklung 1
ζj−zj
= X∞ nj=0
zjnj
ζjnj+1, |zj|<|ζj|. Es folgt
1
(ζ1−z1). . .(ζk−zk) = X
n=(n1,...,nk)
z1n1. . . zknk ζ1n1+1·. . .·ζknk+1,
und diese Reihe ist f¨ur jedes z ∈ D(0, R) absolut und gleichm¨aßig konvergent f¨urζ ∈ {|ζ1|=R1} ×. . .× {|ζk|=Rk}.
Da f stetig ist k¨onnen wir Summation und Integration vertauschen, und erhalten die absolut konvergente Reihe
f(z) =X
n
an1...nkz1n1·. . .·zknk
mit den vonz nicht abh¨angigen Koeffizienten an1...nk = 1
2πi k Z
|ζ1|=R1
. . . Z
|ζk|=Rk
f(ζ1, . . . , ζk)
ζ1n1+1·. . .·ζknk+1dζ1. . . dζk (1.2)
❑
1.3 Korollar. Sei D ⊆ Ck ein Gebiet, f : D → C analytisch, und z0 ∈ D.
Dann gilt
f(z) =X
n
an1...nk(z1−z10)n1·. . .·(zk−zk0)nk mit
an1,...nk = 1 n1!. . . nk!
∂n1+...+nkf
∂z1n1·. . .·∂zknk (z0) (1.3) f¨ur alle z in dem gr¨oßten Polydisk D(z0, R)der ganz in D enthalten ist.
Beweis. Sei D(z0, R) der gr¨oßte Polydisk der in D enthalten ist und sei z ∈ D(z0, R). W¨ahle 0 < rj < Rj sodaß z ∈ D(z0, r). Dann gilt f(z) =P
nan1...nk(z1−z01)n1. . .(zk−zk0)nk mit an1...nk wie in (1.2). Wie wir in der einleitenden Bemerkung gesehen haben k¨onnen die an1...nk durch die Formel (1.3) berechnet werden. Dar < Rbeliebig war folgt die Behauptung.
❑
1.4 Korollar. Sei P
nan1...nk(z1−z10)n1. . .(zk −zk0)nk eine in D(z0, r) ab- solut konvergente Potenzreihe. Dann ist die dargestellte Funktion analytisch in D(z0, r).
Beweis. Unmittelbar aus Satz 1.2.
❑
Man sieht einfach ein das die Voraussetzung
”f stetig“ in Satz 1.2 abge- schw¨acht werden kann:
2
1.5 Lemma. SeiD⊆Ck ein Gebiet,f :D→ C. Ist f beschr¨ankt und in jeder Variablen einzeln analytisch, so ist f stetig.
Beweis. Sei z0 ∈ D und w¨ahle R > 0 sodaß D(z0,(R, R, . . . , R)) ⊆ D. Sei z∈D(z0,(R2, . . . ,R2)), dann ist die Funktionf(z1, . . . , zj−1, ζ, zj+1, . . . , zk) ana- lytisch in der Variablen ζ im Kreis {|ζ −zj| ≤ R2}. Nach der Cauchyschen Integralformel gilt
∂f
∂zj
(z)≤ supw∈D|f(w)|
R 2
Also sind s¨amtliche partiellen Ableitungen von f in D(z0,(R2, . . .R2)) un- abh¨angig vonz beschr¨ankt. Es folgt dasf stetig an der Stellez0 ist.
❑
2 Subharmonizit¨ at
Der Poissonkern f¨ur den Kreis{|z| ≤ρ}ist P(z, ζ) = 1
2π
ρ2−r2
ρ2−2ρrcos(ϕ−α) +r2, z=reiϕ, ζ=ρeiα,0≤r < ρ . Ist ρ = (ρ1, . . . , ρk) und D(0, ρ) der Polydisk, so ist der Poissonkern f¨ur den Polydisk das Produkt
Pk(z, ζ) = Yk
j=1
P(zj, ζj), zj =rjeiϕj, ζj =gjeiαj,0⊆rj< ρj.
Istf analytisch in einer Umgebung des Kreises{|z| ≤ρ}, so gilt log|f(z)| ≤
Z
|ζ|=ρ
P(z, ζ) log|f(ζ)|dζ, |z|< ρ (2.1)
Man sieht induktiv, daß diese Ungleichung auch im Fall mehrerer Ver¨anderlicher gilt.
2.1 Lemma. Seif analytisch in einer Umgebung eines PolydisksD(0, ρ). Dann gilt
log|f(z)| ≤ Z
|ζ1|=ρ1
. . . Z
|ζk|=ρk
Pk(z, ζ) log|f(ζ)|dζ1·. . .·dζk.
Beweis. Zun¨achst bemerke das log|f(ζ)|der Limes von log
|f(ζ)|+ ,&0, ist und daher meßbar. Wir machen Induktion nachk. Der Fall k= 1 ist (2.1).
Sei nunf eine Funktion derk+ 1 Variablenz1, . . . , zk, zk+1. Nach Induktions- voraussetzung gilt f¨ur jedeszk+1
log|f(z1, . . . , zk, zk+1)| ≤
≤ Z
|ζ1|=ρ1
· · · Z
|ζk|=ρk
Pk(z1, . . . , zk;ζ1, . . . , ζk) log|f(ζ1, . . . , ζk, zk+1|dζ1. . . dζk.
und daher wegen dem Fallk= 1 log|f(z1, . . . , zk, zk+1)| ≤
Z
|ζ1|=ρ1
. . . Z
|ζk|=ρk
Pk(z1, . . . , zk;ζ1, . . . , ζk)·
· Z
|ζk+1|=gk+1
P(zk+1, ζk+1) log|f(ζ1, . . . , ζk, ζk+1)|dζk+1
dζ1·. . .·dζk
Nach dem Satz von Fubini ist das gleich dem Integral mit dem Produktmaß und dem Poissonkern Pk+1(z, ζ). Die Anwendung des Satzes von Fubini ist gerechtfertigt, da der Integrand g = Pk+1(z, ζ) log|f(ζ)| am Integrations- bereich nach oben beschr¨ankt ist. Daher kann man Fubini anwenden auf
−min{g,0},max{g,0}und die Ergebnisse wieder zusammenaddieren.
❑
Wir ben¨otigen die folgenden Absch¨atzungen f¨ur den Poissonkern: Es gilt 1
2π ρ−r
ρ+r ≤P(z, ζ)≤ 1 2π
ρ+r
ρ−r, z=reiϕ, ζ =ρeiα, ρ > r≥0.
IstD(0, ρ), ρ= (ρ1, . . . , ρk), ein Polydisk undPk(z, ζ) der Poissonkern f¨ur diesen Polydisk, so gibt es also Funktionena(z), A(z),z∈D(0, ρ), sodaß
0< a(z)≤Pk(z, ζ)≤A(z)<∞, z∈D(0, ρ), ζ = (ρ1eiα1, . . . , ρkeiαk). Diese haben die Eigenschaft das f¨ur jedesr0= (r01, . . . r0k),0≤rj0< ρj, gilt
min
z∈D(0,r
a(z)>0, max
z∈D(0,r)
A(z)<∞.
Weiters ist Pk(z, ζ) f¨ur jedes z ∈ D(0, ρ) stetig in ζ und daher insbesondere meßbar. Es gilt
Z
|ζ1|=ρ1
· · · Z
|ζk|=ρk
Pk(z, ζ)dζ1· · ·dζk = 1.
SeienT, DMengen,µein endliches positives Maß aufT. Weiters seiP :D×T→ Reine Funktion mit
(i) F¨ur jedesz∈D istP(z, ϑ) meßbar in ϑ.
(ii) R
T
P(z, ϑ)dµ(ϑ) = 1,z∈D.
(iii) Es gibt Funktionen a, A:D→(0,∞) sodaß
a(z)≤P(z, ϑ)≤A(z), z∈D, ϑ∈T .
Wir bezeichnen f¨urc∈RmitLcdie Menge aller meßbaren Funktioneng:T → R∪ {−∞}mitg(ϑ)≤c,ϑ∈T.
4
2.2 Lemma. Seien ϕn ∈Lc, n= 1,2, . . .undψn :D→Rsodaß ψn(z)≤
Z
T
P(z, ϑ)ϕn(ϑ)dµ(ϑ), z∈D .
Ist Z
T
lim sup
n→∞ ϕndµ >−∞, (2.2)
so existiert n&0mit ψn(z)≤
Z
T
P(z, ϑ) lim sup
n→∞ ϕn(ϑ)dµ(ϑ) +nA(z), n∈N, z∈D .
Ist Z
T
lim sup
n→∞ ϕndµ=−∞, (2.3)
so existiert n&0undN ∈Nmit ψn(z)≤ −a(z)1
cn
+c, n≥N, z∈D . Beweis. Setze ˜ϕn:= supm≥nϕm,ϕ0:= lim supn→∞ϕn, dann ist
ϕn ≤ϕ˜n ≤c, ϕ˜n &ϕ0, ψn(z)≤ Z
T
P(z, ϑ) ˜ϕn(ϑ)dµ(ϑ).
Es ist −min{ϕ˜n,0} eine monoton wachsende Folge nichtnegativer Funktio- nen, also folgt limn→∞R
T
(−min{ϕ˜n,0})dµ=R
T −min{ϕ0,0})dµ. Wegen ˜ϕn ∈ Lc gilt |max{ϕ˜n,0}| ≤ c ∈ L1(µ). Also folgt limn→∞R
T
max{ϕ˜n,0}dµ = R
T
max{ϕ0,0}dµ. Insgesamt ist
n→∞lim Z
T
˜ ϕndµ=
Z
T
ϕ0dµ .
Gilt (2.2), so folgt
nlim→∞
Z
T
( ˜ϕn−ϕ0)dµ= 0. Wir haben
ψn(z)≤ Z
T
P(z, ϑ) ˜ϕn(ϑ)dµ(ϑ) = Z
T
P(z, ϑ)ϕ0(ϑ)dµ(ϑ)+
+ Z
T
P(z, ϑ)( ˜ϕn−ϕ0)(ϑ)dµ(ϑ)≤ Z
T
P(z, ϑ)ϕ0(ϑ)dµ(ϑ)+
+A(z) Z
T
( ˜ϕn(ϑ)−ϕ0(ϑ))dµ(ϑ).
Setzen :=R
T
( ˜ϕn(ϑ)−ϕ0(ϑ))dµ(ϑ).
Gelte nun (2.3), dann istR
T
˜
ϕndµ& −∞. Wir haben
ψn(z)≤ Z
T
P(z, ϑ) ˜ϕn(ϑ)dµ(ϑ) = Z
T
P(z, ϑ)c dµ(ϑ)+
+ Z
T
P(z, ϑ)( ˜ϕn(ϑ)−c)dµ(ϑ)≤c−a(z) Z
T
(c−ϕ˜n(ϑ))dµ(ϑ).
Setzen :=h R
T
(c−ϕ˜n(ϑ))dµ(ϑ)i−1
.
❑
3 Der Satz von Hartogs
3.1 Satz (Hartogs Lemma). Seif =f(z1, . . . , zk;w1, . . . , wl)eine Funktion der k+l Ver¨anderlichen z = (z1, . . . , zk) ∈ D, w = (w1, . . . , wl) ∈ D(0, P), P = (P1, . . . , Pl), wobeiD⊆Ck ein Gebiet ist undPj>0, j= 1, . . . , l. Weiters sei p= (p1, . . . , pl), 0< pj< Pj, j= 1, . . . , l.
Ist f analytisch in D×D(0, p) und ist f¨ur jedes feste z ∈ D die Funktion f(z, .)analytisch in D(0, P), dann istf analytisch inD×D(0, P).
Der wesentliche Beweisschritt ist das folgende Lemma:
3.2 Lemma. Sei D ⊆ Ck ein Gebiet und {fn1,...,nl(z)} eine Familie von in D analytischen Funktionen. Weiters seien pj, Pj, j = 1, . . . , l, sodaß 0< pj <
Pj≤ ∞, j= 1, . . . , l.
Ist die Reihe
X∞ n1,...,nl=0
fn1,...,nl(z)wn11·. . .·wnll (3.1) absolut und lokal gleichm¨aßig konvergent in D×D(0, p) und ist sie absolut konvergent in D×D(0, P), so ist sie absolut und lokal gleichm¨aßig konvergent in D×D(0, P).
Beweis. Es gen¨ugt zu zeigen daß jeder Punkt x= (x1, x2)∈D×D(0, P) eine Umgebung besitzt in der die Reihe (3.1) absolut und gleichm¨aßig konvergiert.
oBdA seix1= 0.
W¨ahleρ= (ρ1, . . . , ρk) sodaßD(0, ρ)⊆D. Seien 0< p0j< Pj0<∞mitp0j<
pj, Pj0 < Pj, fest gew¨ahlt. Da die Reihe (3.1) f¨ur wj =Pj0 absolut konvergiert, gilt
n1+...+nliml→∞
fn1,...,nl(z)P10n1·. . .·Pl0nl = 0.
Da sie f¨urwj=p0j absolut und gleichm¨aßig f¨urz∈D(0, ρ) konvergiert, gilt f¨ur ein gewissesM0<∞
fn1,...,nl(z)P10n1·. . .·Pl0nl ≤M0, n1, . . . , nl∈N, z∈D(0, ρ).
6
Betrachte die Funktionen ϕn1,...,nl(ζ) := 1
n1+. . .+nllogfn1,...,nl(ζ)P10n1·. . .·Pl0nl M0
, ζ= (ζ1, . . . , ζk), |ζj|=ρj.
Dann gilt
ϕn1,...,nl(ζ)≤log max
j
Pj0 p0j und
lim sup
n1,...,nl→∞ϕn1,...,nl(ζ)≤0. Betrachte weiters die Funktionen
ψn1,...,nl(z) := 1 n1+. . .+nl
log fn1,...,nl(z)P10n1·. . .·Pl0nl M0
, z∈D(0, ρ). Dann gilt
ψn1,...,nl(z)≤ Z
|ζ1|=ρ1
. . . Z
|ζk|=ρk
Pk(z, ζ)ϕn1,...,nl(ζ)dζ1. . . dζk.
Ordne die Funktionenϕn1,...,nlan als eine Folge
”ϕn“ nach aufsteigenden Werten vonn1+. . .+nl, und wende Lemma 2.2 an.
Sei zun¨achstR
lim supϕn1,...,nl >−∞. Dann existiertn&0 mit ψn1,...,nl(z)≤
Z
Pk(z, ζ) lim supϕn1,...,nl(ζ) +nA(z)≤nA(z). Sei r0= (r01, . . . , rk0) mit 0< r0j < ρj, und A0= maxz∈D(0,r0)A(z)<∞, dann folgt
ψn1,...,nl(z)≤nA0, z∈D(0, r0).
Da mitn auchnA0&0 erhalten wir, daß es zu jedem >0 einN gibt mit
fn1,...,nl(z)P10n1·. . .·Pl0nl≤M0e(n1+...+nl), n1+. . .+nl≥N, z ∈D(0, r0).
(3.2) Sei nunR
lim supϕn1...nl=−∞. Dann existiertn&0 mit ψn1,...,nl(z)≤ −a(z)
n
+ log max
j
Pj0 p0j
.
Setze a0 := minz∈D(0,r0)a(z) > 0, dann ist also ψn1,...,nl(z) ≤ −an0 + log(maxj
Pj0 p0j
, z ∈ D(0, r0). Da die rechte Seite f¨ur n1+. . .+nl → ∞gegen
−∞strebt, gibt es wieder (trivialerweise) zu jedem >0 einN mit (3.2).
Ist 0< q <1 gegeben, dann gilt also
fn1,...,nl(z)(qP10)n1·. . .·(qPl0)nl≤M0(qe)n1+...+nl, z∈D(0, r0), n1+. . .+nl≥N().
W¨ahle >0 so klein daßqe<1, dann ist die Reihe X∞
n1,...,nl=0 n1+...+nl≥N()
fn1,...,nl(z)wn11·. . .·wnll,
und damit auch die Reihe (3.1) absolut und gleichm¨aßig konvergent inD(0, r0)× D(0,(qP10, . . . , qPl0)), denn sie hat die Majorante
M0
X∞
n1,...,nl=0 n1+...+nl≥N()
(qe)n1+...+nl.
❑
Beweis. (of von Satz 3.1) Seiz0∈D und seir= (r1, . . . , rk) so daßD(z0, r)⊆ D. Dann ist die Potenzreihenentwicklung
f(z, w) = X∞
m1,...,mk=0 n1,...,nl=0
am1,...,mk,n1,...,nl(z1−zi0)m1·. . .·(zk−zk0)mkwn11·. . .·wnll
vonf an der Stelle (z0,0) absolut und lokal gleichm¨aßig konvergent inD(z0, r)× D(0, p). Daher ist f¨ur jedes n1, . . . , nldie Potenzreihe
X∞ m1,...,mk=0
am1,...,mk,n1,...,nl(z1−z10)m1·. . .·(zk−z0k)wk
absolut konvergent (und daher absolut und lokal gleichm¨aßig konvergent) in D(z0, r). Sie stellt daher eine inD(z0, r) analytische Funktionfn1,...,nl dar. F¨ur diese gilt
f(z, w) = X∞ n1,...,nl=0
fn1,...,nl(z)wn11. . . wlnl, z∈D(z0, r), w∈D(0, p), (3.3)
und diese Reihe ist absolut und lokal gleichm¨aßig konvergent in D(z0, r)× D(0, p).
Istz∈D(z0, r) festgehalten, so ist f(z, w) analytisch f¨urw∈D(0, P). Die Potenzreihenentwicklung von f(z, .) nach Potenzen von wan der Stelle w= 0 konvergiert also absolut und lokal gleichm¨aßig inD(0, P). Nun wirdf(z, w) in einer Umgebung von w = 0 durch die Potenzreihe (3.3) dargestellt, also ist (3.3) die Potenzreihenentwicklung von f(z, .) anw= 0. Also konvergiert (3.3) f¨ur jedes festez∈D(z0, r) undw∈D(0, P) absolut, und zwar gegenf(z, w).
Nach Lemma 3.2 ist (3.3) inD(z0, r)×D(0, P) absolut und lokal gleichm¨aßig konvergent und stellt daher eine in D(z0, r)×D(0, P) analytische Funktion dar, denn jeder Summand ist analytisch in D(z0, r)×D(0, P). Da die Reihe (3.3) auf D(z0, r)×D(0, P) die Funktion f darstellt, ist also f analytisch inD(z0, r)×D(0, P). Daz0∈Dbeliebig war folgt die Behauptung des Satzes.
❑
8
3.3 Lemma. Seien A ⊆ Cn, B ⊆ Cm beschr¨ankt, A abgeschlossen, B offen.
Weiters sei λ : A×B → [0,∞) stetig in jeder der beiden Variablen einzeln.
Dann existiert eine offene TeilmengeB0⊆B sodaß aufA×B0 beschr¨ankt ist.
Beweis. Betrachte die Funktion µ(β) := sup
α∈A
λ(α, β) :B→[0,∞).
Diese hat einen endlichen Wert daλstetig inαist undA kompakt. F¨urn∈N ist die Menge {β ∈ B : µ(β) ≤ n} in B abgeschlossen, denn ist βi ∈ Bn, βi → β ∈ B, so gilt f¨ur jedes α ∈ A das λ(α, βi) ≤ n und daher wegen der Stetigkeit in der zweiten Variablenλ(α, β)≤n, also auchµ(β)≤n.
Angenommen es existierte keine offene TeilmengeB0 auf der λ beschr¨ankt ist. Dann hat jede Menge Bn leeres Inneres. Wendet man den Satz von Baire an auf eine abgeschlossene Kreisscheibe im Inneren von B, erh¨alt man einen Widerspruch.
❑
3.4 Satz (Hartogs). Sei D ⊆ Ck ein Gebiet und sei f : D → C in jeder Variablen einzeln analytisch. Dann ist f analytisch.
Beweis. Wir machen Induktion nachk. F¨ur k= 1 ist die Aussage trivial. Sei also angenommen das der Satz f¨ur Funktionen mitk−1 Variablen bereits gezeigt ist, und sei f :D ⊆Ck →C. Seix∈D, wir zeigen dassf in einer Umgebung vonx analytisch ist. Dazu sei oBdAx= 0. Wahle einen PolydiskD(0, ρ)⊆D.
Setze A := {|z1| ≤ ρ1} ×. . .× {|zk−1| ≤ ρk−1}, B := {|zk| < ρ3k}. Nach Induktionsvoraussetzung istf f¨ur jedes festezk inz1, . . . , zk−1 analytisch, und daher insbesondere stetig, und f¨ur jedes feste z1, . . . , zk−1 nach Voraussetzung analytisch inzk, k¨onnen wir Lemma 3.3 anwenden auf|f(z1, . . . , zk−1, zk)|. Also existiert z0 ∈ B, r > 0, sodaß D(z0, r) ⊆ B und sodaß f auf A×D(z0, r) beschr¨ankt ist. Daher ist f auf D(0,(ρ1, . . . , ρk−1))×D(z0, r) analytisch (nach Lemma 1.5).
F¨ur jedes feste (z1, . . . , zk−1 ∈ D(0,(ρ1, . . . , ρk−1)) ist f analytisch in zk ∈D(0, ρk) und, da|z0|< ρ3k, daher insbesondere im KreisD(z0,23ρk). Nach Satz 3.1 angewandt auf die Funktionf(z1, . . . , zk−1;zk−z0),p1=r, P1= 23ρk, ist f analytisch in D(0,(ρ1, . . . , ρk−1)) × D(z0,23ρk). Da |z0| < ρ3k, ist D(0,ρ3k) ⊆ D(z0,23ρk) und daher f analytisch auf der Nullumgebung D(0,(ρ1, . . . , ρk−1,ρ3k)).
