Verschiedene Aspekte und Projektionen für Weltkarten

Verschiedene Aspekte und Projektionen für Weltkarten

Christoph Brandenberger

Institut für Kartographie ETHZ Zürich 1996

Vorwort

Die Berechnung und Konstruktion des grundlegenden Kartennetzes für eine Karte, samt ihrem geo- graphischen Inhalt, erforderte vor einigen Jahrzehnten noch einen enormen Zeitaufwand. Zudem stellte die Kartierung aller Einzelheiten und die Reinzeichnung des Netzes hohe Ansprüche an das handwerkliche Können des Kartographen. Deshalb erstaunt es nicht, dass praktisch alle Kartographie- Lehrbücher dem Thema Kartenprojektionen einen unangemessen breiten Platz einräumten. Diese Beliebtheit mag auch darin begründet gewesen sein, dass man mit den zugehörigen klaren ma- thematischen Formeln sichern Boden unter den Füssen hatte und sich weniger auf Glatteis bewegte, als mit unscharfen Rezepten zur Kartengraphik.

Mit der heutigen Hardware und Software für die computergestützte Kartographie bereitet es nun aber keine grösseren Schwierigkeiten mehr, bei Bedarf ein vollständig neues Kartennetz zu berechnen und maschinell in guter Qualität zu zeichnen oder direkt auf Film zu belichten. Der Wunsch nach einer auf den jeweiligen Zweck massgeschneiderten Abbildung ist nicht mehr unrealistisch. Deshalb häufen sich die Anfragen von verschiedenster Seite nach Entscheidungsgrundlagen für die Wahl einer solchen Kartenprojektion. Im Vordergrund des Interesses stehen dabei sehr oft nicht primär die Ver- zerrungseigenschaften einer Projektion, sondern das Format und die Proportionen des Umrisses ei- ner Weltkarte sowie das damit optimal abbildbare Gebiet. Wer nicht über leistungsfähige und umfas- sende Programme zur Erstellung von Kartenprojektionen verfügt, ist dabei auf bildliches Anschau- ungsmaterial angewiesen.

Um diesem vielfach geäusserten Wunsch nach Beispielen entsprechen zu können, haben wir den vorliegenden Katalog von Kartenprojektionen für Weltkarten geschaffen. Dabei sollten einerseits die verschiedenen Entwürfe mit ihren Besonderheiten in Bild und stichwortartigem Text vorgestellt wer- den. Andererseits legten wir besonderen Wert darauf, dass auch ungewohnte Aspekte zur Darstel- ung kommen. Wir waren auch bestrebt, die Netzbilder auch aus einem nicht eurozentrischen Blick- winkel darzubieten. Generell wurde auf die Aufnahme von Kartennetzen verzichtet, wie sie für Länder oder Kontinente Anwendung finden. Mit der Konzentration auf einen beschränkten Ausschnitt in den vorliegenden Bildern lässt sich aber bereits eine grobe Vorstellung darüber gewinnen, ob eine Pro- jektion geeignet wäre und welchen Raum abgedeckt würde. Im Blick auf den breiten Interessenten- kreis haben wir auf eine, allen wissenschaftlichen Ansprüchen genügende Umschreibung der einzel- nen Projektionen verzichtet. Nähere Einzelheiten können auf Anfrage erläutert werden.

Mein Mitarbeiter Dr. Christoph Brandenberger, der sich an unserm Institut seit Jahren mit dieser The- matik befasste, hat die Auswahl der Beispiele getroffen, diese berechnet, auf Film belichtet und kurz kommentiert. Er hat zu diesem Zweck ein Kartenprojektionsprogramm KAPRO, das vor Jahren am In- stitut für Geodäsie und Photogrammetrie in den Grundzügen aufgebaut wurde, weiterentwickelt und auf dem Intergraph-System implementiert.

Wir hoffen, dass die zahlreichen Beispiele Anregungen geben und bei der Wahl einer geeigneten Abbildung hilfreich sein werden.

Zürich, im März1996 Der Vorsteher des Instituts für Kartographie der ETH Zürich: Prof. Dr. h.c. Ernst Spiess

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1. Kriterium zur Wahl einer Projektion

2. Rückgriff auf eine verfügbare externe Weltdatenbank 3. Verwendung von vorhandenem Kartenmaterial

Abbildungen

Zylindrische Abbildungen - in normaler Lage

- in transversaler Lage - in schiefer Lage

- unechte zylindrische Abbildungen

Azimutale Abbildungen - in polarer Lage

- in transversaler Lage -in schiefer Lage

-unechte azimutale Abbildungen

Konische Abbildungen -in normaler Lage

-unechte konische Abbildungen -polykonische Abbildungen

Verschiedenartige Abbildungen

Untersuchungen zur optimalen Anzahl von Zusatzpunkten

Begriffe, Notationen und Erläuterungen

Abbildungsindex

Literaturverzeichnis (ausgewählte Publikationen)

3 7 7

1 6 16 22 24 29

82 82 86 87 94

125 125 129 132

148

166

172

174

178

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Einleitung

1. Kriterien zur Wahl einer Projektion

Die Erdoberfläche kann auf mannigfaltige Weise in die Ebene abgebildet werden. Keine der mögli- chen Abbildungen gibt jedoch die Realität in allen Belangen richtig wieder, da bei allen Verzerrungen auftreten. Je nach gewählter Abbildungsart erscheinen die Form, die relativen Flächengrössen der Regionen, die Richtungen und die Distanzen zwischen Orten im Kartenbild verzerrt.

Vom Standpunkt der Verzerrungen aus betrachtet, wäre eine Kartierung auf einen Globus die beste, weil die geographischen Beziehungen dort realitätsgetreu dargestellt werden. Globusdarstellungen sind aber unpraktisch und zudem sehr teuer in ihrer Erstellung.

Bei der Wahl einer Abbildung, ihrer Zentrierung und Orientierung sind in der Regel die folgenden Kri- terien zu beurteilen, die unter sich korreliert sind:

verfügbares Format des Kartenausschnittes

gewünschter (runder) Kartenmassstab; wobei die Angabe eines Massstabes für Weltkarten oft problematisch ist, wenn er sich nur auf eine ausgezeichnete Linie bezieht (z.B. bei der Merca- torprojektion). Bei der Berechnung von flächentreuen Abbildungen wird für den Erdradius meist der Radius der Erdkugel mit derselben Oberfläche wie das Erdellipsoid verwendet: 6371 ,23 km.

ln gewissen Fällen wird bewusst auf einen fixen Massstab verzichtet, so z.B. bei den fokalen Netzen.

Gebietsausschnitt, der unter den obigen Annahmen abgebildet werden kann. Dabei ist für Weit- karten von besonderem Interesse, ob die ganze, die halbe oder nur Teile der Erdoberfläche, oder diese u.U. sogar mehrfach abgebildet werden.

Zulässige Verzerrungen mit unterschiedlich strengen Forderungen, die sich gegenseitig alle mehr oder weniger ausschliessen:

-keine Winkelverzerrungen, damit Formtreue im Detail (nicht jedoch im Grossen!) - keine Flächenverzerrungen

-für ausgewählte Strecken keine Längenverzerrungen (Abstandstreue) -minimale Längenverzerrungen für ein Gebiet oder für ausgewählte Strecken

-minimale Flächen- und Winkelverzerrungen (wie z.B. in den sog. vermittelnden Abbildungen) - keine extremen Quetschungen der Kontinente

Auf den Eintrag der Verzerrungsellipsen nach Tissot wurde mit einer exemplarischen Ausnahme (Abbildung 1) verzichtet. Das Schnittbild des Längen- und Breitenkreisnetzes und der Flächen- vergleich der Netzquadrate gibt bereits eine gute Vorstellung über die Verzerrungsverhältnisse in einer Weltkarte.

Verlauf der Längen- und Breitenkreise: - Längen- und/oder Breitenkreise als Geraden - Längen- und/oder Breitenkreise als Kreisbogen

-Orthogonale Längen- und Breitenkreise; wobei zu beachten ist, dass eine solche Abbildung winkeltreu sein kann aber nicht a priori sein muss.

-einzelne ausgezeichnete Längen- oder Breitenkreise als Geraden oder Kreisbogen, z.B. der Äquator oder der Mittelmeridian

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-perspektivische Wirkung des Netzes der Längen- und Breitenkreise, die Erdrundung vortäuschend

Verlauf der Grasskreise (Orthodromen) der Erdkugel: z.B. als Geraden oder Kreisbogen (Abbildung 2)

Verlauf der Kurven (Loxodromen), welche alle Meridiane unter einem konstanten Winkel (Azimut) schneiden. Beispiele von Loxodromen sind in der Abbildung 2 ersichtlich.

Form des Umrisses: Kreis, Ellipse, Rechteck, andere Formen (Abbildung 3).

Abbildung 1

Tissot'sche Verzerrungsellipsen

Oben: Südamerika basierend auf einer winkeltreuen (konformen) Abbildung. Alle Verzerrungsellipsen in winkeltreuen Abbildungen sind als Kreise ausgebildet, deren Durchmesser proportional zum jeweiligen linearen Massstab ist und deren Flächen proportional zum Flächenmassstab im entspre- chenden Punkt ist.

Das untere Bild zeigt den Kontinent in einer flächentreuen Abbildung. Die lndikatrixen (Verzerrungs- ellipsen) sind jetzt wirkliche Ellipsen, die sich durch verschiedene Abplattungen und Achsrichtung voneinander unterscheiden. Die Ellipsenfläche ist in allen Punkten gleich gross. Dies ist das typische Merkmal einer flächentreuen Abbildung.

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Abbildung 2

Loxodrome und Orthodrome

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Im linken oberen Bild sind eine Orthodrome und eine Loxodrome in einem Netzentwurf nach Mercator gezeichnet, im linken unteren Bild in einer Abbil- dung von Gnomon. ln der Mercatorabbildung ist die Orthodrome, in der Gnomonabbildung die Loxodrome eine Gerade. Das rechte Bild zeigt den Verlauf

dieser zwei Spezialkurven in einem Orthographischen Netzentwurf auf. ^(]1

6

Umrisse

Kreis Ellipse Sinuslinien Rechteck

Nord- und/oder Südpol

als Punkt als gekrümmte Pollinie als gerade Pollinie

Abbildung 3

Mögliche Umrissformen und Polausprägungen

Eine Abbildungsart welche die beste für eine Weltkarte wäre, gibt es nicht. Vielmehr ist zu fragen nach der bestgeeigneten Abbildungsart für einen bestimmten Kartenzweck und Bereich. Ein Haupt- kriterium ist dasjenige der minimalsten Verzerrungen (Deformationen). Sie kann durch eine optimale Wahl des Berührungspunktes oder -kreises und durch eine geschickte Netzlagerung erreicht werden. Das zu kartierende Gebiet sollte dabei in denjenigen Bereich der Projektion zu liegen kommen, der die minimalsten Deformationen aufweist. Heutige Rechentechniken erlauben es, auf einfache Weise den Berührungspunkt zu verschieben. Des weitern lässt sich bei vielen Projektionen durch Setzen von Netzparametern die Netzform ändern, so zum Beispiel durch eine optimale Wahl der längentreuen Standardbreitenkreise. Auch durch verschiedene Netzlagerungen lassen sich Änderungen der Netzform realisieren. Der jeweilige Kartenzweck kann jedoch die Auswahl von möglichen Projektionen stark einschränken, insbesondere wenn dieser verlangt, dass eine bestimmte Projektionseigenschaft (z.B. Flächentreue) vorhanden sein sollte.

Schlecht gewählte Abbildungen können bei den Kartenbenutzern einen falschen Eindruck, hinsicht- lich den kartierten geographischen Verhältnissen hinterlassen, insbesondere wenn grosse Verzer- rungen auftreten. Da man tendenziell das, was man häufig sieht als richtig annimmt, besteht die Ge- fahr, dass mit ungünstig gewählten Projektionen und mit ihrer wiederholten Anwendung falsche Vor- stellungen fixiert werden.

Mit diesem Katalog soll dem Kartenredaktor eine Hilfe gegeben werden, um optimale Abbildungen für das zu kartierende Thema auswählen zu können. Diese Zusammenstellung erhebt aber keinen An- spruch auf Vollständigkeit, sondern soll die Vielfalt der in Frage kommenden, gebräuchlichen Abbil- dungen exemplarisch aufzeigen. Wir betrachten es als ein Nachschlagewerk für Anwender, die käufli-

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ehe Projektionsprogramme für die Erstellung ihrer Karten einsetzen wollen. Mit diesen Programmen lassen sich geographische Kartennetze und Kartenelemente schnell, kostengünstig und problemlos in den entsprechenden Netzentwurf umrechnen. Allerdings erfordert die Reinzeichnung des Karten- inhaltes noch erhebliche Nachbearbeitungen (Generalisierungen) Es bleibt zu hoffen, dass mit Hilfe dieser Publikation vermehrt Karten entstehen, deren Projektionen den dargestellten Themen optimal angepasst sind.

Nebst der Berechnung und der Auszeichnung von reinen Kartennetzen ist meistens auch ein Über- tragen des Karteninhalts in die gewählte Abbildung erwünscht. Dazu steht verschiedenes Ausgangs- material und mehrere Methoden zur Verfügung.

2. Rückgriff auf eine verfügbare externe Weltdatenbank

Heutzutage sind immer mehr Weltdatenbanken in vektorieller Form im Aufbau begriffen oder werden bereits kommerziell auf dem Markt angeboten oder können ab öffentlich zugänglichen Datenservern kostenfrei abgerufen werden. Als typische Vertreter seien an dieser Stelle genannt:

WDB I (World Databank I) des CIA (Central lntelligence Agency) mit 115 000 Punkten im Massstabsbereich von 1 : 12 Millionen.

-- WDB II des CIA mit 6 Millionen Punkten im Massstabsbereich 1 : 1 Millionen bis 1 : 4 Millionen.

-- WDB lA eine reduzierte Version der WDB II

--MUNDOCART ein Produkt der Erdölindustrie mit einem weltweit blattschnittfreien Datenbestand von total 20 Millionen Punkten. Die Daten sind aus einem 1 : 1 Millionen Datenbestand der US-Defence Mapping Agency (DMA) im Masstabsbereich 1 : 250 000 bis 1 : 1 Million gewonnen worden.

-- Digital Chart of the World (DCW) basierend auf den Operational Navigation Charts (ONCs) 1 : 1 Million und für die Antarktis auf der 1 : 2 Million Jet Navigation Chart.

-- EURODB, digitalisiert ab Kartenblättern von Europa aus der Serie der Internationalen Weltkarte (lKW) 1 : 1 Million.

3. Verwendung von vorhandenem Kartenmaterial

Eine Karte basiert immer auf einer spezifischen Abbildung (Projektion). Von Fall zu Fall kann diese be- kannt sein. Sehr oft sind jedoch keine oder nur ungenügende Angaben zur verwendeten Projektion vorhanden. ln diesem Falle lassen sich mit dem im folgenden beschriebenen Transformationsverfah- ren Kartenelemente von einer Abbildung in eine andere übertragen.

ln einem ersten Schritt wird das analoge Kartenbild manuell digitalisiert. Mit dieser Digitalisierung wer- den die analogen Daten in digitale umgewandelt. Die einzelnen Kartenelemente liegen nun in vekto- rieller Form vor. Als Alternative zur sehr aufwendigen manuellen Digitalisierung ist bei Vorliegen von einfarbigem Kartenmaterial oder einfachen schwarz-weissen Kartenauszügen auch eine Erfassung durch Scannen möglich. Durch den Scannvorgang wird das analoge Bild in einzelne kleine Bildele- mente sog. Pixel (picture elements) aufgelöst resp. aufgerastert. Dieses binäre Rasterbild, das nur schwarze und weisse Pixel enthält, kann anschliessend mit einem Vektorisierungsprogramm in Vek- torzüge umgewandelt werden.

Im zweiten Schritt erfolgt eine Transformation dieser digitalen Vektordaten in geographische Längen- und Breitenwerte. Zur Vornahme dieser Koordinatenumwandlung wird eine Lagrange-lnterpolation, welche sich auf geeignete Stützpunkte, meistens Netzschnittkreuze, abstützt, zurückgegriffen. Falls

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die Abbildung und die entsprechenden Parameter der Ausgangkarte bekannt sind, lassen sich die geographischen Koordinaten der zu transformierenden Kartenelemente auch über die inverse Abbil- dungsgleichungen ermitteln. Dabei wird vorausgesetzt, dass sich diese überhaupt algebraisch bilden lassen. Mit entsprechenden Projektionsprogrammen können nun diese Längen- und Breitenwerte in die gewünschte Abbildung umgerechnet werden (Abbildung 4).

Abbildung 4

Transformation von Vektordaten mit Lagrange-Interpolationspolynomen

Oben, eine Kompilation der Australischen Küstenlinie und der Grenzen der Gebiete gleicher Bevölke-

rungsdichte, die auf einer konischen Abbildung basiert. Unten, die gleiche Situation nach einer Trans- formation in eine flächentreue Azimutalabbildung für eine Gesamtkarte von Asien.

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Nicht alle Kartenvorlagen lassen sich vektorisieren: man denke zum Beispiel an Reliefzeichnungen und ähnliches. Für solche Fälle gibt es bereits kommerziell erhältliche Programmpakete, die eine Transformation von eingescannten Bildern von einer Abbildung in eine andere ermöglichen. Bei Transformationen von bekannter zu bekannter Abbildung erfolgt diese jeweils über die inversen Ab- bildungsgleichungen. Im Falle

von

Für die Berechnung des Küstenlinienbildes in der vorliegenden Publikation wurde ein eigens dafür erzeugter Datensatz verwendet. Als Grundlage diente ein Küstenlinienentwurf, der für eine neue Weltkarte im Schweizer Weltatlas Verwendung fand. Diese in analoger Form vorhandenen Linien wur- den am institutseigenen interaktiven CAD-System manuell als Linienzüge digitalisiert. Eine Transfor- mation der durch diese Digitalisierung ermittelten planaren Situationskoordinaten in geographische Breite und Länge fand anschliessend statt. Dazu kam ein am Institut für Kartographie der ETHZ

vom

Autor entwickeltes Transformationsprogramm zum Einsatz, das auf Lagrange-Interpolationsalgorith- men beruht. Der auf diese Art erzeugte Datensatz von Küstenlinien umfasst insgesamt 5460 Punkte. Diese Koordinaten lassen sich mittels eines Projektionsprogrammes in die verschiedensten Projek- tionen umrechnen. Jedoch ist zu bedenken, dass das ursprüngliche Linienbild auf die Projektion der betreffenden Weltkarte abgestimmt war. Der vorliegende Projektionskatalog enthält zahlreiche Abbil- dungen in verschiedenen Massstäben und in sehr unterschiedlichen Projektionen. Daher ist das Kü- stenlinienbild nicht in jedem Fall den jeweiligen Abbildungsverhältnissen optimal angepasst. Für die Erzeugung eines kartographisch einwandfreien Küstenlinienbildes wären

von

Dasselbe gilt in der Regel ebenfalls, wenn für die Erstellung von Karten Daten aus bereits bestehen- den Datenbanken verwendet werden. Denn die kartographischen Darstellungsregeln verlangen, dass der Inhalt jeder Karte ihrem Massstab und ihrem Zweck angepasst wird. Das Ausmass der Gene- ralisierung variiert von Karte zu Karte. Eine gute Generalisierung ermöglicht den Informationsverlust als Folge der Massstabreduktion und der gewähltem Abbildungsart hinauszuzögern. Einzelne Formen können bei einer geringen Massstabsreduktion noch gut erkannt werden. Dies wird bei einer weiter- gehenden Reduktion unmöglich. Dann tritt ein Informationsverlust auf, wie dies das obere Bild der Abbildung 6 aufzeigt. Das Küstenlinienbild dieser Weltkarte wurde mit Daten aus der World Data Bank lA erzeugt. Der besonders in nördlichen und südlichen Breitengraden auftretende Informationsverlust ist deutlich erkennbar. Die einzelnen Küstenlinienformen fallen in diesem kleinen Massstab zu hässlichen schwarzen Stellen zusammen. Eine geometrische Generalisierung ist notwendig, um ein klares Kartenbild zu schaffen. Durch Zusammenfassen, Weglassen, Hervorheben und Umformen von Einzelheiten kann die Karte wieder lesbar gemacht werden. Dies lässt sich durch eine manuelle Überarbeitung des Küstenlinienbildes am Bildschirm der Arbeitsstation mit den vorhandenen Editierfunktionen realisieren oder auch EDV-mässig durch den Einsatz von Generalisierungs- Algorithmen.

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Abbildung 5

Transformation von Rasterbildern von einer Abbildung in eine andere

Oben: Ausgangssituation, ein Relief basierend auf einer flächentreuen schiefachsigen Azimutalabbil- dung. Zur Vornahme einer Koordinatentransformation ist eine Rasterisierung des Ausgangbildes notwendig. Dieses liegt in der Form einer Pixelmatrix vor. Mit geeigneten Transformationsalgorithmen kann dieses in die gewünschte Abbildung überführt werden. Die untere Abbildung zeigt das Bild nach einer Umbildung in eine Plattkarte.

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Die untere Weltdarstellung der Abbildung 6 zeigt ein Küstenlinienbild, das ebenfalls auf den WOB lA- daten basiert. Es wurde jedoch nur jeder zweihundertste Punkt berechnet und ausgezeichnet. Eine merkliche Bildentlastung in den hohen Breitengraden kann erkannt werden. Allerdings noch nicht in einem Ausmass, das annehmbar wäre. An einigen Stellen (Sri Lanka, Japanische Inseln, Indonesi- sches Archipel) sind hingegen allzustark generalisierte Küstenlinien durch dieses einfache Punktre- duktionsverfahren entstanden. Hinzukommt, dass viele der kleinen Inseln zu einem Punkt resp. zu einer kurzen Linie degeneriert sind. Das obere Bild der Abbildung 7 enthält ein Küstenlinienbild, das einem Punktfilteralgorithmus nach Forsen-Douglas-Peucker behandelt wurde. Als Ausgangsdaten dienten alle Punkte der WOB lA. Im Vergleich zum vorhergehenden Beispiel bleibt die Küstenlinien- charakteristik bei diesem Beispiel besser erhalten. Gleichwohl sind immer noch viel zu kleine Inseln vorhanden, wie auch gewisse graphische Unzulänglichkeiten in den hohen Breitengraden. Die Kü- stenlinien im vierten Beispiel (Abbildung 7 unten) wurden manuell überarbeitet. Bedingt durch die Netzform und den kleinen Massstab werden in den hohen Breitengraden z.T. gewisse graphische Minimaldimensionen gleichwohl noch unterschritten. Beachtenswert ist besonders die gut herausge- arbeitete Charakteristik der Norwegischen Fjorde. Dank der manuellen Überarbeitung kommt diese sehr gut zur Geltung. Dies ist bei den vorhergehenden Beispielen nicht der Fall.

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I

Abbildung 6

Abbildung von Hammer

Eine flächentreue azimutale Abbildung mit Polen, die als Punkte ausgebildet sind. Die Daten für die Küstenlinien sind der WOB lA, ein reduzierter Datensatz der WOB II, entnommen. Oben eine Weltdar- stellung mit allen Punkten, unten eine bei der nur jeder 200. Situationspunkt berechnet und ausge- zeichnet worden ist. Bei beiden Abbildungen sind die, infolge einer fehlenden kartographischen Ge- neralisierung, vorhandenen graphischen Mängel gut erkennbar.

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Abbildung 7

Abbildung von Hammer

Oben eine Weltdarstellung deren Küstenlinien auf dem totalen WOB lA - Datensatz basieren, jedoch mit einem Punktfilteralgorithmus nach Forsen-Douglas-Peucker behandelt worden sind. Dennoch sind einige graphische Unzulänglichkeiten, insbesondere zusammenfallende Linien in hohen Brei- tengraden und viel zu kleine Inseln vorhanden. Das Küstenlinienbild der unteren Abbildung wurde manuell überarbeitet. Es ist abgesehen von einigen wenigen Ausnahmen der gewählten Abbil- dungsart und dem Kartenmassstab angepasst.

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Die Einteilung und die Reihenfolge der Netzentwürfe wurde nach der Art der Abbildungsfläche vor- genommen. So wurden Klassen der azimutalen, konischen, zylindrischen und sonstige Abbildungen gebildet. Die einzelne Abbildungsklasse wurde weiter nach der Lage der Abbildungsfläche relativ zur Erdachse feiner unterteilt. Als normale, normalachsige oder polständige Abbildungen werden Abbil- dungen bezeichnet, bei denen die Erdachse und die Achse der Abbildungsfläche zusammenfallen.

Liegt die Achse der Abbildungsfläche in der Äquatorebene spricht man von querachsigen, äquator- ständigen oder transversalen Abbildungen. Stehen die Erdachse und die Achse der Abbildungsflä- che in einem schiefen Winkel zueinander, so liegt eine schiefachsige Abbildung vor (Abbildung 8).

Eine spezielle Unterklasse bilden die unechten Abbildungen. Diese entstehen aus den echten Ab- bildungen durch Einführen besonderer Projektionsbedingungen. Dadurch gehen gewisse Eigen- schaften der echten Projektionen teilweise oder ganz verloren. Zum Beispiel weisen unechte zylindri- sche Abbildungen die folgenden Eigenschaften auf:

- Die Breitenkreise sind zueinander parallel verlaufende Geraden.

-Die Meridiane sind mit Ausnahme des Mittelmeridians gleichabständige gekrümmte Kurven.

Ein typischer Vertreter aus dieser Klasse ist die sinusoidale Abbildung.

Lage des Mittelmeridians m = Mittelmeridian

m

Lage der Abbildungsfläche

normalachsig polständig

Abbildung 8

transversal querachsig oder

äquatorständig

Mögliche Lagen des Mittelmeridians und der Abbildungsfläche.

m

schiefachsig

A = Äquatorebene

e =Erdachse z = Zylinderachse

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Die einzelnen Abbildungen wurden mit einem institutseigenen Projektionsprogramm erzeugt. Es handelt sich um ein PASCAL-Programm namens KAPRO (KArtenPROjektionen), das die Analyse und die automatische Zeichnung von Netzentwürfen sowie allfälliger Situationsdaten erlaubt. Die Abbildungsgleichungen der einzelnen Netzentwürfe wurden sukzessive programmiert und ins Pro- gramm eingebaut. Zum heutigen Zeitpunkt sind im Programm mehr als 11 0 verschiedene Projektio- nen verfügbar. Bei den meisten Netzentwürfen wurde die Erdform als Kugel (mathematische Refe- renzfläche) mit einem Radius von 6370.3 Kilometern angenommen. Die Abbildungsgleichungen sind im Vergleich zum Rotationsellipsoid als Referenzfläche auf der Kugel mathematisch viel einfacher.

Eine Projektionsberechnung auf der Kugel ist für Weltkarten durchaus zulässig, weil es sich hier um kleinmassstäbliche Abbildungen handelt. Der Einfluss der zugrunde gelegten Erdform kommt erst bei der Erstellung von Karten in Massstäben grösser als 1 : 5 Millionen zum tragen.

Zylindrische Abbildungen in normaler Lage

Flächentreue Zylinder-Abbildung (entspricht in etwa der Petersprojektion) mit längentreuen Parallelkreisen auf 45° 07' 48" nördlicher und südlicher Breite.

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17

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Abbildung von Mercator (konforme Zylinderabbildung)

Findet Verwendung in Seekarten, da die Loxodromen (Kurslinien) als Geraden abgebildet werden.

Abbildung von Miller

Vermittelnder Entwurf zwischen einer Mercator- und einer Zylinderprojektionen, der weder flächen- noch winkeltreu ist. Die Meridiane und die Parallel-

kreise sind Geraden, die sich unter einem rechten Winkel schneiden. <0

20

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Abbildung nach Arden-Ciose,

zentriert auf den Punkt b0

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Zylinderabbildung. Es ist keine Flächentreue vorhanden. ^1'0

Zylindrische Abbildungen in transversaler Lage

Plattkarte in transversaler Lage Abstandstreue Zylinderabbildung

N N

Abbildung von Lambert

Eine transversale flächentreue Zylinderabbildung mit zwei längentreuen Mittelmeridianen auf - 90° und 90° geographischer Länge. ^t\) _v:>

24

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Plattkarte

Abstandstreue Zylinderabbildung in allgemeiner Lage mit Zentrierung auf den Punkt b₀ =

o o

Q

=

26

Winkeltreue (konforme) Zylinderabbildung in schiefer Lage (Schweizerisches Projektionssystem), zentriert auf die alte Sternwarte von Bern mit den geographischen Koordinaten b0 = 46° 57' 09" und 1₀ = 7° 26' 22".

Schiefachsige flächentreue Zylinder-Abbildung Bei diesem Entwurf liegt der Fundamental- punkt, d.h. der Schnittpunkt des «Pseudo»- Äquators mit der Symmetrieebene auf 65° nörd- licher Breite und 155° westlicher Länge. Die Meridiane und Parallelkreise sind als doppelt gekrümmte Kurven ausgebildet. Das Karten- netz erscheint asymmetrisch, was eher u nge- wohnt ist. Diese Abbildungsart ist gut geeignet zur Darstellung von länglichen schmalen Gebie- ten, die sich entlang des Pseudo-Äquators er- strecken.

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Abbildung von Lambert

Oben, eine schiefachsige flächentreue Zylinderabbildung mit einer Zentrierung auf den Punkt b₀

=

= o o

o o

1'0

(X)

Zylindrische Abbildungen unechte zylindrische Abbildungen

Abbildung von Sanson-Fiamsteed, auch Sanson-Mercator-Abbildung genannt.

Flächentreuer Netzentwurf mit Iängentreuern Mittelmeridian und längentreuen Parallelkreisen. ^{f\..) <D}

Abbildung von Sanson-Fiamsteed in allgemeiner Lage

mit einer Zentrierung auf b₀ = 45° und 1₀ =

o o

GJ 0

31

Q) OJ CU _J 0

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Q)I.O

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§ II

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32

2

3 4

5 6

7 8

9 10

Mollweide-Abbildung in verschiedenen Aspekten Flächentreuer pseudozylindrischer Entwurf

1 . Mollweide-Abbildung

in normaler Lage mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

2. Mollweide-Abbildung

in einfacher schiefer Lage mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

3. Mollweide-Abbildung

in transversaler schiefer Lage mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

4. Mollweide-Abbildung

in erster transversaler Lage mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

5. Mollweide-Abbildung

in zweiter transversaler Lage mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

6. Mollweide-Abbildung

in schiefem Aspekt mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

7. Mollweide-Abbildung

in schiefer (plagaler) Lage mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

8. Mollweide-Abbildung

Gleicher Aspekt wie bei Abbildung Nr.7, jedoch mit einem Drehwinkel Q = 45°.

9. Mollweide-Abbildung

mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

1 0. Mollweide-Abbildung

mit den Drehwinkeln nach Wray cD

=

=

=

33

34

Abbildung von McBryde und Thomas Nr.3

Flächentreue sinusoidale, pseudozylindrische Projektion mit Mittelmeridian auf -60° und den Abbildungsparametern K

=

n

=

=

(Jl

Abbildung von McBryde und Thomas Nr.3

Flächentreue sinusoidale, pseudozylindrische Projektion mit einem Mittelmeridian auf

o o

und den Abbildungsparametern K = 0.5, n = 1.785398, m = 0.9165963.

w 0 )

Abbildung von McBryde und Thomas Nr.3

Flächentreue sinusoidale, pseudozylindrische Projektion mit Mittelmeridian auf 60° und den Abbildungsparametern K = 0.5 (Pollänge : Äquatorlänge),

n = 1.785398 (eine vom Parameter K abhängige weitere Konstante), m = 0.9165963 (Äquatorlänge : Länge des Mittelmeridians). w

""'-l

Abbildung von McBryde und Thomas Nr.3

Flächentreue sinusoidale, pseudozylindrische Projektion mit dem Mittelmeridian auf 90° und den Abbildungsparametern K

=

=

=

0.9165963.

0J CP

Abbildung von McBryde und Thomas Nr.3

Flächentreuer Entwurf mit Mittelmeridian auf 180° und den Abbildungsparametern K

=

=

=

Flächentreue sinusoidale pseudozylindrische Abbildung mit minimaler Längenverzerrung und den Abbildungsparametern K = 1.72413793 (Pollänge : Äquatorlänge), n

=

=

~

0

Pseudozylindrische Abbildung von Mayr

Durch die Wahl eines Meridianabstandes, proportional zur Wurzel des Cosinus der Breite, wird bei diesem Entwurf die Eigenschaft der Flächentreue

erhalten. +>-_...

p

Pseudozylindrische Abbildung von Erdi-Krausz

Eine flächentreue Abbildung, die aus einer Kombination von einer Sinusoidai-Abbildung im Bereich - 60° und + 60° Breite und einer Mollweide-Abbildung in den beiden Polgebieten besteht.

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1\.)

Abbildung II von Baranyi

Dieser Entwurf gehört zur Klasse der unechten Zylinderentwürfe. Er ist nicht flächentreu. Die beiden Pole sind Punkte. Der Äquator und die Breitenkreise sind Geraden, die zueinander parallel verlaufen. Die Abstände der Parallelkreise nehmen vom Äquator gegen die Pole hin linear zu. Die

Meridiane schneiden den Äquator in gleichen Abständen. .j:::>.

w

I

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Abbildung IV von Baranyi

Dieser Entwurf ist ein modifizierter Zylinderentwurf, der keine Flächentreue aufweist. Die beiden Pole sind als Punkte ausgebildet. Die Parallelkreise sind zueinander parallel verlaufende Geraden. Die Meridiane schneiden den Äquator in ungleichen Abständen. Die Distanz zwischen den einzelnen Äquator- schnittpunkten nimmt vom Mittelmeridian gegen aussen hin ab.

.j:::.

.j:::.

Abbildung von Winkel

Mittel aus einer Aitoff-Abbildung und einer mittabstandstreuen zylindrischen Abbildung mit je einem längentreuen Parallelkreis auf 15° nördlicher und

südlicher Breite. Cll ^~

Abbildung von Winkel

Mittel aus einer Aitoff-Abbildung und einer mittabstandstreuen zylindrischen Abbildung mit je einem längentreuen Parallelkreis auf 45° 07' 48" nördlicher und südlicher Breite.

-t>.

(J)

Abbildung von Winkel

Mittel aus einem Aitoff-Entwurf und einer mittabstandstreuen zylindrischen Abbildung mit je einem längentreuen Parallelkreis auf 80° nördlicher und südli-

cher Breite. ^.j::>. -...J

Abbildung Nr.1 von Eckert

Eine unechte Zylinderabbildung, die weder winke!- noch flächentreu ist, jedoch mit gleichabständigen parallelen Breitenkreisen, die senkrecht zum Mit- telmeridian stehen. Die Meridiane sind gleichabständig verlaufende Geraden, die am Äquator gebrochen werden. Die Pollinie ist halb so lang wie der Äquator. Es existiert eine Symmetrie bezüglich des Mittelmeridians oder des Äquators. Die linke Abbildung ist auf den Punkt mit b0

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Abbildung IV von Eckert

Eine flächentreue unechte Zylinderabbildung mit einem Mittelmeridian und Pollinien, die halb so lang sind wie der Äquator. Die übrigen Meridiane sind äquidistant plazierte Halbellipsen, welche konkav zum Mittelmeridian verlaufen. Die 180°-Meridiane sind Halbkreise. Die Breitenkreise sind Parallelen, die orthogonal zum Mittelmeridian stehen. Die beiden Breitenkreise auf 40° 30' und - 40° 30' sind längentreu. Eine Symmetrie ist bezüglich des Mittelmeridi-

ans oder des Äquators gegeben. <.0 ^~

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Abbildung Nr. V von Eckert

Die Pollinie und der Mittelmeridian sind gleich lang. Der Äquator ist doppelt so lang wie die Pollinie. Die Parallelkreise werden als Geraden, die parallel zum

Äquator verlaufen, abgebildet. Die Meridiane sind als Sinuslinien ausgebildet. ^{Ü1 ...}

52

Abbildung I bis VI von Eckert

Die einzelnen Versionen sind in aufsteigender Reihenfolge von links nach rechts und von oben nach unten angeordnet. Die Eckert'schen Netzentwürfe sind unechte Zylinderabbildungen. Die Entwürfe I, IV und VI sind flächentreu und weisen ungleich gespreizte Parallellkreise auf. Die restlichen Entwürfe sind nicht flächentreu, besitzen jedoch überall gleiche Breitenkreisabstände. Die Entwürfe I und II ha- ben gerade Meridiane, die mit Ausnahme des Mittelmeridiansam Äquator gebrochen werden. Bei den Entwürfen 111 und IV ist der 180. Meridian ein Halbkreis, der Mittelmeridian eine Gerade und die übrigen Meridiane sind als Halbellipsen ausgebildet. Bei den Versionen V und VI sind die Meridiane mit Aus- nahme des geraden Mittelmeridians sinusförmige Linien. Bei allen sechs Versionen ist der Mittel-me- ridian halb so lang wie der Äquator. Wie bei allen unechten Zylinderabbildungen sind die Meridiane entlang jedes Breitenkreises gleichabständig angeordnet.

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Abbildung von Robinson mit Mittelmeridian auf 60° geographischer Länge, vermittelnder Entwurf mit relativ geringen Winkel- und Flächenverzerrungen.

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Abildung von Robinson,

zentriert auf den Punkt b₀

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Abbildung von Ganters Nr.1 0

Pseudozylindrischer Entwurf mit minimaler Längenverzerrung. Der Pol wird als Linie abgebildet, und die Parallelkreise sind gleichabständig. Mit einem Mittelmeridian der auf 60° geographischer Länge liegt.

()1 ())

Flächentreue Abbildung von Tobler

Vermittelnde Abbildung mit geometrischem Mittel der Parallenabstän- den aus einer Lambert-Abbildung und einer sinusiodalen Abbildung, zentriert auf den Punkt b0 =

o o

o o.

Flächentreue Abbildung von Tobler

Vermittelnde Abbildung mit gewichtetem geometrischem Mittel der Meridi- ane aus einer Lambert-Abbildung und einer sinusoidalen Abbildung, zen- triert auf Punkt b0 =

oo

59

oo'

Flächentreue unechte Zylinderabbildung (hyperelliptische Projektion) nach Tobler

mit Zentrierung auf den Punkt bo

= o o

= o o

=

=

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61

Polyzylindrische Abbildung von Tobler

Die Parallelkreise sind bei dieser polyzylindrischen Abbildung als Geraden ausgebildet. Oben mit ei- nem Breitenabstand von y = <p2 ; unten, mit einem von y = -J<p. Diese polyzylindrischen Abbildungen weisen grosse Verzerrungen auf und finden deshalb in der Praxis kaum eine Anwendung.

Abbildung von Tobler

Eine flächentreue unechte Mercator-Abbildung entstanden aus einer Modifikation der Meridianabstände.

()) 1\.)

Abbildung von Ortelius

Eine modifizierte unechte Zylinderabbildung, die weder flächen- noch winkeltreu ist. Der Mittelmeridian ist eine Gerade, die übrigen Meridiane sind Kreis- bogenstücke. Meridiane, die 90° und 180° vom Mittelmeridian entfernt sind, sind Halbkreise. Die Parallelkreise sind Geraden, die entlang des Mittelmeridi-

ans äquidistant verlaufen. Linker Entwurf zentriert auf den Punkt mit b₀

= o o

=

=

=

Asymmetrische flächentreue unechte Zylinderabbildung von Hatano

Der Mittelmeridian ist eine Gerade, die 0.48 mal so lang wie der Äquator ist. Die übrigen Meridiane sind gleichabständige elliptische Kurven, welche kon- kav zum Mittelmeridian verlaufen. Die Parallelkreise sind Geraden, die senkrecht zum Mittelmeridian stehen. Die nördliche Pollinie misst 2/3, die südliche 3/4 des Äquators. Eine Symmetrie gib es bezüglich des Äquators. Das linke Bild ist zentriert auf den Punkt bo

= o o

=

o o

(j)

~

Halbelliptische Abbildung von Denoyer

Eine modifizierte unechte zylindrische Abbildung mit äquidistanten Parallelkreisen, die weder winkel- noch flächentreu ist. Der Mittelmeridian ist halb so lang wie der Äquator und als Gerade ausgebildet. Die übrigen Meridiane sind zum Mittelmeridian konkav verlaufende Kurven. Die Breitenkreise sind Paral- lelen mit konstantem Abstand, welche senkrecht auf dem Mittelmeridian stehen. Die Pollinie beträgt 0.31 mal die Länge des Äquators. Eine Symmetrie ist

bezüglich des Mittelmeridians oder des Äquators vorhanden. (Entwurf mit Mittelmeridian auf -90° geographischer Länge). ^{(J) ()1}

Abbildung P5 von Putnins

Eine modifizierte unechte zylindrische Abbildung mit äquidistanten Parallelen, die weder winkel- noch flächentreu ist. Der Mittelmeridian ist eine Gerade, deren Länge halb so lang wie die Äquatorlänge ist. Die übrigen Meridiane sind gleichabständige Stücke von hyperbolischen Kurven, die konkav zum Mit- telmeridian verlaufen. Die Breitenkreise sind Parallelen mit konstantem Abstand und stehen senkrecht auf dem Mittelmeridian. Längentreue ist auf den beiden Breitenkreisen mit +21 o 14' und -21 o 14' vorhanden. Die Abbildung ist symmetrisch zum Mittelmeridian oder zum Äquator. (Entwurf mit Mittelmeri- dian auf -90° geographischer Länge).

(J) (J)

Eumorphische Abbildung von Boogs

Diese ist flächentreu und gehört zur Klasse der unechten zylindrischen Abbildungen. Diese Abbildung wird aus dem Mittel zwischen einer sinusoidalen Abbildung und einer Mollweide-Abbildung gebildet. Der Mittelmeridian ist eine Gerade, welche halb so lang ist wie der Äquator. Die übrigen Meridiane sind komplexe Kurven mit konstantem Abstand, die konkav zum Mittelmeridian verlaufen und sich in den beiden Polen schneiden. Die Breitenkreise sind Parallelen, welche senkrecht zum Mittelmeridian stehen. Die beiden Parallelen auf +40° 15' und -40° 15' sind verzerrungsfrei. Der Entwurf ist symmetrisch

zum Mittelmeridian oder zum Äquator. (Entwurf mit Mittelmeridian auf -90° Länge). ^CJ) -....)

Parabolische Abbildung von Craster

Eine flächentreue unechte zylindrische Abbildung, deren Mittelmeridian halb so lang wie der Äquator ist. Die übrigen Meridiane sind gleichabständige pa- rabolische Kurvenstücke, die sich in den beiden Polen schneiden und konkav zum Mittelmeridian verlaufen. Die Breitenkreise sind als Parallelen mit un- gleichem Abstand ausgebildet und stehen senkrecht auf dem Mittelmeridian. Die beiden Breitenkreise auf +36° 46' und -36° 44' sind längentreu. Die Abbildung ist symmetrisch zum Mittelmeridian oder zum Äquator. (Entwurf mit Mittelmeridian auf -90° geographischer Länge).

(J) CP

Abbildung von Foucaut (flächentreuer stereographischer Entwurf).

Der Netzentwurf ist zentriert auf den Punkt bo =

o o

Abbildung von Foucaut

Die y-Koordinate ist das gewichtete Mittel aus einer Lambert'schen flächentreuen Zylinderabbildung und einer Sinuseidal-Abbildung.

Die X-Koordinate wird derart bestimmt, dass der Netzentwurf flächen-

treu wird. ^Q) <0

Times-Abbildung,

zentriert auf den Punkt b0 =

o o

-...,J 0

Loximutale Abbildung

Der Brennpunkt liegt auf 50° nördlicher Breite und 1

o o

Abbildung von Collignon (flächentreu)

Die Netzlinien dieses Entwurfes bestehen aus lauter Geraden .

-..J N

Abbildung von Nell

Eine flächentreue unechte Zylinderprojektion, die aus dem Mittel zwischen einem flächentreuen Zylinderentwurf und einem sinusoidalen Entwurf be-

steht. Die Pole sind Linien, die 0.724 mal der Länge des Äquators entsprechen. ^-....j UJ

Abbildung IV von Wagner

Ein flächentreuer unechter Zylinderentwurf mit einer Geraden als Mittelmeridian, die halb so lang wie der Äquator ist Die übrigen Meridiane sind gleichab- ständige Teile von Ellipsen, die sich jenseits der Pole schneiden und konkav zum Mittelmeridian verlaufen. Die Breitenkreise sind ungleich gespreizte parallele Linien mit grösstem Abstand in der Nähe des Äquators. Die Pollinien sind halb so lang wie der Äquator. Es besteht eine Symmetrie zum Mittel- meridian und zum Äquator. Die Abbildung ist auf den Punkt b₀

=

= o o

~

Abbildung VII von Wagner

Ein flächentreuer azimutaler Netzentwurf, mit einer Geraden als Mittelmeridian, die halb so lang wie der Äquator ist. Die übrigen Meridiane sind Kurven, die den Äquator in unregelmässigen Abständen schneiden. Ihr Verlauf ist konkav zum Mittelmeridian. Die Breitenkreise, mit Ausnahme des Äquators, sind Kurven, welche den Mittelmeridian in ungleichen Abständen schneiden und konkav zum näheren Pol verlaufen. Es ist eine Symmetrie zum

Mittelmeridian oder zum Äquator vorhanden. Der Netzentwurf ist auf den Punkt b0 = 0°, 10 =-90° zentriert. ^{-...j (J1}

76

Sinuseidale Abbildung (flächentreue unechte Zylinderprojektion)

in normaler Lage ist der Mittelmeridian eine Gerade, die halb so lang ist wie der Äquator; die übrigen Meridiane sind gleichabständige sinusförmige Kurven, die zum Mittelmeridian konkav verlaufen. Die Breitenkreise sind gleichabständige parallele Geraden, welche senkrecht zum Mittelmeridian stehen. Es existiert eine Symmetrie bezüglich des Mittelmeridians oder des Äquators. Von links nach rechts und von oben nach unten zeigen die einzelnen Abbildungen

-einen normalen Aspekt mit ct> = 90° A =

o o

o o

-einen einfachen schiefen Aspekt mit C!> = 45° A

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- einen ersten transversalen Aspekt mit C!> =

o o

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= o o

-einen transversalen schiefen Aspekt mit C!> =

o o

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-einen zweiten transversalen Aspekt mit C!> =

o o

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-einen verdrehten schiefen Aspekt mit ct> = 90° A

= o o

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Zerlapptes (aufgeschnittenes) Netz nach der Abbildung Nr. V von Eckert

Wahl von mehreren, günstig liegenden Mittelmeridianen zwecks Verringerung der Verzerrungen. Ermöglicht eine zusammenhängende Darstellung der

Kontinente mit geringen Verzerrungen, wenn die Schnittlinien in die Weltmeere zu liegen kommen. ^-....j -....j

78

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Abbildung von Goode

Eine zusammengesetzte unechte flächentreue Zylinderprojektion. Die zerlappte Version hat 6 Mittelmeridiane, die als Geraden ausgebildet sind. Ihre Länge beträgt 0.22 mal derjenigen des Äquators. Die übrigen Meridiane sind zwischen den Breiten +40° 40' und -40° 40' gleichabständige sinusförmige Kurven und elliptische Kurven im übrigen Bereich. Die Parallelkreise sind gleichabständige Geraden zwischen den Breiten +40° 40' und -40° 40', im übrigen Gebiet liegen diese näher beieinander. Im zerlappten Entwurf gibt es keine Symmetrie, jedoch ist dieser Entwurf im unzerlappten Fall symme-

trisch bezüglich des Mittelmeridians oder des Äquators. <.0 ^-.._J

Abbildung S3 von Mc Bryde

Eine flächentreue unechte und zusammengesetzte Zylinder-Abbildung. Die Mittelmeridiane sind Geraden, die übrigen Meridiane gleichabständige Si- nuslinien, die auf 55° 51' nördlicher und südlicher Breite leicht gebrochen werden und zudem alle konkav zum örtlichen Mittelmeridian verlaufen. Die Brei- tenkreise sind parallele Geraden, die senkrecht auf dem Mittelmeridian stehen und zwischen 55° 51' nördlicher- und südlicher Breite gleichabständig ver- laufen, jenseits dieser Breitengraden jedoch näher beieinander liegen. Die Pollinien sind unterbrochene Linien, deren Länge im Total 0.31 mal die Äqua- torlänge beträgt.

CP 0

81

Abbildung von Schjerning

Eine unechte flächentreue Zylinderabbildung, welche identisch ist mit dem Entwurf von Werner. Der Mittelmeridian ist eine Gerade, die übrigen Meridiane sind komplexe Kurven. Die Parallelen sind kon- zentrisch verlaufende Kreisbögen mit dem jeweiligen Pol als Zentrum. Der Entwurf ist verzerrrungsfrei entlang des Mittelmeridians. Die Figur zeigt einen auf den Südpol zentrierten und in drei Teilbereiche zerlappten Entwurf der totalen Erdkugel. Die Mittelmeridiane der drei Bereiche liegen auf der geogra- phischen Längen von 80°, -35° und -140°.

82

Azimutale Abbildungen in polarer Lage

Flächentreue Azimutalabbildung zentriert auf den Nordpol.

83

Flächentreue Azimutalabbildung zentriert auf den Südpol.

Abbildung von Gnomon in polarer Lage

Eine azimutale Abbildung in polare Lage mit gleich abständigen Geraden als Meridiane, die sich im Pol schneiden. Die Winkel zwischen den Meridianen sind unverzerrt. Die Breitenkreise sind Kreise, deren Zentren im Pol liegen. Der Äquator und die gegenüberliegende Hemisphäre können nicht gezeigt werden. Die beiden Netzentwürfe weisen je einen Abbildungsbereich von 75° auf.

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~

Abbildung von Breusing

Eine vermittelnde Abbildung berechnet aus dem geometrischen Mittel zwischen einer stereographischen Projektion und einer flächentreuen Lambert'- schen Azimutalprojektion mit minimalen Verzerrungen innerhalb eines spezitierbaren Bereiches. Die linke Abbildung ist zentriert auf den Südpol, die

rechte auf den Nordpol. ^{(X) (]1}

Azimutale Abbildungen in transversaler Lage

Abbildung von Gnomon in transversaler Lage

Eine azimutale Abbildung in transversaler Lage mit Meridianen, die als Geraden ausgebildet sind und zueinander parallel verlaufen. Der Äquator ist eine Gerade, die senkrecht zu den Meridianen verläuft. Die übrigen Breitenkreise sind als hyperbolische Kurven ausgebildet, die konkav zum näheren Pol sind. Eine Symmetrie ist zum Mittelmeridian und zum Äquator vorhanden. Die linke Figur ist auf den Punkt bo

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=

CO (J)

Azimutale Abbildungen in schiefer Lage

Orthographische Abbildung (Parallelprojektion)

mit einer Zentrierung auf Punkt b₀ = 45° und 10 = 10°. Bei dieser Abbildung liegt der Betrachtungspunkt im Unendlichen.

Es kann nur die Hälfte der Erde dargestellt werden. ⁽⁾⁾ -....j

88

Orthographische Abbildungen (Parallelprojektionen) in schiefer Lage

Von links nach rechts und von oben nach unten sind die einzelnen Abbildungen zentriert auf die Städte: Anchorage, Oslo, Moskau, Quito, Bern, Peking, Buenos Aires, Kapstadt und Christchurch.

Bei orthographischen Netzentwürfen in schiefer Lage ist der Mittelmeridian eine gerade Linie, die üb- rigen Meridiane sind Halbellipsen, die sich in den beiden Polen schneiden. Die Breitenkreise sind El- lipsen oder Teilellipsen, alle mit derselben Exzentrizität. Ihre kleine Halbachse verläuft entlang des Mit- telmeridians. Diese Netzentwürfe sind symmetrisch zum Mittelmeridian. Dieser kann auch gegenüber der Vertikalen (einem Grosskreis) verdreht sein.

89

Flächentreue Azimutalabbildung

mit einer Zentrierung auf Punkt bo = 45° und 10 = 10°.

90

Flächentreue Azimutalabbildung

miit einer Zentrierung auf Punkt bo = -30° und 1₀ = -60°.

Abstandstreue Azimutalabbildung

Zentriert auf Peking mit b₀ = 40° und 10 = 116°. Alle von Peking aus gemessenen Distanzen sind längentreu. ⁽⁰ _..

Abbildung von Airy

Eine azimutale Abbildung mit minimalen Verzerrungen innerhalb eines spezifizierbaren Gebietes, die weder winke!- noch flächentreu ist. Im polaren Aspekt sind die Meridiane Geraden und die Parallelkreise konzentrische Kreise mit dem Mittelpunkt im entsprechenden Pol. Im transversalen Aspekt ist der Mittelmeridian eine Gerade, die 90°- Meridiane sind Kreise, die übrigen Meridiane komplexe Kurven. Die Parallelkreise sind mit Ausnahme des Äquators komplexe Kurven, die konkav zum näheren Pol verlaufen. Im schiefen Aspekt sind mit Ausnahme des Äquators die Netzlinien komplexe Kurven. Die einzelnen Figuren sind zentriert auf die Punkte: links b₀

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=

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