Verschiedene Aspekte von
Modulformen in mehreren Variablen
Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften der RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften
genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Adrian Hauffe-Waschbüsch, M. Sc.
aus Aachen
Berichter:
Universitätsprofessor Dr. rer. nat. Aloys Krieg Universitätsprofessor Dr. rer. nat. Bernhard Heim
Tag der mündlichen Prüfung: 14.07.2021
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Universitätsbibliothek verfügbar.
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung 3
I . Wachstum von Fourierkoeffizienten und Spitzenformen 7
I. Spitzenformen über H2(C) 9
1. Die symplektische Gruppe über C . . . 9
2. Die Hermitesche Modulgruppe . . . 13
3. Hermitesche Modulformen . . . 19
4. Hinreichende Wachstumsbedingung für Hermitesche Spitzenformen . . . 32
II. Orthogonale Spitzenformen 41 1. Die orthogonale Gruppe . . . 41
2. Die ganzzahlige orthogonale Gruppe . . . 51
3. Orthogonale Modulformen . . . 61
4. Hinreichende Bedingung für Orthogonale Spitzenformen . . . 83
II . Ausnahmeisomorphismus zwischen Sp (2 , H) und SO
0(2 , 6) 99
III. Übersicht über die Eigenschaften der Hamiltonischen Quaternionen 101 1. Definition der Hamiltonischen Quaternionen . . . 1012. Alternative Darstellung von H . . . 104
3. Die symplektische Gruppe über H . . . 107
4. Die modulare symplektische Gruppe . . . 116
IV. Isomorphismus zwischen der symplektischen Gruppe über H und der orthogonalen Gruppe 123 1. Isomorphismus zwischen den kontinuierlichen Gruppen . . . 123
2. Explizite Darstellung von ψ . . . 128
3. Betrachtung der Modulgruppe . . . 154
4. Alternative Bestimmung des Bildes für die Modulgruppe . . . 176
III . Analyse von Hermiteschen Maaß-Formen 197
V. Fourierkoeffizienten Hermitescher Eisensteinreihen 199
1. Maaß-Bedingung für Eisensteinreihen . . . 199
2. Ist (G(2)4 )2 =G(2)8 ? . . . 203
3. Spitzenformen aus Eisensteinreihen . . . 208
4. Einschränkung auf den Siegelschen Halbraum . . . 210
VI. Hermitesche Maaß-Formen ungeraden Gewichts 223 1. Der Hermitesche Maaß-Lift . . . 223
2. Maaß-Formen ungeraden Gewichts zu ∆d=−24 . . . 229
3. Beispiele weiterer Isometrien . . . 236
4. Allgemeine Konstruktion solcher Isometrien . . . 240
5. Mögliche Abhängigkeiten zwischen den Lifts . . . 263
6. Wirkung der maximal-diskreten Erweiterung auf den Maaß-Lift . . . 282
IV . Anhang 295
A. Maple-Implementation des Isomorphismus 297
B. Sage-Implementation der Fourierkoeffizienten Hermitescher Eisenstein-
reihen 315
Literatur 321
Symbolverzeichnis 325
Zusammenfassung
In dieser Arbeit werden verschiedene Aspekte von Modulformen in mehreren Veränderlichen, insbesondere orthogonale und Hermitesche Modulformen, beleuchtet. Dies geschieht in drei Teilen, die relativ unabhängige Aussagen betrachten. Im einfachsten Fall stimmen diese Modul- formen mit den klassischen elliptischen Modulformen überein, interessanter sind allerdings die höherdimensionalen Fälle, in denen die Hermitesche Modulgruppe als Analogon der Siegelschen Modulgruppe für imaginärquadratische Zahlkörper anstelle der rationalen Zahlen gesehen werden kann. Die Hermitesche Modulgruppe von Grad 2 ist dann über einen Isomorphismus zu der orthogonalen GruppeSO0(2,4), der in [Wer19] explizit bestimmt wurde, miteinander verbunden, wodurch zumindest in gewissen Fällen eine Übereinstimmung der Eigenschaften erwartbar ist. Für die Hermiteschen Modulgruppen höheren Grades gibt es eine solche direkte Entsprechung nicht und auch für die orthogonale Gruppen lassen sich nur in spezielle Fälle derartige Ausnahmeisomorphismen finden. Allerdings helfen diese Isomorphismen dabei eine Idee zu erhalten, wie sich analoge Aussagen in den verschiedenen Welten finden lassen.
Diese Möglichkeit der der Übersetzung wird im ersten Teil der Arbeit angewendet, wobei, nach einer Einführung der nötigen Grundbegriffe, zunächst die Aussage von Böcherer und Kohnen [BK16] über das Wachstum der Fourierkoeffizienten von Spitzenformen und nicht- Spitzenformen von den Siegelschen Modulformen auf Hermitesche Modulformen übertragen wird und dann in der zweiten Hälfte eine analoge Aussage für orthogonale Modulformen gezeigt wird.
Im zweiten Teil der Arbeit wird der Ausnahmeisomorphismus zwischen der symplektischen Gruppe bezüglich der Hamiltonischen Quaternionen und der orthogonalen Gruppe SO0(2,6) betrachtet. Als Ganzheitsring werden hier nur die Hurwitz-Quaternionen genauer betrachtet, das Vorgehen lässt sich aber analog auch auf andere euklidischen Ordnungen übertragen werden. Passend zu diesem Ganzheitsring wird auf orthogonaler Seite dann ein spezielles Gitter betrachtet. Ein relevanter Unterschied zu dem Ausnahmeisomorphismus von der Hermiteschen Modulgruppe in [Wer19] ist, dass die Quaternionen nicht kommutativ sind und daher es keine einfache explizite Darstellung des Bild eines beliebigen Elements mehr möglich ist. In speziellen Fällen, wie in [HK21], ist das Bild noch relativ kompakt darstellbar. Wenn man aber nicht davon ausgehen kann, dass gewisse Blockmatrizen invertierbar sind, wird die Bestimmung des
Bildes komplexer. Die Bestimmung des Bildes wurde auch in Maple1 implementiert. Auch bei der Betrachtung des Bildes der Modulgruppe ergeben sich Unterschiede, dieses ist eine Grup- pe, welche echt zwischen der orthogonalen Modulgruppe und dem Diskriminantenkern liegt.
Aufbauend auf diesen Isomorphismus können auch die Bilder Kongruenzgruppen berechnet werden, dies wurde im Paper [HK21] betrachtet.
Der dritte und letzte Teil befasst sich mit Hermiteschen Maaß-Formen von Grad 2. In der ersten Hälfte des Abschnitts konnte mit einem im Rahmen dieser Promotion entstandenen Papers [HK20] gezeigt werden, dass die Hermiteschen Eisensteinreihen, genauso wie die Siegelschen Eisensteinreihen, Maaß-Formen sind, also die Fourierkoeffizienten über ein Bildungsgesetz berechnet werden können. Dies war bisher nur in den Fällen, bei denen der Ganzheitsring Klassenzahl 1 hat. Mit dieser Erkenntnis, kann nun für alle negativen Diskriminanten untersucht werden, ob die Hermiteschen Eisensteinreihen geringen Gewichts algebraisch unabhängig sind, wie es für die Siegelschen Eisensteinreihen von Igusa [Igu64] und von Dern und Krieg [DK03]
für die Ganzheitsringe zu Diskriminanten −3 und−4 durchgeführt wurden. Dabei mussten für Randfälle Teile von Fourierentwicklungen explizit mit Sage berechnet werden.
In der zweiten Hälfte dieses Abschnitts werden noch Hermitesche Maaß-Formen ungeraden Gewichts untersucht. Dabei wird der Maaß-Lift von Dern [Der01], welcher vektorwertige Modulformen zu Hermitesche Maaß-Formen liftet. Unter Ausnutzung einer Isometrie, die für gewisse Diskriminanten existiert, können dann Maaß-Formen ungeraden Gewichts zu dem nicht-trivialen Charakter konstruiert werden und in speziellen Fällen auch gezeigt werden, dass die Maaß-Form von Gewicht 5 algebraisch unabhängig von Eisensteinreihen geringen Gewichts ist, ähnlich der Siegelschen Maaß-Form von Gewicht 5 aus [Igu64].
Danksagung
Diese Arbeit ist am Lehrstuhl A für Mathematik an der RWTH Aachen entstanden. Ich möchte mich besonders bei meine Doktorvater Prof. Dr. Aloys Krieg bedanken für die Förderung meiner Forschung und Anregungen neue Bereiche zu erkunden, woraus dann auch zwei gemeinsame Veröffentlichungen erwachsen konnten.
Auch möchte ich Prof. Dr. Bernhard Heim danken, der als Zweitbetreuer mit wichtigen Hinweise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat.
Ein Dank gebührt auch Prof. Dr. Gabriele Nebe stellvertretend für das Graduiertenkolleg „Ex-
1Maple ist eine eingetragene Marke von Waterloo Maple Inc.
Zusammenfassung
perimentelle und konstruktive Algebra“, worüber zahlreiche fruchtbare Reisen zu Konferenzen finanziell ermöglicht wurde.
Weiter möchte ich mich bei meine Kollegen beim Lehrstuhl A für Mathematik bedanken, die mit einem offenen Ohr und fachlichen Diskussionen immer wieder weiter helfen konnten und für eine gute Arbeitsatmosphäre gesorgt haben. Insbesondere möchte ich Cornelia Dieckmann für die Unterstützung bei der Implementation des Codes zur Berechnung der Fourierkoeffizienten der Hermiteschen Eisensteinreihen und Stefan Bleß, Cornelia Dieckmann, Kathrin Maurischat, Felix Schaps und Brandon Williams für das Korrekturlesen danken.
Zum Schluss geht noch ein Dank an meine Freundin Marie Franzen für ihren fortwährenden Beistand während der Promotion.
Teil I .
Wachstum von Fourierkoeffizienten und
Spitzenformen
I. Spitzenformen über H 2 ( C )
Ziel dieses Kapitels ist es, die Aussage von Böcherer und Kohnen [BK16] über die Fourier- koeffizienten von Spitzenformen von dem Fall der Siegelschen Modulformen auf Hermitesche Modulformen und dann im nächsten Kapitel auf orthogonale Modulformen zu übertragen.
Bezeichne für eine Matrix A mitA> die transponierte Matrix und mit A die (komponentenwei- se) komplex konjugierte Matrix. Bezeichne weiter mit N,N0,Z,Q,R,C die natürlichen Zahlen, die natürlichen Zahlen inklusive der 0, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen.
§1 Die symplektische Gruppe über C
Dieser Abschnitt enthält im Wesentlichen grundlegende Eigenschaften der symplektischen Gruppe über den komplexen ZahlenC und ihrer Operation auf dem oberen Halbraum Hn(C), wie ich sie in meiner Masterarbeit [Hau17] zusammengetragen habe.
(1.1) Lemma ([Hau17], Lemma II 1.2) Sei A∈GL(n,R). Dann ist die Menge
G(A) := {M ∈Mat(n,C);A[M] :=M>AM =A}
eine Gruppe und für M ∈G(A) gilt M−1 =A−1M>A.
(1.2) Definition
Die symplektische Gruppe vom Grad n über den komplexen Zahlen ist definiert durch Sp(n,C) :={M ∈Mat(2n,C);J[M] =J}, J := 0 E(n)
−E(n) 0
!
.
Im gruppentheoretischen Sinne ist Sp(n,C) eine unitäre und keine symplektische Gruppe. Um die nahe Verwandtschaft zu der aus der Betrachtung von Siegelschen Modulformen bekannten Gruppe Sp(n,R) zu verdeutlichen, wird hier trotzdem von einer symplektischen Gruppe geredet.
Hel Braun als Begründerin der Theorie der Hermiteschen Modulformen hat diese Matrizen
hermitesch-symplektisch (siehe zum Beispiel [Bra55]) genannt.
Da J invertierbar ist, ist Sp(n,C) eine Gruppe gemäß Lemma 1.1.
(1.3) Definition Bezeichne mit
Her(n,C) :={M ∈Mat(n,C);M> =M} die Hermiteschen Matrizen über C.
(1.4) Lemma ([Hau17], Lemma II 2.3) Für M = A B
C D
!
, A, B, C, D∈Mat(n,C) sind äquivalent:
a) M ∈Sp(n,C). b) M> ∈Sp(n,C).
c) A>C und B>D sind hermitesch und A>D−C>B =E.
d) AB> und CD> sind hermitesch und AD>−BC>=E.
Die in c) und d) genannten Beziehungen werden Grundgleichungen der symplektischen Gruppe genannt.
(1.5) Satz ([Hau17], Satz II 2.4) Sp(n,C) wird von
J = 0 E(n)
−E(n) 0
!
, RU :=
U> 0 0 U−1
, U ∈GL(n,C), MS := E(n) S 0 E(n)
!
, S ∈Her(n,C) erzeugt.
(1.6) Definition
Eine Matrix A ∈ Her(n,C) heißt genau dann positiv definit bzw. positiv semidefinit, wenn A[v]>0 bzw. A[v]≥0 für allev ∈Cn\{0}gilt.
Diese Erzeugertypen werden auch bei verwandten Gruppen auftauchen.
(1.7) Definition
Seien A, B ∈Her(n,C). Schreibe A > B bzw. A≥B, wenn A−B positiv definit bzw. positiv semidefinit ist.
1. Die symplektische Gruppe überC
(1.8) Definition
Der Hermitesche Halbraum von Grad n ist gegeben durch
Hn(C) :={Z =X+iY ∈Mat(n,C);X, Y ∈Her(n,C), Y positiv definit}.
(1.9) Lemma ([Hau17], Lemma II 2.7) Für M = A B
C D
!
∈Sp(n,C) und Z =X+iY ∈ Hn(C) sei P := AZ+B, Q:=M{Z}:= CZ+D.
Dann gilt:
a) 2i1(Q>P −P>Q) = 2i1(Z−Z>) = Y >0 b) P, Q∈GL(n,C).
Mit diesen Eigenschaften kann gezeigt werden, dass Sp(n,C) aufHn(C) operiert.
(1.10) Lemma ([Hau17], Lemma II 2.8) Die Abbildung
Sp(n,C)× Hn(C)→ Hn(C),(M, Z)7→MhZi:=(AZ +B)M{Z}−1, M{Z}:=CZ+D M = A B
C D
!
ist wohldefiniert.
(1.11) Lemma ([Hau17], Lemma II 2.9)
Für M, M1 ∈Sp(n,C), Z ∈ Hn(C) gilt (M M1){Z}=M{M1hZi}(M1{Z}). Diese Eigenschaft wird Kozykelrelation genannt.
(1.12) Satz ([Hau17], Satz II 2.10)
Sp(n,C) operiert auf Hn(C) vermöge Mh·i.
Der Kern dieser Operation beschränkt sich auf die trivialen Möglichkeiten.
(1.13) Lemma ([Hau17], Lemma 2.11)
Seien M, M1 ∈Sp(n,C). Es giltMhZi= M1hZi für alle Z ∈ Hn genau dann, wenn αM =M1 für ein α∈C, |α|= 1.
Anhand der folgenden Einbettung kann man unter anderem sehen, dass das Bild des später Eingeführten φ−Operators wieder eine Modulform ist.
(1.14) Definition
Für n1, n2 ∈N,Mj = Aj Bj Cj Dj
!
∈Sp(nj,C) ist die Einbettung von symplektischen Gruppen definiert durch
M1×M2 :=
A1 0 B1 0 0 A2 0 B2 C1 0 D1 0
0 C2 0 D2
.
(1.15) Lemma
Für n1, n2 ∈N, Mj, Nj ∈Sp(nj,C) gilt a) M1×M2 ∈Sp(n1+n2,C),
b) (M1×M2)(N1×N2) = (M1N1)×(M2N2). Beweis.
Rechne diese beiden Behauptungen nach, seien dazuMj = Aj Bj Cj Dj
!
, Nj = A0j Bj0 Cj0 D0j
!
. a) Berechne
J[M1×M2] =
A>1 0 C>1 0 0 A>2 0 C>2 B>1 0 D>1 0
0 B>2 0 D>2
0 0 E 0
0 0 0 E
−E 0 0 0 0 −E 0 0
A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
C1 0 D1 0 0 C2 0 D2
=
A>1 0 C>1 0 0 A>2 0 C>2 B>1 0 D>1 0
0 B>2 0 D>2
C1 0 D1 0
0 C2 0 D2
−A1 0 −B1 0 0 −A2 0 −B2
=
A>1C1−C>1A1 0 A>1D1−C>1B1
0 A>2C2−C>2A2 0 A>2D2−C>2B2 0 B>1C1−D>1A1 0 B>1D1−D>1B1
0 B>2C2−D>2A2 0 B>2D2−D>2B2 0
1.4=
0 0 E 0
0 0 0 E
−E 0 0 0 0 −E 0 0
=J ,
also giltM1×M2 ∈Sp(n1+n2,C).
2. Die Hermitesche Modulgruppe
b) Es ist
(M1×M2)(N1×N2) =
A1 0 B1 0 0 A2 0 B2 C1 0 D1 0
0 C2 0 D2
A01 0 B10 0 0 A02 0 B02 C10 0 D01 0
0 C20 0 D20
=
A1A01+B1C10 0 A1B10 +B1D01 0 0 A2A02+B2C20 0 A2B20 +B2D20 C1A01+D1C10 0 C1B10 +D1D10 0
0 C2A02+D2C20 0 C2B20 +D2D02
= A1A01+B1C10 A1B10 +B1D10 C1A01+D1C10 C1B10 +D1D10
!
× A2A02+B2C20 A2B20 +B2D02 C2A02+D2C20 C2B20 +D2D20
!
=
A1 B1
C1 D1
! A01 B10 C10 D10
!!
×
A2 B2
C2 D2
! A02 B20 C20 D20
!!
=(M1N1)×(M2N2).
§2 Die Hermitesche Modulgruppe
Viele Aussagen, die für Siegelsche Modulformen bekannt sind, gelten auch für Hermitesche Modulformen. Allerdings müssen einige Beweise angepasst werden, da der Ganzheitsring nicht mehr zwangsläufig euklidisch ist und zum Teil weitere Einheiten auftauchen.
(2.1) Definition
Seid ∈Neine quadratfreie positive ganze Zahl. Die imaginärquadratischen Zahlkörper sind definiert als
Q(√
−d) = {x+y√
−d∈C;x, y ∈Q}.
Ihre Ganzheitsringe sind od:=
Z
√−d , falls d≡1 oder 2 (mod 4), Z
h1+√
−d 2
i , falls d≡3 (mod 4).
Ein Betrag auf den imaginärquadratischen Zahlkörpern ist durch den Betrag als komplexe Zahl gegeben, x+y√
−d2 =x2+dy2 ∈Q.
(2.2) Definition
Sei d∈Nquadratfrei, definiere die Diskriminante von od als
∆d:=
( −4d , d≡1,2 (mod 4)
−d , d≡3 (mod 4).
(2.3) Korollar
Die Einheitengruppe der Ganzheitsringe sind
o∗d=
{±1,±i} , d= 1,
n±1,1±i
√3 2 ,−1±i
√3 2
o , d= 3,
{±1} ,sonst.
Beweis.
Die Einheitengruppe sind alle Elemente mit Betrag 1, für d >1 ist
√−d2 =d >1 und für d≡3 (mod 4),d6= 3 ist
1+√
−d 2
2 = 1+d4 >1, daher kann es keine weiteren Einheiten geben.
Die symplektische Gruppe kann nun auf diese Ringe eingeschränkt werden.
(2.4) Definition
Definiere die symplektische Gruppe über Q(√
−d) und die Hermitesche Modulgruppe über od
als
Sp(n,Q(√
−d)) :={M ∈Mat(2n,Q(√
−d));J[M] :=M>J M =J}, Sp(n,od) := Sp(n,Q(√
−d))∩Mat(2n,od) und für N ∈N die Normalteiler
GL(n,od)[N] :={U ∈GL(n,od);U ≡εE(n) (mod N), ε∈od∗} SL(n,od)[N] := GL(n,od)[N]∩SL(n,od)
und
Sp(n,od)[N] :={M ∈Sp(n,od);M ≡εE(2n) (mod N), ε∈od∗}.
Dies sind die Hauptkongruenzgruppen.
(2.5) Satz ([Bra51], Theorem I)
Für M ∈Sp(n,od) gilt detM =ε2 für ein ε∈o∗d. Konkret bedeutet das:
2. Die Hermitesche Modulgruppe
(2.6) Korollar
Für M ∈Sp(n,od) gilt
detM ∈
{±1}, d= 1, {1,−1±
√−3
2 }, d= 3, {1}, sonst.
Dies kann man auch anhand der Erzeuger der Modulgruppe sehen.
(2.7) Satz ([Kli56], Satz 3)
Die Hermitesche Modulgruppe Sp(n,od) wird erzeugt von RU, MS, MS>, E(2n−2)× 0 1
−1 0
!
mitU ∈GL(n,od), S∈Her(n,od).
Betrachte nun die Kongruenzgruppen genauer.
(2.8) Lemma
Sei N 6= 2 oder d6= 1 odern 6≡2 (mod 4), dann ist
SL(n,od)[N] ={U ∈SL(n,od);U ≡εE (mod N), ε∈o∗d, εn= 1}.
Beweis.
Im Fall N = 1 ist die Aussage trivial, da M ≡E(n) (mod 1) für alle M ∈Mat(n,od).
Für N >2 gilt 1 = detM ≡detεE(n)= εn (mod N). 1≡εn (mod N) ist ein Widerspruch zu N >2, fallsεn6= 1, da dann 0<|1−εn|2 ≤(1 + 1)2 = 4, aber alle Elemente vonNod außer dem Nullelement mindestens Betragsquadrat N2 >4 haben.
Sei nun N = 2. Falls d weder 1 noch 3 ist, sind ±1 die einzigen Einheiten in od. Falls M ∈SL(n,od) existiert mit M ≡ −E(n) (mod 2), so ist auchM ≡E(n) (mod 2), da 1≡ −1 (mod 2).
Sei nun N = 2 und d = 3, undM ∈SL(n,o3) mit M ≡ εE(n) (mod 2) und εn 6= 1. Wie im FallN >2 erhält man 1≡εn (mod 2). Durch Rechnung mit den möglichen Einheiten erhält man daraus, dass εn=−1 sein muss, dies tritt nur auf, wenn n ungerade ist. Dann ist aber (−ε)n= 1 und da −ε≡ε (mod 2), folgt M ≡ −εE(n) (mod 2).
Im FallN = 2, d= 1, n≡0 (mod 4) ist die Bedingung εn = 1 trivial erfüllt. FallsN = 2, d= 1, n ungerade, so folgt falls ε = ±i, dass 1 = detU ≡ εn ≡ ±i (mod 2), dies ist aber falsch, also muss ε=±1 sein und es kann wie in den anderen Fällen fortgefahren werden.
Diese zusätzliche Einschränkung an die Einheiten wird nützlich sein, um die Produkte von Kongruenzgruppen zu untersuchen.
(2.9) Bemerkung
Die Einschränkung d6= 1 ist nötig fürN = 2, da zum Beispiel i 0
0 −i
!
∈SL(2,o1) mit i 0 0 −i
!
≡iE(2) (mod 2).
Eine eher untergeordnete Rolle werden allgemeine Kongruenzgruppen spielen, da wir uns immer auf die Hauptkongruenzgruppen zurückziehen werden.
(2.10) Definition
Eine Gruppe C heißt Kongruenzgruppe zur Stufe N ∈N, wenn Sp(n,od)[N]⊂ C ⊂Sp(n,od). Nenne ν einen (endlichen) Charakter von C, wenn
ν :C → {w∈C;|w|= 1} ein Homomorphismus ist und ein m∈N existiert mit νm ≡1.
(2.11) Lemma
Jede Kongruenzgruppe ist eine Untergruppe von Sp(n,od) von endlichem Index.
Beweis.
Zeige dazu, dass Sp(n,od)[N] endlichen Index hat.
Dies folgt daraus, dass für Mat(2n,od)/NMat(2n,od) nurN2(2n)2 verschiedene Elemente besitzt, also besteht auch Sp(n,od)/Sp(n,od)[N] aus maximalN2(2n)2 Elementen.
Da Sp(n,od)[N] für ein gewisses N eine Untergruppe einer Kongruenzgruppe ist, muss der Index der Kongruenzgruppe in Sp(n,od) den Index von Sp(n,od)[N] in Sp(n,od) teilen, ist also
endlich.
Alle in dieser Arbeit vorkommenden Aussagen beziehen sich aber nur auf Kongruenzgruppen, auch wenn andere Untergruppen endlichen Index existieren können.
Oft werden wir auch nicht-ganzzahlige Matrizen benutzen, dafür wird folgende Definition nützlich werden.
(2.12) Definition Sei R∈GL(n,Q(√
−d)), definiereg(R) als das kleinsteg ∈N, sodass gR, gR−1 ∈Mat(n,od).
Dies kann genutzt werden, um wieder eine Kongruenzgruppe zu finden, nachdem mit einer rationalen Matrix konjugiert wurde.
2. Die Hermitesche Modulgruppe
(2.13) Lemma Für R ∈Sp(n,Q(√
−d)) gilt
RSp(n,od)[N g(R)2]⊂Sp(n,od)[N]R und Sp(n,od)[N g(R)2]R ⊂RSp(n,od)[N]. Beweis.
Zeige dazu, dass RSp(n,od)[N g(R)2]R−1 ⊂ Sp(n,od)[N]. Sei M = E(n) + N g(R)2M0 ∈ Sp(n,od)[N g(R)2], dann ist
RM R−1 =RR−1+N g(R)RM0g(R)R−1 =E(n)+N g(R)RM0g(R)R−1.
Dag(R)R, g(R)R−1 ∈Mat(n,od) ist, istg(R)RM0g(R)R−1 ∈Mat(n,od) und damitRM R−1 ∈ Sp(n,od)[N]. Wegen g(R) = g(R−1) folgt auch die zweite Aussage.
Die nächsten Aussagen helfen dabei die Produkte von Kongruenzgruppen zu bestimmen.
(2.14) Lemma ([Bra41], Hilfssatz 8∗)
Seien N ∈ N, ε ∈ o∗d und A ∈ Mat(n,od) mit detA ≡ ε (modN), dann existiert ein U ∈GL(n,od) mitU ≡A (mod N).
(2.15) Lemma
Seien a, b ∈ N und c = ggT(a, b). Falls c 6= 2 oder d 6= 1 oder n 6≡ 2 (mod 4) ist, gilt SL(n,od)[c] = SL(n,od)[a] SL(n,od)[b].
Beweis.
Im Fall c ∈ {a, b} ist die Aussage trivial, da dann die eine Gruppe eine Untergruppe der anderen ist. Sei also nun c <min(a, b).
Gehe analog zu [Shi71], Lemma 3.28 vor. SeiM ∈SL(n,od)[c] mitM ≡εE(n) (mod c). Gemäß Lemma 2.8 kann angenommen werden, dass εn = 1, also kann durch Multiplikation mit ε−1E(n) ∈SL(n,od)[a] angenommen werden, dass ε= 1. Es existiert ein B ∈Mat(n,od) mit B ≡E(n) (mod a) und B ≡ M (mod b). Wende dazu den chinesischen Restsatz an, dies ist möglich, da offensichtlich beide Bedingungen mit M ≡E(n) (mod c) kompatibel sind.
Da detM = 1 ist, muss auch schon detB ≡detM ≡ 1 (modb) sein. Mit dem chinesischen Restsatz erhalten wir nun detB ≡ 1 (modab/c). Gemäß Lemma 2.14 existiert dann ein C ∈ GL(n,od) mit C ≡ B (mod ab/c) und damit detC ≡ 1 (mod ab/c). Da c < a, b, muss ab/c >2 gelten. Analog wie im Beweis von Lemma 2.8 folgt also detC= 1. Per Konstruktion ist dann C−1M ≡ C−1B ≡ C−1C ≡ E(n) (modb) und C ≡ B ≡ E(n) (mod a), also ist C−1M ∈SL(n,od)[b] und C ∈SL(n,od)[a] mit M =C·(C−1M).
Die Inklusion SL(n,od)[c]⊃SL(n,od)[a]·SL(n,od)[b] gilt offensichtlich.
Übertrage ein solche Aussage nun auf die symplektische Gruppe im Fall c= 1.
(2.16) Lemma
Sei d6= 1,3. Seien a, b∈N mit ggT(a, b) = 1, dann ist Sp(n,od) = Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b].
Beweis.
Zeige, dass sich alle Erzeuger von Sp(n,od) in Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b] wiederfinden, die in Satz 2.7 bestimmt wurden.
Sei S ∈ Her(n,od). Da a, b teilerfremd sind, existieren u, v ∈ Z mit au+bv = 1. Nun sind offensichtlichMauS ∈Sp(n,od)[a], MbvS ∈Sp(n,od)[b] und es giltMauSMbvS =M(au+bv)S =MS. Eine analoge Konstruktion kann für M>S durchgeführt werden.
Da 0 1
−1 0
!
∈ SL(2,Z) = Sp(1,Z) ⊂ Sp(1,od) ist, existieren gemäß [Evd76] S.433 ein U ∈Sp(1,Z)[a] und ein V ∈Sp(1,Z)[b] mit U V = 0 1
−1 0
!
. Insbesondere ist dann U ≡E(2) (mod a), V ≡ E(2) (modb), also gilt (E(2n−2)) ×U ∈ Sp(n,od)[a] und (E(2n−2)) × V ∈ Sp(n,od)[b] und es gilt ((E(2n−2))×U)·((E(2n−2))×V) = (E(2n−2))×(U V). Dadurch erhält man, dass E(2n−2)× 0 1
−1 0
!
in Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b] liegt.
Betrachte nun noch RU, U ∈GL(n,od), dann ist detU =±1.
Im Fall detU = 1, ist U ∈ SL(n,od), also existieren gemäß Lemma 2.15 U1 ∈ SL(n,od)[a], U2 ∈SL(n,od)[b] mit U =U1U2. Nun gilt RU =RU1U2 =RU2RU1 ∈Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b].
Betrachte nun den Fall detU =−1. Da E(2n−2)× 0 −1 1 0
!
∈Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b] ist, ist auch E(2n−2) × 0 −1
1 0
!!2
=E(2n−2)× −E(2) =RE(n−1) 0
0 −1
∈Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b]. Da det
E(n−1) 0
0 −1
!
U
!
= 1, ist wie im vorherigen FallRE(n−1) 0
0 −1
U ∈Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b] und damit auch RU.
Über die Betrachtung der Erzeuger folgt Sp(n,od) ⊂ Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b], die Inklusion Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b]⊂Sp(n,od) ist trivial.
In den Fällend= 1 oderd= 3 existieren zusätzliche Einheiten, daher gibt es mehr Möglichkeiten für die Determinante vonU, weswegen die Aussage für nicht für alle n gilt, es gilt aber:
3. Hermitesche Modulformen
(2.17) Korollar
Seien a, b∈N mit ggT(a, b) = 1. Es gilt
Sp(n,o1) = Sp(n,o1)[a] Sp(n,o1)[b]∪RE(n−1) 0
0 i
Sp(n,o1)[a] Sp(n,o1)[b] und
Sp(n,o3) = [
ε∈{1,1+
√−3 2 ,−1+
√−3
2 }
R
E(n−1) 0
0 ε
Sp(n,o3)[a] Sp(n,o3)[b].
Beweis.
Da Sp(n,od)[a] bzw. Sp(n,od)[b] Normalteiler von Sp(n,od) sind, kann R
E(n−1)0
0 ε
mit den Gruppen vertauscht werden. Wie im Beweis von Lemma 2.16 gezeigt, gilt R
E(n−1) 0
0 −1
∈ Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b], also sind diese Vereinigungen Gruppen. Daher reicht es zu zeigen, dass alle Erzeuger von Sp(n,od) in der Vereinigung liegen. Mit dem Beweis von Lemma 2.16 erhält man alle Erzeuger außer RU mit detU = ±i bzw. detU = ±1+
√−3
2 ,±−1+
√−3
2 . Durch Multiplikation mitR
E(n−1) 0
0 ε
mitε= ibzw.ε = ±1+2√−3 erhält man einRU0 mit detU0 =±1.
Dieses RU0 liegt in Sp(n,od)[a] Sp(n,od)[b], wie im Beweis von Lemma 2.16 gesehen.
§3 Hermitesche Modulformen
Nun haben wir die nötigen Voraussetzungen, um Hermitesche Modulformen zu definieren.
(3.1) Definition
Definiere fürk ∈Z den |k Operator für Funktionenf :Hn(C)→C und M ∈Sp(n,C) durch f|kM(Z) := det(M{Z})−kf(MhZi).
(3.2) Definition
Eine holomorphe Funktion f : Hn(C) → C ist eine Modulform von Gewicht k auf Hn(C) bezüglich einer Kongruenzgruppe C und dem Charakter ν, wenn f|kM = ν(M)f für alle M ∈ C.
Fordere im Falln = 1 zusätzlich, dass f|kR beschränkt ist auf {z ∈C; Im(z)≥ρ}, ρ >0 für alle R∈Sp(1,Q(√
−d)). Bezeichne mit M(C, k, ν) die Menge der Modulformen bezüglich C und ν.
Im Fall n = 1 sind dies im Wesentlichen die elliptischen Modulformen. Für n >1 liefert der Koecher-Effekt, dass eine entsprechende Beschränkheitsbedingung schon durch die Invarianz
unter dem Operator|k erfüllt ist. Als Spezialfall erhalten wir die Modulformen bezüglich der vollen Modulgruppe, wenn triviale der Charakter gewählt wird.
(3.3) Definition
Definiere die Menge der halbganzen Hermiteschen Matrizen Herτ(n,od):={M = (mij)∈Her(n,Q(√
−d));mii ∈Z,
q∆dmij ∈od für alle 1≤i6=j ≤n}.
Die Invarianz unter |kMS liefert die Existenz einer Fourierentwicklung, wobei T ≥0 durch den Koecher-Effekt bzw. die Beschränktheit impliziert wird.
(3.4) Satz ([Bra55], Satz 1)
Sei f ∈ M(C, k, ν), sodass ν(M) = 1für alle M ∈Sp(n,od)[N]undR∈Sp(n,Q(√
−d)), dann existiert eine Fourierentwicklung
f|kR(Z) = X
T∈Herτ(n,od),T≥0
α(T, R) exp(2πiSpur(T Z)/Q),
mit Q =N g(R)2. Die Fourierentwicklung konvergiert absolut gleichmäßig auf jedem Gebiet {Z ∈ Hn(C);Im Z ≥αE}, wobei α >0. Die Koeffizienten erfüllen α(T[U], R) =α(T, R) für U ∈GL(n,od)[Q].
Diese Fourierkoeffizienten können auch über ein Integral bestimmt werden.
(3.5) Lemma ([Bra55], S.140)
Für die Fourierentwicklung f|kR(Z) =PT∈Herτ(n,od),T≥0α(T, R) exp(2πiSpur(T Z)/Q) gilt α(T, R) =Q−n2
Z
W(Q)
f|kR(Z0) exp(−2πiSpur(T Z0)/Q)dX0
für Z0 = X0 +iY0 ∈ Hn(C) mit festem Y0 und W(Q) einem Würfel der Kantenlänge Q in Her(n,C).
Da f holomorph ist, ist der Fourierkoeffizient unabhängig von der Wahl des Y0.
Die Modulformen sind bereits durch die Fourierkoeffizienten zuT mit kleiner Spur eindeutig bestimmt:
3. Hermitesche Modulformen
(3.6) Satz ([Bra55], Satz 5)
Sei (#o∗d)|k, dann gilt für f ∈ M(Sp(n,od)[N], k), dass f ≡0 ist, falls a) k <0 oder
b) k ≥ 0, f(Z) = PT∈Herτ(n,od);T≥0α(T) exp(2πiSpur(T Z)/N) und es gilt α(T) = 0 für alle T ∈Herτ(n,od), T ≥0 mit
Spur(T)≤ k
2πσnN[Sp(n,od) : Sp(n,od)[N]]. Dabei sind σn nur von der Ordnung n abhängigen Konstanten.
Nehme daher für den Rest der Dissertation an, dass das Gewicht k eine natürliche Zahl (inklusive 0) ist.
(3.7) Lemma
Sei k∈N0,(#od∗)|k, dann ist M(Sp(n,od)[N], k) ein endlichdimensionaler Vektorraum.
Beweis.
Aus Satz 3.6 folgt direkt, dass eine Modulform schon durch die Fourierkoeffizienten α(T) mit Spur(T)≤ 2πk σnN[Sp(n,od) : Sp(n,od)[N]] eindeutig bestimmt ist. Zeige nun noch, dass die Spurbedingung nur von endlich vielenT ∈Herτ(n,od),T ≥0 erfüllt wird. Die Diagonaleinträge sind offensichtlich nach oben beschränkt, da kein Diagonaleintrag negativ sein kann. Seim das Maximum aller Diagonaleinträge von einem T mit T ∈Herτ(n,od),T ≥ 0. Angenommen es existiert ein Nichtdiagonaleintragc∈od mit|c|> m+ 1, dann betrachte die 2×2 Untermatrix
a c c b
!
von T. Es ist
a c c b
! "
m+ 1
−c
!#
= (m+ 1)2a−2(m+ 1)|c|2+b|c|2 ≤(m+ 1)3−(m+ 1)|c|2 <0. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass T ≥0 ist.
Also sind alle Einträge von einem T ∈ Herτ(n,od), T ≥ 0 mit Spur(T) ≤ 2πkσnN[Sp(n,od) : Sp(n,od)[N]] durch 2πkσnN[Sp(n,od) : Sp(n,od)[N]] + 1 beschränkt und da die Einträge von Herτ(n,od) diskret sind, kann es nur endlich viele solcher T geben, woraus folgt, dass
M(Sp(n,od), k) endlichdimensional ist.
Als nächstes beschäftigen wir uns mit dem Fundamentalbereich, dieser lässt sich nicht sonderlich übersichtlich beschreiben, daher nutzen wir hier nur die Existenz und einige Eigenschaften des Fundamentalbereichs aus [Bra51].
(3.8) Satz
Es existiert eine Menge Fnod ⊂ Hn(C), die ein Fundamentalbereich von Hn(C) bezüglich der Operation von Sp(n,od) ist und ein bezüglich der Operation von Sp(n,C) invariantes Volumenelement dv:= det(Y)−2ndXdY, sodass
Z
Fnod
dv <∞
Beweis.
Für die genaue Ausführung und Beweis betrachte [Bra51] Lemma 2 und Theorem 3, die Darstellung des Volumenelementes kann [Kri85], Theorem II 1.10 entnommen werden. Diese unterscheidet sich nur um eine Konstante von dem von Braun eingeführten Volumenelement.
(3.9) Satz
Sei f ∈ M(Sp(n,od)[N], k), dann ist f|kR für alle R∈Sp(n,Q(√
−d)) auf dem Fundamental- bereich Fnod bezüglich der vollen Gruppe beschränkt.
Beweis.
Dies folgt analog zu [Bra55] Satz 3 aus [Bra55] Satz 2.
Um zu zeigen, dass die Fourierkoeffizienten von Modulformen nicht beliebig stark wachsen können, benötigen wir einige Aussagen aus der Reduktionstheorie für quadratische Formen nach Humbert, die wir hier aus [Bra51] übernehmen.
(3.10) Satz ([Bra51], Seite 150)
Es existiert eine endliche Anzahl h Matrizen A1, A2, . . . , Ah ∈ Mat(n,od) mit detAj 6= 0, welche nur von n und d abhängen und bezeichne mit ajk die k−te Spalte von Aj, sodass für alle T0 ∈Her(n,Q(√
−d)), T0 > 0 mindestens ein Aj und ein U ∈ GL(n,od) mit T0[U] = T, sodass für T gilt:
• T[ajk] =yk,
• T[x]≥yk für alle x∈ond, sodass aj1 aj2 . . . ajk−1 x Rang k hat,
• −wπ ≤arg(a>j1T ajk)≤ wπ für alle k= 2, . . . , n, wobei w die Anzahl der Einheiten von od
ist.
Bezeichne mit Rj,d die Menge der T ∈ Her(n,Q(√
−d)), T > 0, die die obige Beziehungen bezüglich Aj erfüllen und definiere Rd := Shj=1Rj,d. Dann ist Rd ein Fundamentalbereich bezüglich der Operation von GL(n,od) auf {T ∈Her(n,Q(√
−d));T > 0}.
3. Hermitesche Modulformen
(3.11) Lemma ([Bra51], Lemma 4)
Sei T ∈ Her(n,C), T > 0, dann existiert eine eindeutige Darstellung T = P[Q] mit einer reellen DiagonalmatrixP mit positiven Diagonaleinträgen und einer oberen Dreiecksmatrix Q, bei der alle Diagonaleinträge 1 sind.
(3.12) Definition
Definiere fürτ > 0 die Menge P(τ) durch: Für T ∈ P(τ) gilt:
T ∈Her(n,C), T >0 und in der Darstellung aus dem vorherigen Lemma T =P[Q] erfüllt die DiagonalmatrixP mit Diagonaleinträgen p1, p2, . . . , pn, wobei 0< pk≤ τ pk+1 für 1 ≤k < n und für die Nichtdiagonaleinträge qkl von Q gilt |qkl| ≤τ für 1≤k < l≤n.
(3.13) Lemma ([Bra51], Lemma 5)
Es existiert ein c > 0, welches nur von n und d abhängt, sodass, mit den Notationen aus Satz 3.10, für alle 1≤j ≤h und T ∈ Rj,d gilt T[Aj]∈ P(c).
(3.14) Lemma ([Kri85], Proposition I 4.10)
Es existiert ein nur von n und τ abhängigesβ >0, sodass für alle T ∈ P(τ) gilt T ≥βdiag(T),
wobei diag(T) die Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen von T bezeichnet.
Mit diesen Aussagen kann dann gezeigt werden, dass die Fourierkoeffizienten von Modulformen nicht beliebig stark wachsen können.
(3.15) Lemma
Sei f(Z) = PT∈Herτ(n,od),T≥0α(T) exp(2πiSpur(T Z)) ∈ M(Sp(n,od), k)), dann existiert ein nur von f abhängiges C >0, sodass
|α(T)| ≤CdetTk für alle T ∈Herτ(n,od), T >0 gilt.
Beweis.
Gehe so wie in [Kri85] Lemma III 1.9 vor. Der einzige Schritt, der angepasst werden muss, ist, wo die reduzierte Matrix verwendet wird.
Da für T ∈ Herτ(n,od), T > 0, U ∈ GL(n,od) gilt |α(T[U])| = |α(T)|, kann im Folgenden ohne Einschränkungen angenommen werden, dass T ∈ Rj,d für ein 1 ≤ j ≤ d. Dann gilt
√∆dy1 =√
∆dT[aj1] und da √
∆dT ∈Mat(n,od), muss √
∆dT[aj1] in od\{0} liegen. Also gilt y1 ≥ 1
√∆d
.
