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¨Ubungen zu Analysis I Blatt 3 1 Sei E eine Menge, die n Elemente enth¨alt, dann enth¨alt P(E) 2

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Academic year: 2022

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Ubungen zu Analysis I¨ Blatt 3

1 SeiEeine Menge, dienElemente enth¨alt, dann enth¨altP(E) 2nElemente.

2 Sei A = {1, . . . , n} und Pn = {π: π bildet A bijektiv in sich ab} die Menge allerPermutationen vonA. Zeigen Sie, daß cardPn=n! ist.

3 Definieren Sie bitte innerhalb der rellen Zahlen rekursiv (i) Pn

k=1xk

(ii) Qn k=1xk

(iii) xn

und weisen Sie nach, daß Summe und Produktkommutativ sind, d.h. von der Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren unabh¨angig.

4 Man leite aus den Axiomen her (i) Qn

i=1xi= 0⇐⇒ ∃ixi= 0.

(ii) xy <0⇐⇒x >0∧y <0 oder umgekehrt.

5 Man beweise Note 0.4.22 und Note 0.4.23.

6 Sei >0, dann gilt f¨ur allex, y∈R

xy≤ 2x2+ 1

2y2.

7 Man beweise per Induktion die sog. Bernouillesche Ungleichung (1 +x)n≥1 +nx ∀n∈N, ∀x∈R,

fallsx >−1.

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