Prof. Dr. Volker Kaibel Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2013/2014
Geometrische Methoden
in der Diskreten Optimierung – Blatt 9
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise13/gmdo/
Besprechung: 23. Januar 2014
Aufgabe 1
SeiP ein Polytop,F1,F2⊆ L(P)Teilmengen der Seiten vonP sowieM =Mnon-inc(F1,F2) die zugeh¨orige Nicht-Inzidenz-Matrix. In der Vorlesung haben sie gelernt, dass
rc(M) ≤xc(P)
gilt. Zeigen Sie, dass rc(M)am gr¨oßten wird, wenn man F1 als die Menge der Ecken von P und F2 als die Menge der Facetten von P w¨ahlt.
(Hinweis: W¨ahlen Sie zun¨achst F1 als die Menge der Ecken und F2 als die Menge der Facetten. Zeigen Sie nun, dass das Hinzuf¨ugen von weiteren Seiten zuF1 bzw. F2 nichts an der Rechteck¨uberdeckungszahl von M ¨andert.)
Definition
Die Rechteck¨uberdeckungszahl rc(P) eines Polytops P ist definiert als die Rechteck¨uber- deckungszahl der Nicht-Inzidenz-Matrix von P, deren Zeilen mit den Facetten vonP und deren Spalten mit den Ecken von P indiziert sind.
Aufgabe 2
Sei P ein Polytop, das Projektion eines Polytops Q ist. Zeigen Sie, dass rc(P) ≤rc(Q) gilt.
Aufgabe 3
Sei P ⊆ [0,1]n ein 0/1-Polytop beschrieben durch P = {x∈ [0,1]n∶Ax≥1m} f¨ur eine bin¨are Matrix A ∈ {0,1}m×n. Zeigen Sie, dass die Rechteck¨uberdeckungszahl von P in O(n2)liegt.
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass rc(PMATCH(n)) ≤ O(n4) gilt.
Aufgabe 5
Sei MATCH(n) die konvexe H¨ulle von charakteristischen Vektoren von Matchings im vollst¨andigen Graphen aufn Knoten. Zeigen Sie:
a) xc(PMATCH(n)) ≤xc(MATCH(n)) ≤xc(PMATCH(2n)) b) rc(PMATCH(n)) ≤rc(MATCH(n)) ≤rc(PMATCH(2n))
(Hinweis: Schreiben Sie MATCH(n)als Projektion von PMATCH(2n).)
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