Selbstinduktion
1. Sie erhalten den Auftrag, eine luftgef¨ullte Zylinderspule mit 50 mH Indukti- vit¨at herzustellen. Sie soll 10 cm lang werden und 8.0 cm2 Querschnittsfl¨ache haben. Wieviele Windungen sind dazu notwendig?
2. Eine Spule wird vermessen: der mittlere Windungsdurchmesser betr¨agt 30 mm, die Spule ist 80 mm lang und tr¨agt 300 Windungen. Der Ferritkern hat eine Permeabilit¨atszahl von ca. 500. Wie gross ist ihre Induktivit¨at und wie gross ihre Impedanz bei 50 Hz?
3. Eine Spule mit einer Querschnittsfl¨ache von 25 cm2ist 40 cm lang und enth¨alt 600 Windungen.
(a) Wie gross sind ihre Induktivit¨at und ihre Impedanz bei 800 Hz?
(b) Wie ¨andern sich diese beiden Werte, wenn ein Eisenkern in die Spule geschoben wird mit einer Permeabilit¨atszahl = 320?
4. In einer 7.5 cm langen Zylinderspule mit 16 cm2 Querschnittsfl¨ache fliesst ein Gleichstrom von 6.0 A, der innerhalb von 1.5 s auf null reduziert wird.
Dabei wird eine Induktionsspannung von 870 mV gemessen. Berechnen Sie die Induktivit¨at der Spule und die Windungszahl. Die Spule sei luftgef¨ullt.
Wechselstromwiderst¨ ande
5. Wie gross ist die Induktivit¨at einer Spule mit einer Impedanz von 150 Ω bei einer Frequenz von 5.0 kHz?
6. Zeigen Sie, dassXC= ωC1 undXL=ωLdie Einheit Ω haben.
7. Wie gross ist die Impedanz eines Kondensators mit 220µF Kapazit¨at bei einer Frequenz von 50 Hz bzw. bei 5.0 kHz?
8. Berechnen Sie die Kapazit¨at eines Kondensators, wenn bei U = 20 V und f = 50 Hz die Stromst¨arke 100 mA betr¨agt.
9. An eine Spule mitR= 1000 Ω undL= 0.50 H legen wir 10 V Spannung mit f1= 10 Hz bzw.f2= 10 kHz. Wie verhalten sich die Stromst¨arken?
10. Ein Kondensator wird an 20 V Wechselspannung angeschlossen, mit einer Fre- quenz von 250 Hz. Dann fliesst ein Strom von 470 mA. Wie gross sind seine Impedanz und seine Kapazit¨at?
11. Bei einem Kondensator soll die Kapazit¨at mithilfe eines KOs bestimmt wer- den. Sie messen bei einem sinusf¨ormigen Signal einen Scheitelwert von 5.5 V, der Scheitelwert des Stromes sei 2.5 mA. Die Dauer einer Schwingung betr¨agt 4 ms. Wie gross istC?
12. Eine Spule und ein Kondensator sollen bei 1.0 kHz einen Wechselstromwider- standZ von je 500 Ω haben. Berechnen Sie die dazu n¨otige Induktivit¨at bzw.
Kapazit¨at.
Leistung im Wechselstromkreis
13. Eine elektrische Pumpe ( ˆ= reale Spule) setzt an 230 V bei 50 Hz eine Wirk- leistung von 3.0 kW um. Der Leistungsfaktor wird mit 0.88 angegeben.
(a) Berechnen Sie den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung.
(b) Berechnen Sie die Blindleistung des Ger¨ats. Der Phasenwinkel von vorhin darf als gegebene Gr¨osse benutzt werden.
(c) Durch Parallelschalten einer Kapazit¨at soll die Blindleistung vollst¨andig kompensiert werden. Wie gross mussC sein?
14. Ein Kondensator (10µF) und ein ohmscher Widerstand (100 Ω) werden par- allel geschaltet und an eine Spannungsquelle mitU = 230 V und 50 Hz ange- schlossen. Berechnen Sie (nur numerisch)
(a) den GesamtstromI,
(b) die Phasenverschiebung zw.U undI sowie
(c) die Wirk- und Blindleistung (Strom und Phasenverschiebung von vorhin sind gegeben)!
15. Ein Kondensator und ein ohmscher Widerstand werden parallel an 230 V an- geschlossen. Das Leistungsmessger¨at misst eine Scheinleistung von 470 VA und einen Leistungsfaktor von 0.80 f¨ur die ganze Schaltung. Berechnen Sie (und verwenden Sie jeweils die numerischen Resultate aus den vorherigen Teilauf- gaben):
(a) den Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, (b) Blind- und Wirkstrom,
(c) die Impedanz des Kondensators und den Widerstandswert des ohmschen Widerstands sowie
(d) die Impedanz der ganzen Schaltung.
Wechselstromschaltungen
16. Warum ist der Scheinwiderstand Z einer realen Spule kleiner als die Summe R+XL? Erkl¨aren Sie mithilfe von Zeigerdiagrammen.
17. Eine Spule hat R = 100 Ω und Z = 570 Ω. Die Wechselspannung habe eine Frequenz von 1.2 kHz. Berechnen SieXL und ihre Induktivit¨at!
18. Eine Spule wird nacheinander an 24 V Gleich- bzw. Wechselspannung (bei 50 Hz) angeschlossen. Dabei fliessen Str¨ome von 55 bzw. 45 mA.
(a) Berechnen Sie aus diesen Angaben den ohmschen Widerstand und die Induktivit¨at der Spule.
(b) Wie gross w¨are der Stromfluss bei 24 V und einer Frequenz von 200 Hz?
19. Ein ohmscher Widerstand von R = 1.9 kΩ, eine Spule mit 82 mH und ein Kondensator mit 18 nF Kapazit¨at werden parallel an eine sinusf¨ormige Wech- selspannung von 24 V bei einer Frequenz von 3.5 kHz angeschlossen.
(a) Berechnen Sie die Str¨ome in den einzelnen Bauteilen, (b) zeichnen Sie ein massstabgerechtes Phasendiagramm,
(c) berechnen Sie die Impedanz und
(d) die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung.
20. In einer Schaltung werden R = 200 Ω und C = 1.0µF parallel geschaltet, L = 2.2 mH ist dahinter in Serie. Die Frequenz betrage 2.5 kHz. Berechnen Sie (nur numerisch) Blindwiderstand, Wirkwiderstand, Scheinwiderstand und Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung.
21. RundC in Reihe geschaltet sollen als Filter zur Frequenztrennung in einem Lautsprecher eingesetzt werden. Bei der sog. Grenzfrequenz sind ohmscher und kapazitiver Widerstand gleich.
(a) Berechnen Sie die Grenzfrequenz f¨urR= 470 Ω undC= 2.0µF!
(b) ¨Uber welchem Bauteil greifen Sie die Frequenzen oberhalb fg ab? Be- gr¨unden Sie Ihre Antwort!
(c) Bei welcher Frequenz betr¨agt die Spannung ¨uber R 98% der Gesamt- spannung?
22. An eine reale Spule mit einem ohmschen Widerstand von 1.0 kΩ und L = 0.50 H wird eine Spannung von 10 V gelegt.
(a) Wie gross ist der Strom, wenn die Frequenz des Signals 10 Hz bzw.
1.0 kHz betr¨agt?
(b) Wie gross w¨are der Strom bei einer idealen Spule in beiden F¨allen?
(c) Stellen Sie in einem Diagramm die Gesamtimpedanz der realen Spule dar als Funktion der Frequenz (skalieren von 0 bis 1.0 kHz). Zeichnen Sie zum Vergleich auch die Impedanz der idealen Spule im Diagramm ein!
23. Eine ideale Spule (mitL= 55.0 mH), ein ohmscher Widerstand von 20.0 Ω und eine Kapazit¨at von 800 nF werden in Serie geschaltet und an einen Frequenz- generator angeschlossen. Dieser erzeugt eine sinusf¨ormige Wechselspannung mit einstellbarer Frequenz. Im Experiment soll das Resonanzverhalten dieser Schaltung untersucht werden.
(a) Zuerst soll die Frequenz variiert werden. Bei welcher Frequenz erreicht die Stromst¨arke ihren gr¨ossten Wert? Wie viel Strom fliesst dann, wenn der FG eine Scheitelspannung von 5.0 V liefert?
(b) Im zweiten Experiment soll die Induktivit¨at der Spule durch Einschieben eines Eisenkerns so ver¨andert werden, dass bei 100 Hz Resonanz erreicht werden kann. Welche Permeabilit¨atszahl muss das Eisen haben?
sowie Metzler, p. 277, 279, 281, jeweils A1 - A4 (separate L¨osungen)
Selbstinduktion, L¨ osungen
1. L= µ0N`2A ⇒N =q
`·L
µ0A ≈2.2·103Windungen
2. L = µrµ0N2A`, A = π4D2 ⇒ L = µrµ0N2πD4`2 = 0.50 H, XL = 2πf L = 0.16 kΩ
3. L= µ0N`2A = 2.8 mH,XL= 2πf L= 14 Ω,L0=µrL= 0.90 H,XL0 =µrXL= 4.5 kΩ
4. U =L·∆I∆t ⇒L=U·∆t∆I = 218 mH, L= µ0N`2A ⇒N =q
U·`·∆t
µ0·A·∆I ≈2.8·103
Wechselstromwiderst¨ ande, L¨ osungen
5. L= 2πfXL = 4.8 mH
6. [XC] = s·VC =VA = Ω, [XL] = s−1· VsA = Ω 7. XC= 2πf C1 = 14 Ω bzw. 0.14 Ω
8. XC= 2πf C1 = UI ⇒C= 2πf UI = 16µF 9. IIR
L = 2πf LR = 321 (bei 10 Hz) bzw. 311 (bei 10 kHz) 10. Z= UI = 43 Ω,C= 2πf Z1 =2πf UI = 15µF 11. Z= uˆˆ
i =ωC1 = 2πCT ⇒C=2πˆˆiTu = 3·10−7F
12. Z1=2πf C1 ⇒C= 2πf Z1 = 3.2·10−7F,Z2= 2πf L⇒L=2πfZ = 80 mH
Leistung im Wechselstromkreis, L¨ osungen
13. (a) cosϕ= 0.88⇒ϕ= arccos(0.88) = 28◦
(b) P=U Icosϕ, Q=U Isinϕ=Ptanϕ= 1.6 kVar
(c) Im kapazitiven Zweig muss die gleiche Blindleistung umgesetzt werden!
IQ =Isinϕ= PtanU ϕ, Z =IU
Q = 2πf C1 ⇒C= 2πf UIQ = P2πf Utanϕ2 = 97µF 14. (a) Bei Parallelschaltung werden die Leitwerte (= Kehrwert des Widerstan-
des) geometrisch (d.h. mit Pythagoras) addiert:
Z=
1
R2 + (2πf C)2−1/2
, I= UZ = 2.41 A
Man k¨onnte auch mit komplexen Zahlen den Scheinwiderstand berechnen und daraus den Strom. Dritte M¨oglichkeit: Blind- und Wirkstrom separat berechnen und mit Pythagoras zusammenz¨ahlen.
(b) tanϕ=IIc
r = XU
C ·RU = 2πf CR⇒ϕ= 17◦ (oder 0.36 rad) (c) P=U Icosϕ= 0.53 kW, Q=U Isinϕ= 0.17 kVar 15. (a) ϕ= arccos(0.8) = 0.64 rad
(b) S=U I,IQ=Isinϕ= SsinU ϕ = 1.2 A, IP =Icosϕ=ScosU ϕ = 1.6 A (c) XC= IU
Q = 0.19 kΩ,R= IU
P = 0.14 kΩ
(d) Bei Parallelschaltung werden die Leitwerte (= Kehrwert des Widerstan- des) geometrisch (d.h. mit Pythagoras) addiert:
Z=
1 R2 +X12
C
−12
= 0.11 kΩ (oderZ =US2)
Wechselstromschaltungen, L¨ osungen
16. R undL sind in Serie. BeiR sinduundi in Phase, beiL istuum 90◦ ge- gen¨uberiverschoben. Daher werden die Widerst¨ande mit Pythagoras addiert.
17. XL=√
Z2−R2= 0.56 kΩ,L=
√Z2−R2
2πf = 74 mH
18. (a) Reale Spule, d.h. R undL in Serie! Bei DC istL irrelevant (abgesehen vom Einschaltvorgang), somit:R= IU
DC = 0.44 kΩ Z= IU
AC = q
R2+ (2πf L)2⇒L= 2πfU q 1
I2AC −I21 DC
= 0.98 H (b) I0 =ZU0 = √ U
R2+(2πf0L)2 = 0.18 A 19. (a) IR= UR = 13 mA,IC=XU
C = 2πf CU = 9.5 mA,IL= 2πf LU = 13 mA (b) 12.6 mA in Phase mit u, 13.3 mA mit−90◦ und 9.5 mA mit +90◦
(c) I= q
IR2 + (IL−IC)2= 13.3 mA, somitZ =UI = 1.8 kΩ mit komplexen Zahlen:Z =
1
R +j2πf C+j2πf L1 −1
= 1820 Ω·e0.293j (d) siehe oben: ϕ= 0.293 = 17◦ oder: tanϕ=ILI−IC
R ⇔ϕ= arctanILI−IC
R
20. mit komplexen Zahlen (ohne Einheiten):
Z= R1 +jωC−1
+jωL= 29.6·e−0.67j = 18−23j
⇒Z= 30 Ω,R= 18 Ω,X = 23 Ω,ϕ=−0.67 rad =−38◦ 21. (a) R=XC =2πf C1 ⇒f =2πCR1 = 0.17 kHz
(b) ¨UberR, weil bei hohen Frequenzen nur noch eine sehr kleine Spannung
¨uberC liegt (XC∝1/f).
(c) UUR
tot = 0.98, weil U ∝Z, gilt auch: RZ = 0.98 = p R
R2+(2πf C1 )2
⇒f =2πRC1 q
0.982
1−0.982 = 0.83 kHz 22. (a) reale Spule ˆ=R undLin Serie:
I=UZ = √ U
R2+(2πf L)2 = 10 mA (bei 10 Hz) bzw. 4.9 mA (bei 1 kHz) (b) dito mitR= 0 Ω:I0= 0.56 A bzw. 5.6 mA
(c) siehe Abb. 1:
Abbildung 1: Impedanz reale und ideale Spule
23. (a) Iist maximal, wennXC =XL⇒ω2=LC1 ⇒f = 1
2π√
LC = 759 Hz ˆi= uRˆ = 0.25 A (die zwei Blindwiderst¨ande heben sich auf)
(b) L0=µrL⇒f0= 1
2π√
L0C ⇒µr= 4π2f102LC = 57.6
