Schaltungstechnik 1 (Wdh.)

Elektro- und Informationstechnik

Schaltungstechnik 1 (Wdh.)

Univ.-Prof. Dr. techn. Josef A. Nossek

Freitag, den 08.04.2011 9:00–10:30 Uhr

Musterl¨osung

Name:

Vorname:

Matrikel-Nr.:

H¨orsaal:

Platz-Nr.:

• Dieses Aufgabenheft hat 12 Seiten.

• Die Gesamtzahl der Punkte betr¨agt 90.

• Als Unterlagen f¨ur die Pr¨ufung sind maximal 5 beliebig beschriebene Bl¨atter DIN A4 erlaubt.

• Taschenrechner und Mobiltelefone sind nicht zugelassen.

• Mit * gekennzeichnete Aufgaben sind ohne Kenntnis des Ergebnisses der vorhergehenden Tei- laufgaben l¨osbar.

• Es werden nur solche Ergebnisse gewertet, bei denen der L¨osungsweg erkennbar ist!

Aufgabe 1

In Bild 1 sei eine, aus ohmschen Widerst¨anden, idealen Operationsverst¨arkern und unabh¨angigen Quellen bestehende Schaltung gegeben. Es wird angenommen, dass die Operationsverst¨arker im streng linearen Bereich betrieben werden. Mit Hilfe der Knotenspannungsanalyse soll die Schaltung untersucht werden.

1

4 3 2

u₁

5

u₂

u_a G₀

G₁

G₂ G₃

G₄ G₅

Bild 1. Operationsverst¨arkerschaltung

a)* Ist die Wahl der Polung am Eingang der OpAmps entscheidend f¨ur die Analyse im streng 2

linearen Bereich? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

Nein√

, da der Nullator ungepolt ist.√

b)* Bereiten Sie die Schaltung f¨ur eine Knotenspannungsanalyse vor, indem Sie die 6

Operationsverst¨arker durch das entsprechende Ersatzschaltbild ersetzen und gegebenenfalls stromgesteuerte Elemente in spannungsgesteuerte Elemente umwandeln. ¨Ubernehmen Sie dabei die Knotennummerierung von Bild 1.

5

2 4

1

3

G₂u₁

G₄u₂

u_a G₀

G₁ G₂

G₃

G₄ G₅

c)* Geben Sie die Gleichungen der Knotenspannungsanalyse ohne Ber¨ucksichtigung des Nullors 8 an.

0

2

4

5

=

=

1

3

0

0

Y_k u_k i_q

G₂+G₃

G₄+G₅

G₀+G₁

G₁+G₅

G₀

−G₀

−G₀

−G₅

−G₅

−G₁

−G₁

u_k,1

u_k,2

u_k,3

u_k,4

u_k,5

G₂u₁

G₄u₂

√√√√√√√√

(1 Punkt pro Element)

d) F¨uhren Sie die zur Ber¨ucksichtigung des Nullors notwendigen Schritte durch und geben Sie 4 das resultierende Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.

1) Nullator: Streiche Spalte 3, Addiere Spalte 1 und 2, und verk¨urze den Knotenspannungs- vektor√√

2) Norator: Streiche Zeile 4 und 5, und verk¨urze den Quellenstromvektor.√√





G

+ G

0 0 G

+ G

− G

0

0 − G

− G



 · u

u

u



 =

G

u

G

u

0





e) Bestimmen Sieu_aals Funktion vonu₁ undu₂f¨urG₁ =G₂ =G₃ =G₄ =G₅ =G6=G₀. 4 u_a=u_k,5 √

Gleichungssystem aus d) nachu_k,5 aufl¨osen:

Zeile 1 - Zeile 2 + Zeile 3 ergibt

−G₀u_k,5 =Gu₁−Gu₂ √√

⇒u_a = _G^G₀(u₂−u₁)√

Aufgabe 2

Gegeben ist folgendes Dreitor, das aus einem idealen ¨Ubertrager besteht.

u₁ u₂

u₃

u^′₁ u^′₂ i₁

i₁

i₂ i₂ i₃

i₃

i^′₁ i^′₂

¨ u: 1

Bild 2. Dreitor

Der ¨Ubertrager mit den Torspannungen(u^′₁, u^′₂)und Torstr¨omen(i^′₁, i^′₂)wird durch folgende Gleichungen beschrieben:

u^′₁−u u¨ ^′₂ = 0

¨

u i^′₁+i^′₂ = 0. (1)

a)* Ist das Dreitor verlustlos und/oder reziprok? Begr¨unden Sie Ihre Antwort ohne Rechnung.

3

Es ist reziprok und verlustlos, da es nur aus idealen ¨Ubertragern aufgebaut ist.√√

Begr¨undung:

Ideale ¨Ubertrager sind verlustlos und Netzwerke aus linearen Widerst¨anden und idealen Ubertragern sind reziprok.¨ √

b)* Ist der ¨Uberlagerungssatz bei Einbau dieses 3-Tors in einer Schaltung anwendbar. Begr¨unden 2

Sie Ihre Antwort.

Ja wenn die umgebende Schaltung selbst linear ist√

. Begr¨undung: lineares Deitor, da nur aus linearen Elementen aufgebaut.√

c)* Geben Sie die Torgr¨oßen des ¨Ubertragers, d.h.(u^′₁, u^′₂, i^′₁, i^′₂), als Funktion der Torgr¨oßen des 4

3-Tors(u1, u₂, u₃, i₁, i₂, i₃)an.

u^′₁ =u₁ √ u^′₂ =−u₂ √ i^′₁ =i₁−i₃ √ i^′₂ =i₃−i₂ √

d)* Wieviele Gleichungen ben¨otigt man zur impliziten Beschreibung eines Dreitors? 1 3 Gleichungen√

e) Geben Sie eine implizite Beschreibung des Dreitors in Bild 2 unter Verwendung der 6 Kirchhoffschen Gesetze in Abh¨angigkeit von den Torgr¨oßen an. Kennzeichnen Sie in der L¨osung die MatrizenM undN, wie sie in der Vorlesung definiert wurden.

KVL:u₁+u₂+u₃ = 0√

Aus (1) mit c) ergibt sichu¨(i₁−i₃) +i₃−i₂ = 0√ u₁+ ¨uu₂ = 0√









1 1 1 1 ¨u 0 0 0 0

| {z } M

0 0 0

0 0 0

¨

u −1 1−u¨

| {z } N







 u

i

=0

√√√

f) Existiert eine Leitwertsbeschreibung? Begr¨unden Sie Ihre Antwort. 2 Nein,√daN nicht invertierbar ist (Nullzeilen).√

g)* Ist die Torbedingung an Tor 3 erf¨ullt, wenn Tor 1 und Tor 2 jeweils mit einem Eintor 2 beschaltet werden? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

Die Torbedingung ist erf¨ullt√

. An Tor 1 und Tor 2 sind durch die Beschaltung mit Eintoren die Torbedingungen sowieso erf¨ullt. Durch eine H¨ullengeichung um das Dreitor l¨asst sich dann leicht ¨uberpr¨ufen, dass die Str¨ome an den beiden Klemmen von Tor 3 entgegengesetzt gleich groß sind.√

Aufgabe 3

Gegeben sei folgende Schaltung. Es handelt sich dabei um einen verbesserten Stromspiegel.

U_B

I_b1 I_e1 I_c1

I_b2

I_e2 I_c2 I_b3

I_e3 I_c3

R R_L

I_R

I_out

T

T

T

Bild 3. Stromspiegel

F¨ur die zugrundeliegende Anwendung wird ein Ausgangsstrom vonI_out = 1.8mA ben¨otigt. Im Verlauf der Aufgabe soll der Stromspiegel entsprechend dimensioniert werden.

Es sei angenommen, dass sich die Transistoren im Vorw¨artsbetrieb befinden und somit folgendes Ersatzschaltbild verwendet werden kann.

c

e b I_b

I_e

I_c

βI_b U_be = 0.7V

Bild 4. Transistor Ersatzschaltbild

Die TransistorenT₁,T₂undT₃ haben jeweils die Stromverst¨arkungenβ₁,β₂undβ₃. Rechnen Sie im Rahmen dieses Ersatzschaltbildes, sofern nicht ausdr¨ucklich anders angegeben, ohne N¨aherungen. Die vorgegebene Betriebsspannung betr¨agtU_B = 5V.

a)* Geben SieI_c2undI_b2im Arbeitspunkt des TransistorsT₂ in Abh¨angigkeit vonβ₂ an, wenn 2

I_out = 1.8mA gelten soll.

I_c2 =I_out = 1.8mA√ I_b2 = ^I_β^c2₂ = ^I_β^out₂ = ^1.8mA_β2 √

b)* Zeichen Sie ein Ersatzschaltbild f¨ur den Stromspiegel (Bild 3) unter Verwendung des 6 Transistormodells aus Bild 4.

Achten Sie auf eine korrekte Beschriftung der gesteuerten Quellen.

U_B

I_b1 I_b2 I_b3

R

0,7V 0,7V

0,7V

β₁I_b1 β₂I_b2

β₃I_b3

c)* Bei Verwendung identischer Transistoren f¨urT₁ undT₂ ergibt sichI_R≈I_c2. Geben Sie den 2 unter dieser Annahme n¨otigen WiderstandRan.

R= ^U_I^R

R ≈ ^UB_I⁻_out^2Ube √

= _1.8mA^3.6V = 2kΩ√

Widerst¨ande mit dem in c) berechneten Wert sind bei der Integration auf einem Chip sehr

kostenintensiv. Deshalb soll im Folgenden versucht werden, die gestellte Aufgabe mitR= 500Ω zu l¨osen. Die in c) gemachte Annahme ist dann nat¨urlich nicht mehr gerechtfertigt.

Gehen Sie davon aus, dass sich die Basis-Emitter-Strecken vonT₁ undT₂ gleich verhalten, und somit auch die Basisstr¨ome gleich sind.

d)* Geben Sie den StromI_b3 in Abh¨angigkeit vonI_b2 an. 3

I_b3 =−1+β^Ie33

√

= ^Ib1_1+β^+I₃^b2 √

≈ _1+β^2Ib2₃ √

e) Berechnen Sie _I^IR

out in Abh¨angigkeit der Stromverst¨arkungenβ₁,β₂undβ₃. 4

I_R =I_c1+I_b3√

=I_b1β₁ +_1+β^2Ib2₃ =I_b2(β1+ _1+β² ₃)√

= ^I_β^c2

2(β1+ _1+β²

3)√

→ I^Iout^R = _β¹₂(β₁+ _1+β² ₃)√

f)* Geben Sie den StromI_Rin Abh¨angigkeit von der VersorgungsspannungU_B, dem Widerstand 1

Rund den BasisemitterspannungenU_beder Transistoren an.

I_R = ^U_R^R = ^UB−2U_R ^be √

g) Geben Sie allgemein die Formel f¨ur den WiderstandRaus den Ergebnissen in f) und e) an.

3

UB−2Ube

RIout = _β¹₂(β1+ _1+β²₃)√ R= _I^{β2(UB−2Ube)}

out(β1+_1+β3² )

√√

h)* Durch weitere Vereinfachungen ergibt sichR = ^β2(U_Iout^B−2U_β1 ^be). 2

Geben Sie einen Wert f¨urβ₂an, wenn f¨urT₁ ein Transistor mit einer Stromverst¨arkung von β₁ = 200verwendet wird. Hinweis: es gilt weiterhinI_out= 1.8mA undR = 500Ω.

β₂ =R_U^Ioutβ1

B−2Ube

√

= 500Ω^360mA_3.6V = 50√

Aufgabe 4

T₁

T₂ u_a

U₀ u_e

i_d2 i_d1

u_gs2

u_gs1 i_a= 0

Bild 5. MOS-Transistorschaltung

Beide Transitoren (n-Kanal FET vom Anreicherungstyp,U_th >0) sind identisch und werden durch folgende Gleichungen beschrieben:

i_d=







0, u_gs−U_th ≤0

β (ugs−U_th)uds− ¹₂u²_ds

, 0≤u_gs−U_th ≥u_ds

1

2β(ugs−U_th)², 0≤u_gs−U_th ≤u_ds. Die Arbeitspunkteinstellung erfolgt ¨uber die konstante SpannungsquelleU₀ >0.

u_ebezeichnet die Eingangsspannung. Der Ausgangu_asei unbelastet.

a)* Berechnen Sie unter der Annahme, dass beide Transistoren sich im S¨attigungsbereich 4 befinden, die Spannungu_ain Abh¨angigkeit vonu_e,U₀,U_thundβ.

i_d1 =i_d2 √

⇒u_gs1 =u_gs2 =u_e√ u_a=U₀−u_gs1√

=U₀−u_e√

b)* F¨ur welche Werte vonu_ebefinden sich beide Transistoren im S¨attigungsbereich?U₀,U_thund 4 β seien dabei gegeben.

u_gs1 =u_gs2 =u_e> u_th√

u_ds2 =u_a=U₀−u_e> u_gs2−u_th √

⇒U₀−u_e > u_e−u_th⇒u_e < ¹₂(U₀+u_th)√ u_ds1 =u_gs1 > u_gs1−u_thist immer erf¨ullt√

u_th< u_e < ¹₂(U0+u_th)

c)* Bestimmen Sie unter der Annahme, dass sichT₁im S¨attigungsbereich undT₂ im linearen 4

Bereich befindet, eine Beziehung zwischenu_a,u_e,U₀ undU_th. L¨osen Sie diese nicht auf.

i_d1 =i_d2 ⇒ ¹₂β(ugs1−U_th)² =β (ugs2−U_th)uds2−¹₂u²_ds2√ u_ds2 =u_a,u_gs1 =U₀−u_a,√

1

2(U0−u_a−U_th)² = (ue−U_th)ua− ¹₂u²_a√√

1

2u²_a−(U0−U_th)ua+¹₂(U0−U_th)² = (ue−U_th)ua− ¹₂u²_a u²_a−(U₀+u_e−2U_th)u_a+¹₂(U₀−U_th)² = 0

Im Folgenden soll das Kleinsignalverhalten der Schaltung untersucht werden. F¨ur TransistorT₁ soll dabei das Ersatzschaltbild im Bild 6 verwendet werden. F¨ur TransistorT₂gelte das gleiche ESB mit Index 2 statt Index 1.

∆u g_m1∆ugs1 ∆u

g

d)* Wie lassen sichg_m1/2 undg_d1/2 jeweils prinzipiell aus den Torgr¨oßen des Transistors 3 bestimmen ? Welche Einheit haben diese Parameter?

g_m1/2 = _u^∂id1/2

gs1/2|^AP√ g_d1/2 = ^∂i_u^d1/2

ds1/2|^AP√

Einheit f¨ur beide ist S (Siemens)√

e)* Die Eingangsspannungu_ebesitzt den Kleinsignalanteil∆ue. Zeichnen Sie das 4 Kleinsignalersatzschaltbild der Schaltung. Achten Sie dabei auf eine korrekte Beschriftung!

∆u_e = ∆u_gs2

∆u_gs1

∆ua

g_m2∆u_gs2

g_m1∆ugs1

g_d1+g_d2

f) Bestimmen Sie allgemein die Kleinsignal-Spannungsverst¨arkungv = ^∆u_∆u^a_e|^∆ia=0. 4 KCL:g_m2∆u_e =g_m1∆u_gs1−(g_d1+g_d2)∆u_a√

∆ugs1 =−∆ua√

⇒v = ^∆u_∆u^a_e =−gm1+g^gm2_d1+g_d2

√√

(Zusatzblatt)