Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨ angigen Stichproben

Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨ angigen Stichproben

Liegen zwei unabh¨angige StichprobenX₁^A, . . . ,X_n^A

A undX₁^B, . . . ,X_n^B

B zu jeweils normalverteilten ZufallsvariablenY^A undY^B vor, kann eine

”Aggregation“ zu einer einzigen Stichprobe wie beim Vorliegen verbundener Stichproben so nicht durchgef¨uhrt werden.

Verglichen werden nun nicht mehr Beobachtungspaare, sondern die (getrennt) berechneten MittelwerteX^A undX^B der beiden Stichprobenrealisationen zuY^A bzw.Y^B.

Wir setzen zun¨achst dieNormalverteilungsannahme f¨ur Y^A und Y^B voraus!

Die DifferenzX^A−X^B ist wegen der Unabh¨angigkeit der Stichproben dann offensichtlich normalverteilt mit Erwartungswertµ_A−µ_B (f¨urµ_A =µ_B gilt also gerade E(X^A−X^B) = 0) und Varianz

Var(X^A−X^B) = Var(X^A) + Var(X^B) = σ_A² nA

+σ²_B nB

.

Sind die beteiligten Varianzen bekannt, kann zum Vergleich vonµA undµB

somit unmittelbar ein exakter Gauß-Test konstruiert werden.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 187

Zusammenfassung: 2-Stichproben-Gauß-Test

bei bekannten Varianzen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), σ_A², σ²_B bekannt voraussetzungen X₁^A, . . . ,Xn^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik N= X^A−X^B

qσ_A² n_A +^σ_n^B2

B

Verteilung (H0) Nf¨urµA=µB N(0,1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A= _n¹

A

Pn_A

i=1X_i^A, X^B= _n¹

B

Pn_B i=1X_i^B Kritischer Bereich (−∞,−N1−^α

2) (N1−α,∞) (−∞,−N1−α)

zum Niveauα ∪(N1−^α₂,∞)

p-Wert 2·(1−Φ(|N|)) 1−Φ(N) Φ(N)

Sind die Varianzenσ_A² undσ²_B unbekannt, so ist zu unterscheiden, ob man wenigstensσ²_A=σ_B² annehmen kann oder nicht.

Im Fall ¨ubereinstimmender Varianzenσ_A²=σ²_B wird diese mit Hilfe eines gewichteten MittelwertsS²der Stichprobenvarianzen

S_Y²A = 1 nA−1

nA

X

i=1

(X_i^A−X^A)² und S_Y²B = 1 nB −1

nB

X

j=1

(X_j^B−X^B)²

in der Form

S²= (nA−1)S_Y²A+ (nB −1)S_Y²B

n_A+n_B−2 = Pn_A

i=1(X_i^A−X^A)²+Pn_B

j=1(X_j^B−X^B)² n_A+n_B−2

gesch¨atzt, ein exaktert-Test ist damit konstruierbar.

F¨urn_A=n_B erh¨alt man die einfachere DarstellungS²=S_Y²_A+S_Y²_B

2 .

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 189

Zusammenfassung: 2-Stichproben-t-Test

bei unbekannten, aber ¨ubereinstimmenden Varianzen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), µA, µB, σ_A²=σ²_B unbek.

voraussetzungen approx.: E(Y^A) =µA,E(Y^B) =µB,Var(Y^A) = Var(Y^B) unbekannt X₁^A, . . . ,X_n^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX₁^B, . . . ,X_n^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik t= X^A−X^B

qS² n_A +^S_n²

B

=X^A−X^B S

rnA·nB

nA+nB

Verteilung (H0) t f¨urµA=µB (n¨aherungsweise)t(nA+nB−2)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A= _n¹

A

Pn_A

i=1X_i^A, X^B= _n¹

B

Pn_B i=1X_i^B, S=

r

(n_A−1)S²

Y A+(n_B−1)S² Y B n_A+n_B−2 =

r

PnA

i=1(X_i^A−X^A)²+PnB

i=1(X_i^B−X^B)² n_A+n_B−2

Kritischer Bereich (−∞,−t_n

A+n_B−2;1−^α

2) (tn_A+n_B−2;1−α,∞) (−∞,−t_nA+nB−2;1−α) zum Niveauα ∪(t_n

A+n_B−2;1−^α

2,∞)

p-Wert 2·(1−Ft(n_A+n_B−2)(|t|)) 1−Ft(n_A+n_B−2)(t) Ft(n_A+n_B−2)(t)

Beispiel: Absatzwirkung einer Werbeaktion

Untersuchungsgegenstand: Hat eine spezielle Sonderwerbeaktion positiven Einfluss auf den mittleren Absatz?

Stichprobeninformation: Messung der prozentualen Absatz¨anderungen x₁^A, . . . ,x₁₀^A inn_A= 10 Superm¨arktenohneSonderwerbeaktion und x₁^B, . . . ,x₅^B innB = 5 Superm¨arktenmitSonderwerbeaktion.

Annahme: F¨ur prozentuale Absatz¨anderungenY^A ohne bzw.Y^B mit Sonderwerbeaktion giltY^A∼N(µ_A, σ_A²),Y^B∼N(µ_B, σ_B²), µ_A, µ_B, σ²_A=σ_B² unbekannt,X₁^A, . . . ,X₁₀^A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von einfacher StichprobeX₁^B, . . . ,X₅^B zuY^B.

(Zwischen-)Ergebnisse aus Stichprobenrealisation:

x^A= 6.5, x^B = 8, s_Y²A = 20.25, s_Y²B = 23.04

⇒s= s

(n_A−1)s_Y²_A + (n_B−1)s_Y²_B nA+nB−2 =

r9·20.25 + 4·23.04

13 = 4.5944

Gew¨unschtes Signifikanzniveau:α= 0.05 Geeigneter Test:

2-Stichproben-t-Test bei ¨ubereinstimmenden, aber unbekannten Varianzen

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 191

1 Hypothesen:

H0:µA≥µB gegen H1:µA < µB

2 Teststatistik:

t= X^A−X^B S

r nA·nB

nA+nB

ist unter H0t(nA+nB−2)-verteilt (f¨urµA =µB).

3 Kritischer Bereich zum Niveauα= 0.05:

K = (−∞,−tn_A+n_B−2;1−α) = (−∞,−t13;0.95) = (−∞,−1.771)

4 Berechnung der realisierten Teststatistik:

t= x^A−x^B s

rnA·nB

nA+nB

= 6.5−8 4.5944

r 10·5

10 + 5 =−0.5961

5 Entscheidung:

t=−0.5961∈/ (−∞,−1.771) =K ⇒ H₀wird nicht abgelehnt!

(p-Wert:F_t(13)(t) =F_t(13)(−0.5961) = 0.2807)

Der Test kommt also zur Entscheidung, dass eine positive Auswirkung der Sonderwerbeaktion auf die mittlere prozentuale Absatz¨anderung nicht best¨atigt werden kann.

Sonderfall: Vergleich von Anteilswerten

Ein Sonderfall des (approximativen) 2-Stichproben-t-Test bei unbekannten, aber ¨ubereinstimmenden Varianzen liegt vor, wenn zwei Anteilswerte miteinander verglichen werden sollen.

Es gelte also speziellY^A∼B(1,pA) undY^B∼B(1,pB) f¨urpA∈(0,1) und pB ∈(0,1), außerdem seienX₁^A, . . . ,X_n^A_A sowieX₁^B, . . . ,X_n^B_B unabh¨angige einfache Stichproben vom UmfangnA zu Y^A bzw. vom UmfangnB zuY^B. Zur ¨Uberpr¨ufung stehen die Hypothesenpaare:

H₀:p_A=p_B H₀:p_A≤p_B H₀:p_A≥p_B gegen H₁:p_A6=p_B H₁:p_A>p_B H₁:p_A<p_B F¨ur die Varianzen von Y^A undY^B gilt bekanntlich Var(Y^A) =pA·(1−pA) bzw. Var(Y^B) =pB·(1−pB), d.h. die Varianzen sind zwar unbekannt, unter H0 — genauer f¨urpA=pB — jedoch gleich.

Mit den ¨ublichen Schreibweisenbp_A:= _n¹

A

Pn_A

i=1X_i^A bzw.bp_B := _n¹

B

Pn_B i=1X_i^B erh¨alt man f¨urS²in Abh¨angigkeit vonbpA undbpB die Darstellung:

S²=nA·bpA·(1−bpA) +nB·bpB·(1−bpB) nA+nB−2

Approximation vern¨unftig, falls 5≤nAbpA≤nA−5 und 5≤nBbpB ≤nB−5 .

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 193

Zusammenfassung: 2-Stichproben-t-Test f¨ ur Anteilswerte

Anwendungs- approx.:Y^A∼B(1,pA),Y^B∼B(1,pB),pA,pB unbekannt voraussetzungen X₁^A, . . . ,X_n^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX₁^B, . . . ,Xn^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:pA=pB H0:pA≤pB H0:pA≥pB

Gegenhypothese H1:pA6=pB H1:pA>pB H1:pA<pB

Teststatistik t= bpA−bpB

qS² n_A +^S_n²

B

=bpA−bpB

S

rnA·nB

nA+nB

Verteilung (H0) tf¨urpA=pB n¨aherungsweiset(nA+nB−2)-verteilt (N¨aherung ok, falls 5≤nAbpA≤nA−5 und 5≤nBbpB≤nB−5) Ben¨otigte Gr¨oßen bpA= _n¹

A

Pn_A

i=1X_i^A, bpB= _n¹

B

Pn_B i=1X_i^B, S=

qn_A·bp_A·(1−bp_A)+n_B·bp_B·(1−bp_B) n_A+n_B−2

Kritischer Bereich (−∞,−t_n

A+n_B−2;1−^α

2) (tn_A+n_B−2;1−α,∞) (−∞,−t_nA+nB−2;1−α) zum Niveauα ∪(t_n

A+n_B−2;1−^α

2,∞)

p-Wert 2·(1−Ft(n_A+n_B−2)(|t|)) 1−Ft(n_A+n_B−2)(t) Ft(n_A+n_B−2)(t)

Beispiel: Vergleich von zwei Fehlerquoten

mit approximativem 2-Stichproben-t-Test f¨ur Anteilswerte

Untersuchungsgegenstand: Vergleich von Fehlerquoten zweier Sortiermaschinen

F¨ur einen automatisierten Sortiervorgang werden eine g¨unstige (A) sowie eine hochpreisige Maschine (B) angeboten. Es soll anhand von 2 (unabh¨angigen) Testl¨aufen mit jeweilsn_A=n_B = 1000 Sortiervorg¨angen ¨uberpr¨uft werden, ob die Fehlerquotep_A bei der g¨unstigen MaschineAh¨oher ist als die Fehlerquotep_B der hochpreisigen MaschineB.

Resultat der Testl¨aufe soll jeweils als Realisation einer einfachen Stichprobe aufgefasst werden k¨onnen.

Stichprobeninformation: Bei MaschineAtraten 29 Fehler auf, bei Maschine B 21 Fehler.

(Zwischen-) Ergebnisse aus Stichprobenrealisation:bp_A =₁₀₀₀²⁹ = 0.029, bpB =₁₀₀₀²¹ = 0.021,s=

q1000·0.029·(1−0.029)+1000·0.021·(1−0.021)

1000+1000−2 = 0.156

Gew¨unschtes Signifikanzniveauα= 0.05.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 195

1 Hypothesen:

H0:pA≤pB gegen H1:pA >pB

2 Teststatistik:

t= bpA−bpB

S

rnA·nB

n_A+n_B ist unterH0n¨aherungsweiset(nA+nB −2)-verteilt (f¨urpA=pB). N¨aherung ok, da 5≤29≤995 und 5≤21≤995.

3 Kritischer Bereich zum Niveauα= 0.05:

K = (tn_A+n_B−2;1−α,+∞) = (t1998;0.95,+∞) = (1.646,+∞)

4 Berechnung der realisierten Teststatistik:

t= bpA−bpB

s

rnA·nB

nA+nB

= 0.029−0.021 0.1562

r1000·1000

1000 + 1000 = 1.1452

5 Entscheidung:

t= 1.1452∈/(1.646,+∞) =K ⇒ H₀wird nicht abgelehnt!

(p-Wert: 1−Ft(1998)(t) = 1−Ft(1998)(1.1452) = 1−0.8739 = 0.1261) Der Test kommt also zum Ergebnis, dass eine h¨ohere Fehlerquote der g¨unstigen Maschine nicht best¨atigt werden kann.

Approximativer 2-Stichproben-Gauß-Test

f¨ur Mittelwertvergleiche, wenn Gleichheit der Varianzen ungewiss

Kann in der Situation des exakten 2-Stichproben-t-Test (Y^A undY^B sind normalverteilt mit unbekannten Varianzen) auch unterH0 keine Gleichheit der Varianzen vorausgesetzt werden, m¨ussen andere Testverfahren verwendet werden, z.B. derWelch-Test(hier nicht besprochen).

Als approximativer Test l¨asst sich (zumindest bei hinreichend großen Stichprobenumf¨angen,

”Daumenregel“nA >30 undnB >30) auch eine leichte Modifikation des 2-Stichproben-Gauß-Tests aus Folie 188 verwenden.

Anstelle der (dort als bekannt vorausgesetzten) Varianzenσ_A² undσ²_B sind die erwartungstreuen Sch¨atzfunktionenS_Y²A undS_Y²B einzusetzen und der Test als approximativer Test durchzuf¨uhren.

Die Teststatistik nimmt damit die Gestalt N= X^A−X^B

r

S²

Y A

nA +^S

2 Y B

nB

an und ist unterH0n¨aherungsweise standardnormalverteilt.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 197

Varianzvergleiche bei normalverteilten Zufallsvariablen

N¨achste Anwendung:Vergleich der Varianzenσ²_A undσ_B² zweier

normalverteilterZufallsvariablenY^A∼N(µ_A, σ_A²) undY^B ∼N(µ_B, σ_B²) auf Grundlage zweier unabh¨angiger einfacher StichprobenX₁^A, . . . ,X_n^A

A vom Umfangn_A zuY^A undX₁^B, . . . ,X_n^B

B vom Umfangn_B zuY^B.

Idee:Vergleich auf Grundlage der erwartungstreuen Sch¨atzfunktionen

S_Y²A = 1 nA−1

nA

X

i=1

(X_i^A−X^A)²= 1 nA−1

_nA X

i=1

(X_i^A)²

!

−n_AX^A2

!

bzw.S_Y²B = 1 nB −1

nB

X

i=1

(X_i^B−X^B)²= 1 nB−1

_nB X

i=1

(X_i^B)²

!

−n_BX^B2

!

f¨ur die Varianz vonY^A bzw. die Varianz vonY^B. Es gilt ^(nA−1)·S

2 Y A

σ²_A ∼χ²(nA−1) unabh¨angig von ^(nB−1)·S

2 Y B

σ_B² ∼χ²(nB−1) . Geeignete Testgr¨oße l¨asst sich aus (standardisiertem) Verh¨altnis von

(n_A−1)·S_{Y A}²

σ_A² und ^(nB−1)·S

2 Y B

σ²_B herleiten.

Die Familie der F (m, n)-Verteilungen

Sindχ²_m undχ²_nstochastisch unabh¨angige, mitmbzw.nFreiheitsgraden χ²-verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

F_n^m:=

χ²_m m χ²_n n

=χ²_m χ²_n · n

m

F-Verteilung mit mZ¨ahler- und nNennerfreiheitsgraden, in Zeichen F_n^m∼F(m,n).

Offensichtlich k¨onnenF(m,n)-verteilte Zufallsvariablen nur nichtnegative Werte annehmen, der Tr¨ager ist also [0,∞).

F¨urn>2 gilt E(F_n^m) = _n−2ⁿ .

Als Abk¨urzung f¨urα-Quantile derF(m,n)-Verteilung verwenden wir (wie ¨ublich)F_m,n;α.

F¨ur die Quantile derF(m,n)-Verteilungen gilt der folgende Zusammenhang:

Fm,n;α= 1 F_n,m;1−α

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 199

Grafische Darstellung einiger F (m, n)-Verteilungen

f¨urm,n∈ {2,5,10}

0 1 2 3 4

0.00.20.40.60.81.0

x

f(x)

F(2, 2) F(5, 2) F(10, 2) F(2, 5) F(5, 5) F(10, 5) F(2, 10) F(5, 10) F(10, 10)

Varianzvergleiche (Fortsetzung)

EineF(nA−1,nB−1)-verteilte Zufallsvariable erh¨alt man also in der Anwendungssituation der Varianzvergleiche durch das Verh¨altnis

(nA−1)·S²

Y A

σ²_A (n_B−1)·S²

Y B

σ²_B

·nB−1 n_A−1 =

S²

Y A

σ²_A S²

Y B

σ_B²

,

das allerdings von den (unbekannten!) Varianzenσ²_A undσ_B² abh¨angt.

Gilt jedochσ_A² =σ²_B, so hat auch das Verh¨altnis

F:= S_Y²A

S_Y²B

eineF(nA−1,nB−1)-Verteilung und ist somit als Testgr¨oße geeignet, wenn unterH0(eventuell im Grenzfall) σ_A²=σ²_B angenommen wird.

Offensichtlich sprechen große Werte vonF eher f¨urσ_A² > σ_B², kleine eher f¨ur σ_A² < σ_B², Verh¨altnisse in der N¨ahe von 1 f¨urσ²_A=σ_B².

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 201

Da die Klasse derF-Verteilungen von 2 Verteilungsparametern abh¨angt, ist es nicht mehr m¨oglich,α-Quantile f¨ur verschiedene

Freiheitsgradkombinationen und verschiedeneαdarzustellen.

In Formelsammlung: Tabellen (nur) mit 0.95-Quantilen f¨ur verschiedene Kombinationen vonmundnf¨urF(m,n)-Verteilungen verf¨ugbar.

Bei linksseitigen Tests (zum Niveauα= 0.05) und zweiseitigen Tests (zum Niveauα= 0.10) muss also regelm¨aßig die

”Symmetrieeigenschaft“

Fm,n;α= 1 F_n,m;1−α

verwendet werden, um auch 0.05-Quantile bestimmen zu k¨onnen.

Der resultierende Test ist insbesondere zur ¨Uberpr¨ufung der Anwendungsvoraussetzungen f¨ur den 2-Stichproben-t-Test hilfreich.

Wichtig!

Die Normalverteilungsannahme f¨urY^A undY^B ist wesentlich. Ist diese (deutlich) verletzt, ist auch eine n¨aherungsweise Verwendung des Tests nicht mehr

angebracht.

0.95-Quantile der F (m, n)-Verteilungen F

n\m 1 2 3 4 5 6 7 8

1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371

3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845

4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041

5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818

6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147

7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726

8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438

9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230

10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072

11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948

12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849

13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767

14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699

15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641

16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591

17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548

18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510

19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477

20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447

30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266

40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180

50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130

100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032

150 3.904 3.056 2.665 2.432 2.274 2.160 2.071 2.001

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 203

Zusammenfassung: F -Test zum Vergleich der Varianzen

zweier normalverteilter Zufallsvariablen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), µA, µB, σ_A², σ_B² unbek.

voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von einfacher StichprobeX₁^B, . . . ,X_n^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:σ²_A=σ_B² H0:σ_A²≤σ²_B H0:σ²_A≥σ²_B Gegenhypothese H1:σ²_A6=σ_B² H1:σ_A²> σ²_B H1:σ²_A< σ²_B

Teststatistik F =S_Y²A

S²

Y^B

Verteilung (H0) F unterH0f¨urσ_A²=σ²_B F(nA−1,nB−1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A= _n¹

A

Pn_A

i=1X_i^A, X^B= _n¹

B

Pn_B i=1X_i^B, S_Y²A= _n¹

A−1

Pn_A

i=1(X_i^A−X^A)²=_n¹

A−1

Pn_A i=1(X_i^A)²

−nAX^A2 S_Y²B =_n¹

B−1

Pn_B

i=1(X_i^B−X^B)²=_n¹

B−1

Pn_B i=1(X_i^B)²

−nBX^B2 Kritischer Bereich [0,F_{nA−1,nB−1;}α

2) (Fn_A−1,n_B−1;1−α,∞) [0,Fn_A−1,n_B−1;α) zum Niveauα ∪(F_{nA−1,nB−1;1−}α

2,∞) p-Wert 2·min

FF(n_A−1,n_B−1)(F), 1−FF(n_A−1,n_B−1)(F) FF(n_A−1,n_B−1)(F) 1−F_F(nA−1,n_B−1)(F)

Beispiel: Pr¨ azision von 2 Abf¨ ullanlagen

Untersuchungsgegenstand: Entscheidung, ob Varianz der Abf¨ullmenge von zwei Abf¨ullanlagen ¨ubereinstimmt oder nicht.

Annahmen: Abf¨ullmengenY^A undY^B jeweils normalverteilt.

Unabh¨angige einfache Stichproben vom UmfangnA= 9 zu Y^A und vom UmfangnB = 7 zuY^B liefern realisierte Varianzsch¨atzungens_Y²A = 16.22 sowies_Y²B = 10.724.

Gew¨unschtes Signifikanzniveauα= 0.10.

Geeigneter Test:F-Test f¨ur die Varianzen normalverteilter Zufallsvariablen

1 Hypothesen:H0:σ_A²=σ²_B gegen H1:σ_A²6=σ²_B

2 Teststatistik:F = S_Y²A

S_Y²_B ist unterH0F(nA−1,nB −1)-verteilt.

3 Kritischer Bereich zum Niveauα= 0.10:Mit F8,6;0.05= 1/F6,8;0.95= 1/3.581 = 0.279:

K = [0,Fn_A−1,nB−1;^α₂)∪(Fn_A−1,nB−1;1−^α₂,+∞) = [0,F8,6;0.05)∪(F8,6;0.95,+∞) = [0,0.279)∪(4.147,+∞)

4 Berechnung der realisierten Teststatistik:F= s_Y²A

s_Y²_B = 16.22

10.724 = 1.512

5 Entscheidung:F ∈/ K ⇒ H₀wird nicht abgelehnt!

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 205

Beispiel: p-Wert bei F -Test f¨ ur Varianzen (Grafik)

Abf¨ullanlagenbeispiel, realisierte TeststatistikF = 1.512,p-Wert: 0.632

0.00.10.20.30.40.50.6

x fF(8, 6)(x)

F8, 6, 0.05 F=1.512 F8, 6, 0.95

1−p=0.368 p

2=0.316 p

2=0.316