Es gilt |an−a

SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie

L¨osung zu H3, Blatt 6(Diese Aufgabe subsumiert T4) Zun¨achst beweisen wir das folgende n¨utzliche Lemma.

Lemma(Die Mutter aller Schlachten.)

Sei (a_n,k)(n,k)∈N² eine doppelt indizierte Folge, sodass

1. F¨ur jedes n ∈N existierta_n= limk→∞a_n,k und ist gleichm¨assig inn.

2. F¨ur jedes k ∈N existiert b_k = limn→∞a_n,k. 3. Es existiert a= lim_k→∞b_k.

Dann existiert lim_n→∞a_n und ist gleich a.

Beweis. Sei >0 gegeben. Es gilt

|a_n−a| ≤ |a_n−a_n,k|+|a_n,k−b_k|+|b_k−a|.

W¨ahlek =K gross genug, sodass f¨ur jedes ngilt |a_n−a_n,K|< ₃ und|b_K−a|< ₃. W¨ahle dann, f¨ur dieses K nochN ∈Nsodass f¨ur jedes n≥N gilt|a_n,K−b_K|< ₃. Es folgt dann insgesamt, wegen der Ungleichung oben, dass f¨urn ≥N

|a_n−a|< .

Wir zeigen die Behauptung zun¨achst f¨ur X =1_A, mit A∈ F_∞. Sei dazu B ={A∈ F∞:kP(A|F_n)−1_Ak_p →0, n→ ∞}.

Es ist zu zeigen, dassB =F∞ ist (Zwischenbehauptung).

Da (F_n)_n eine monoton wachsende Folge vonσ−Algebren ist, folgt f¨ur jedesA ∈ ∪n≥1F_n, dass P(A|F_n) = 1_A schliesslich f¨ur n→ ∞. Also dass B enth¨alt ∪n≥1F_n, einen

∩− stabilen Erzeuger von F∞. Wegen Satz 1.38, Seite 16 ANA3-Skript reicht nun zu zeigen, dass B ein Dynkin-System ist.

Es ist klar, dass ∅ ∈B, da 1∅ = 0. Ausserdem, wegen der trivialen Identit¨at

1A−P(A|Fn) = P(A^c|Fn)−1A^c folgt dass B abgeschlossen bzgl. Komplementbildung ist. Seien nun {A_m}m∈N paarweise disjunkte Mengen aus B. Es gilt also f¨ur jedenm∈N

kP(A_m|F_n)−1_Amk_p →0, n → ∞.

Wegen der Dreiecksungleichung f¨ur dieL^p-Normk · k_p impliziert das sofort, dass f¨urk∈N

kP(∪^k_m=1A_m|F_n)−1_∪^k

m=1Amk_p =k

k

X

m=1

(P(A_m|F_n)−1_Am)k_p

≤

k

X

m=1

kP(A_m|F_n)−1_Amk_p →0, n→ ∞.

Somit auch

k→∞lim lim

n→∞kP(∪^k_m=1A_m|F_n)−1_∪^k

m=1Amk_p = 0. (1)

Nun aber ist f¨ur festes n, wegen der gleichm¨assigen Absch¨atzung

|P(∪^k_m=1Am|Fn)−1_∪^k

m=1Am|^p ≤2^p, und wegen limk→∞(P(∪^k_m=1A_m|F_n)− 1_∪^k

m=1Am) = P(∪m≥1A_m|F_n)−1∪m≥1Am (letzteres durch mo- notone Konvergenz von bedingten Erwartungen) dominierte Konvergenz anwendbar und man kriegt

k→∞lim kP(∪^k_m=1Am|Fn)−1_∪^k

m=1Amkp =kP(∪m≥1Am|Fn)−1∪m≥1Amkp. Dieser letzter Limes ist sogar gleichm¨assig inn ∈N, denn

|E[|P(∪^k_m=1A_m|F_n)−1_∪^k

m=1Am|^p− |P(∪m≥1A_m|F_n)−1∪m≥1Am|^p]|

≤p2^p−1E[|P(∪m≥k+1A_m|F_n)−1∪_m≥k+1Am|]

≤p2^pP(∪m≥k+1A_m)→0, k → ∞.

In der ersten Ungleichung haben wir die grobe Absch¨atzung ||a|^p− |b|^p| ≤ p2^p−1|a−b|

f¨ur |a|,|b| ≤ 2 benutzt, die man leicht durch die Taylor-Formel von Grad 1 angewendet auf f(t) = t^p verifizieren kann. In der zweiten Ungleichung haben wir einfach die ¨ubli- che Dreiecksungleichung benutzt und die Eigenschaft E[E[X|F]] = E[X] f¨ur bedingte Erwartungen (die durch Turmeigenschaft oder durch die definierenden Eigenschaften der bedingten Erwartung leicht zu verifizieren ist). Die letzte Limes-Aussage stimmt, denn

k→∞lim P(∪m≥k+1A_m) = lim

k→∞

X

i≥k+1

P(A_i) = 0,

daP

i≥1P(A_i) = P(∪i≥1A_i)<∞.

Es folgt also dass unser anf¨angliche Lemma anwendbar ist, d.h. in (1) sind die beiden Limesprozesse vertauschbar und somit

n→∞lim kP(∪m≥1Am|Fn)−1∪m≥1Amkp

= lim

n→∞ lim

k→∞kP(∪^k_m=1A_m|F_n)−1_∪^k

m=1Amk_p = 0.

Insgesamt folgt, dass∪^k_m≥1A_m ∈B ist, falls{A_m}m∈Npaarweise disjunkte Mengen ausB.

B ist somit ein Dynkin-System, also wegen fr¨uherer ¨Uberlegung B = F∞. Also gilt die Behauptung f¨ur Indikator-Funktionen.

Sei nun X = Pm

i=1c_i1_Ai, c_i ∈ R, A_i ∈ F∞. Es gilt mit der Dreiecksungleichung f¨ur die L^p−Norm

kE[X|F_n]−Xk_p =k

m

X

i=1

(c_iE[1_Ai|F_n]−c_i1_Ai)k_p

≤

m

X

i=1

|ci|kE[1Ai|Fn]−1Aikp →0, n→ ∞,

da die Aussage f¨ur Indikator-Funktionen stimmt. Somit haben wir gezeigt, dass die Aus- sage auch f¨ur Treppenfunktionen stimmt.

Sei nunX ∈L^P(Ω,F∞, P),1≤p <∞beliebig und >0. Sei dann auchY eine Treppen- funktion aus L^P(Ω,F∞, P) mit kX −Yk_p < ₃. Dies gibt es immer da die Treppenfunk- tionen eine (in der Metrik erzeugt vonk · k_p−Norm) dichte Teilmenge von L^P(Ω,F_∞, P) sind. Es gilt nun

kE[X|Fn]−E[Y|Fn]k^p_p =E[|E[X|Fn]−E[Y|Fn]|^p]

≤E[(E[|X−Y||Fn])^p]≤E[E[|X−Y|^p|Fn]] = E[|X−Y|^p] =kX−Yk^p_p.

Hier haben wir bei den beiden Ungleichungen die Jensen’sche Ungleichung f¨ur bedingte Erwartungen benutzt (sowohl die Betragsfunktion als auch die Funktion f(t) = t^p, f¨ur p ≥ 1 sind konvex). W¨ahle nun noch N ∈ N mit kE[Y|F_n]−Yk_p < ₃. Dies ist m¨oglich denn die Aussage stimmt f¨ur Treppenfunktionen wie oben gezeigt. Dann folgt f¨urn≥N wegen den Rechnungen davor

kE[X|F_n]−Xk_p

≤ kE[X|Fn]−E[Y|Fn]kp+kE[Y|Fn]−Ykp+kX−Ykp

≤ kE[Y|F_n]−Yk_p+ 2kX−Yk_p <

3+ 2 3 =. Dies zeigt die Behauptung.