Komplexe Integration
f heißt integrierbar längs der Kurve C : [a, b] → C, falls für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge und beliebige zugehörige Zwischenwerte stets der Grenzwert der Zwischensummen existiert. Dieser ist unabhängig vom der gewählten ausgezeich- neten Zerlegungsfolge und wird als das Kurvenintegral von f über C definiert.
Wie im Reellen gilt: Jede längs C integrierbare Funktion ist beschränkt. Hinrei- chend für die Integrierbarkeit ist die Rektifizierbarkeit von C und die Stetigkeit von f aufC. (Im Folgenden seien daher alle stetigen Kurven rektifizierbar.) Standardabschätzung: Sei f stetig auf C und |f(z)| ≤M für alle z ∈C. Dann gilt
Z
C
f(z) dz
≤M·Länge(C).
Umrechnung komplexe auf reelle Integrale:
Seif =f(z) = u(x, y)+iv(x, y) mitz =x+iystetig auf der stetigen KurveC ⊂C. Ferner besitze C eine Parameterdarstellung z(t) = x(t) +iy(t) mit t ∈ [a, b], die regulär und stetig differenzierbar ist, d.h. x0(t)2+y0(t)2 6= 0. Dann gilt
Z
C
f(z) dz =
Z
C
u dx−v dy+i
Z
C
u dy+v dx oder auch
Z
C
f(z) dz =
Z b a
f(z(t)) z0(t) dt.
Approximation der Integrationswege durch Polygonzüge: Sei f stetig in einer Umgebung U der Kurve C. Dann ex. zu jedem >0 ein Polygonzug P mit Anfangspunkt vonP = Anfangspunkt vonC und analog Endpunkt, sodass dessen Eckpunkte auf C liegen und P ⊆U gilt mit
Z
C
f(z) dz−
Z
P
f(z)dz
≤.
1
Hauptsatz: Sei f in einem Gebiet G ⊆ C stetig und dort gleich der komple- xen Ableitung einer Funktion F = F(z). Dann gilt für jede Kurve C ∈ G mit Anfangspunkt A, EndpunktB:
Z
f(z) dz =F(B)−F(A).
Vertauschbarkeit von Grenzübergang und Integration: Sei (fn) eine gleich- mäßig konvergente Folge stetiger Funktionen längs einer Kurve C mit Grenzwert f. Dann gilt
n→∞lim
Z
C
fn(z)dz =
Z
C
f(z) dz.
Cauchyscher Integralsatz: Sei G ⊆ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f holomorphe Funktion in G. Dann gilt für jede geshlossene Kurve C, stetig und rektifizierbar, inG:
Z
C
f(z)dz = 0.
Cauchysche Integralformel: Sei f in einem Gebiet G ⊆ C holomorph. Ferner seiC eine geschlossene, doppelpunktfreie Kurve in G(stetig, rektifizierbar), deren Inneres vollständig zu G gehört und die positiv durchlaufen wird. Dann gilt für jeden Punkt z0 im Inneren vonC:
f(z0) = 1 2πi
Z
C
f(z) z−z0dz.
Entwicklung in Potenzreihen: Sei f in z0 ∈ C holomorph. Dann lässt sich f in z0 in eine Potenzreihe f(z) =P∞n=0an(z−z0)n entwickeln, deren Koeffizienten eindeutig bestimmt sind. Die PR konvergiert mind. innerhalb des größten Kreises K umz0, in dem f holomorph ist. IstC eine geschlossene, doppelpunktfreie Kurve inK, die z0 einmal im positiven Sinne durchläuft, dann gilt:
an = f(n)(z0) n! = 1
2πi
Z
C
f(z)
(z−z0)(n+1)dz.
Satz von Lioville: Jede beschänkte, ganze (d.h. in ganz Cholomorphe) Funktion ist konstant.
Maximumsprinzip holomorpher Funktionen: Sei f im Gebiet G holomorph und M = supz∈G|f(z)|. Existiert ein z0 ∈ G mit |f(z0)| = M, dann ist f in G konstant.
