Ubungen zur Theoretischen Physik V, SS 2007, Blatt 11 ¨

Ubungen zur Theoretischen Physik V, SS 2007, Blatt 11 ¨

Aufgabe 17: Greensche Funktion und Suprafluidit¨at

Wir studieren weiter die Lagrange-Funktion der Aufgabe 16. Bestimmen Sie die Greensche Funktion G(ω,p) = M⁻¹(ω,p), wobei M(ω,p) die Fouriertransformierte der Matrix ist, die in der linearisierten Feldgleichung der Aufgabe 16 aufgetreten war. Diskutieren Sie die physikalische Bedeutung der Matrixelementen. Zeigen Sie, dass die Polen von G(ω,p) das Energiespektrum ergibt, das in der Aufgabe 16 bestimmt wurde.

4 Punkte Aufgabe 18: Kondensat-Entleerung (auf Englisch: “ Depletion of the condensa- te”) in verd¨unnten Bose-Einstein-Kondensaten

Diese Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgaben 16 und 17.

Die Teilchendichte ist durch n=h|ψ(x, t)|²i definiert w¨ahrend die Kondensatdichte n0 mit

|ψ₀|² identifiziert wird.

(a) Zeigen Sie, dassn=n0+h|δψ(x, t)|²i ist.

(b) Benutzen Sie die Greensche Funktion, die in der Aufgabe 17 abgeleitet wurde, um zu zeigen, dass

h|δψ(x, t)|²i=

Z d^dp (2π)^d

"_p2

2m +n0g 2E(p) −1

2

# ,

wobei

E(p) = r p⁴

4m² +n₀gp² m ist.

(c) Betrachten Sie die Γ-Funktion:

Γ(z) = Z ∞

0

dt t^z−1e^−t Zeigen Sie, dass

1 λ^z = 1

Γ(z) Z ∞

0

dτ τ^z−1e^−λτ

(d) Benutzen Sie die Teilaufgabe (c), um dasp-Integral der Teilaufgabe (b) auszurechnen.

Das Ergebnis soll lauten:

h|δψ(x, t)|²i= S_d(d−2) 16π^d+1/2Γ

−d 2

Γ

d−1 2

(mn₀g)^d/2.

Weil δψ(x, t) als klein betrachtet wird, was eingentlich n−n0 n bedeutet, ist es sinnvoll in der obigen Formel n0 durch n zu ersetzen. F¨ur d = 3 ist es Konvention g= 4πa/mzu schreiben, wobeiadie sogennantes-Wellen-Streul¨ange ist. Daraus folgt f¨urd= 3 die ber¨uhmte Bogoliubov-Formel f¨ur die Kondensat-Entleerung:

n₀ =n 1−8 3

rna³ π

! .

8 Punkte

Aufgabe 19: Exakt l¨osbarer anharmonischer Oszillator

Betrachten Sie den Hamilton-Operator eines anharmonischen Oszillators mit der Masse m= 1:

H = 1

2(p²+ω²x²) + U

8ω²(p²+ω²x²−ω)(p²+ω²x²−3ω).

(a) Bestimmen Sie die Energieeigenwerte und Eigenzust¨ande.

(b) Berechnen Sie die Propagatoren (Greensche Funktionen)G_x(t) =−ihT[x(t)x(0)]iund G_p(t) =−ihT[p(t)p(0)]i.

4 Punkte

Ausgabetermin: 02.07.2007, Abgabetermin: 11.07.2007, 12 Uhr