Technische Universität Berlin
Fakultät V - Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik
FG Systemdynamik
und Reibungsphysik Dr.-Ing. Markus Heÿ
www.reibungsphysik.de
Dynamik von (Schienen-)Fahrzeugen SoSe 2016
Hausaufgabe 2 / Übung 3: Dynamik von Mehrkörpersystemen Freie Vertikalschwingungen
Aufgabe 1: 2D-Modell einer Automobilradaufhängung mit 2 FHG
(Hausaufgabe)
Das abgebildete System zeigt das Modell für die Radaufhängung eines Automobils. Die Primärfesselung erfolgt hier über den Reifen, der als linear elastisch mit der Steigkeitk1angenommen werden soll. Für die Federung und Dämpfung des Fahrzeugaufbaus gegenüber der Fahrzeugachse sind die Sekundärstei- gkeitk2 und die Sekundärdämpfungd2 verantwortlich. Die Koordinatenuz1 unduz2 werden aus der statischen Ruhelage heraus gezählt.
a) Stellen Sie das Bewegungsdierenzialglei- chungssystem in Matrizenschreibweise auf.
b) Überführen Sie das Dierenzialgleichungs- system 2.Ordnung in ein Dienerenzialglei- chungssystem 1.Ordnung der Form
I·y˙−A·y= 0,
woriny den neuen Zustandsvektor
y:=
v1
v2
u1
u2
mit
v1
v2
= u˙1
˙ u2
angibt und für die HypermatrixAgilt:
A:=
−M−1·D −M−1·C
I 0
gilt.
c) Lösen Sie das Eigenwertproblem λI−A
·yˆ= 0
mit einem mathematischen Programm ihrer Wahl, d.h. ermitteln Sie mit Hilfe des Programms sowohl die Eigenwerte als auch die Eigenvektoren für die Verschiebungen u. Aufgrund der mehr- deutigen Lösung ist es üblich (und bequem) je eine der beiden Komponenten der Eigenvektoren zu 1 zu setzen. Setzen Sie bitte daher je die 2. Komponente der Eigenvektorenuˆzu 1.
Geben Sie auch die Eigenfrequenzen des Systems an.
Gegeben: m1= 60kg;m2= 800kg;k1= 1,2·105mN;k2= 2·104Nm;d2= 2·103Nsm
Aufgabe 2: 2D-Modell eines Schienenfahrzeugs mit 5 FHG
ideale Gleislage reale Gleislage
dx
dz
v0 uxw
g
cz
cx mR
zv uxv
uzw
uxh
ΘR
zh
w Θw
mw
ex
ez
ex
, ,
dx
dz cz
cx x
z
a) Wofür könnte das System als Modell dienen? Welche Ergebnisse können gewonnen werden?
b) Im Allgemeinen besitzt das System 9 Freiheitsgrade (3 starre Körper in der Ebene). Wie kann diese Zahl reduziert werden?
c) Finden Sie die Lagrange-Funktion des Systems. Vernachlässigen Sie zunächst die Dämpfungs- terme. Die Gleislagezh(t)und zv(t)wirken als äuÿere Anregungen des Systems. Der Nickwinkel ϕW soll klein sein.
d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Langrange -Gleichungen 2. Art das Bewegungsdierentialgleichungs- system der FormM·q¨+C·q=f. Erweitern Sie das System um die passenden Dämpfungsterme.
Bedenken Sie, dass alle Dämpfer parallel zu Federn geschaltet sind, die Dämpfungsmatrix kann daher direkt angegeben werden.
Ab hier als Hausaufgabe
e) Transformieren Sie in den Zustandsraum, so dass ein DGL-System 1. Ordnung entsteht. Vernach- lässigen Sie zunächst Anregungs- und Dämpfungterme und bringen Sie das DGL-System in die Form eines Eigenwertproblems.
f) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren mit einem Programm Ihrer Wahl (z.B. Mathematica, Octave, Matlab, Maple etc.) und bestimmen Sie damit die Eigenfrequenzen und Eigenformen in den Verschiebungen für die fünf Freiheitsgrade unter Verwendung der folgenden Werte (Steigkeiten entsprechen einer Sekundärfesselung). Bitte geben Sie die Eigenfrequenzen in Hz an und normieren Sie die rellen Eigenvektoren so, dass der betragsmäÿig gröÿte Eintrag stets±1beträgt.
mW= 32·103kg ΘW= 2·106kgm2 mR= 5600kg ΘR= 224kgm2
r0= 0,46m ex= 13,2m ez= 2m cx= 320·103N/m cz= 860·103N/m
g) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen aus der Tabelle 4.3, Seite 102 im Buch Schienenfahr- zeugdynamik von K. Knothe und S. Stichel und identizieren Sie die einzelnen Eigenmoden.
h) Was würde sich qualitativ an den Ergebnissen ändern, wenn die Dämpfung berücksichtigt werden würde?
Abgabe bitte bis spätestens zum 27.05.2016.
