Zusammenfassung Kinematik in einer Dimension

4a Kinematik

Mehrdimensionale Bewegungen

Zusammenfassung Kinematik in einer Dimension

Kinematk beschreibt die Bewegung von Körpern

Die Beschreibung muss immer in Bezug auf ein Referenzsystemerfolgen.

In der Regel ist dies die Erde. Andere Systeme sind möglich und erleichtern möglicherweise die Analyse.

Translationist die Änderung der Position eines Körpers.

t x

avg

Δ

= Δ v

Die instantane Geschwindigkeitist die mittlere Geschwindigkeit in einem infinitesimalen

Zeitintervall.

dt x

= d

= x

v &

Die mittlere Geschwindigkeiteines Körpers ist die zugelegte Strecke in einer bestimmten Zeit.

Die instantane Beschleunigung ist die mittlere Beschleunigung in einem infinitesimalen

Zeitintervall.

v v dt

a = & = d

Bei konstanter Beschleunigungin einer Dimension sind die Beschleunigung a, die Geschwindigkeiten v,

v 0 und die Positionen x, x 0 gegeben durch

(

0

)

2 0 2

0

2 v v

v v

x x a

at

− +

=

+

=

2 v v v

2 ² v 1

x x

0 0 0

= +

+ +

= t at

Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit Δt in einem bestimmten Zeitintervall. Die mittlere

Beschleunigung in einem Zeitintervall Δt ist

a

_avg

t Δ

= Δ v

Körper die vertikal nach oben oder vertikal nach unten in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt

werden, erfahren eine konstante Beschleunigung durch die Gravitation. Der Wert der

Gravitationsbeschleunigung ist 9.81 m/s². Dabei vernachlässigt man den Luftwiderstand.

Fallexperimente

Fallturm in Bremen

Höhe 110 m

Fallröhre kann evakuiert werden Fallzeit 5s

Geschwindigkeit beim Aufprall 165 km/h

Tropfen unter Mikrogravitation

Geschwindigkeits-Feld

Jedem Punkt im Raum wird ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

) , , , ( v

) , , , ( v

) , , , ( v t)

z, y, v(x,

z y x

t z y x

t z y x

t

z

y

x

Vektoren

4 blocks west

10 blockssouth

10.77 blocks Ziel

Start

)² Blocks 4

( )² Blocks 10

( Blocks

77 .

10 = +

Abstand Start-Ziel

Skalare und vektorielle Größen

Skalare: Physikalische Größen ohne Richtungsabhängigkeit

Temperatur, Druck, Energie, Masse, Zeit

Vektoren: Physikalische Größen mit Richtungsabhängigkeit

Translation, Geschwindigkeit, Beschleunigung

→

a

→

b

→

c

Vektorsumme

→

→

→

c = a + b

→

→

→

→

a + b = b + a

Kommutativgesetz

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + +

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

^→

a

^→

b

^→

c

^→

a

^→

b

^→

c

Assoziativgesetz

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

+

=

−

=

^{→ → → →}

→

b a

b a c

Vektorsubstraktion

Vektoraddition

graphisch

Vektoren können in beliebiger

Reihenfolge zusammengesetzt werden

Vektoraddition

graphisch

Vektoren können in beliebiger Reihenfolge zusammengesetzt werden

a r

b r

b a r + r

b r

a b r r

+

a b

b

a r + r = r + r

Kommutativgesetz

a r

Vektoraddition

graphisch

a r b r

c r b

a r + r

( ) ^{a r + b r + c r}

a r b r

c r c

b r v +

( ) ^{b c}

a r + r + r

( ) ^{a r + b r + c r = a r +} ( ) ^{b r + c r}

Assoziativgesetz

Vektorsubstraktion

graphisch

A r B r

A r

B - r

A r

B - r

B - A C r r r

= B r

( ) ^{- B}

A B

- A

C r r v r v +

=

= A r

A

- r

Vektorkomponenten

analytisch

A r α

A

x

A

y

y

x

A

A A r = +

α Acos A

_x

=

α Asin A

_x

=

y x

A tan

^-1

α = A

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

+

=

+

= +

=

+

= +

=

−

y 1 x

2 2

y y

y

x x

x

C tan C

C C

C

Bsin Asin

B A

C

Bcos Acos

B A

C

γ

β α

β α

y x

A r α C

x

C

y

A

x

B r

A

y

B

y

B

x

γ β

analog

Vektorsubstraktion

C r

Einheitsvektoren

x y

z

e r

x

e r

y

e r

z

z y

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

e z e

y e

x r

e b e

b e

b b

e a e

a e

a a

r r

r r

r r

r r

Einheitsvektoren sind Vektoren die in eine bestimmte Richtung zeigen und die Länge 1 haben.

r r

r r

+ +

=

+ +

=

+ +

=

( ^{1 km} ) ^{in Richtung West 3} ( ^{1 km} ) ^{in Richtung Nord}

2 gerechnet aus

Zentrum vom

Ziel = ⋅ + ⋅

r r x

y

= 1

e r

x

Translation

( ) ( )

( ) ( ) ( )

z y

x

z y

x

z y

x z

y x

e z e

y e

x r

e z z

e y y

e x x

r

e z e

y e

x e

z e

y e

x r

r r

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r

r r

r

Δ + Δ

+ Δ

= Δ

− +

− +

−

= Δ

+ +

− +

+

= Δ

−

= Δ

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

2 2

1 2

r r Δ

r r

2

r r

1

Geschwindigkeit

z y

x

z y

x avg

t e e z

t e y

t x

t

e z e

y e

x t r

r r

r r

r r

r r r r

Δ + Δ Δ

+ Δ Δ

= Δ

Δ

Δ

− Δ

+

= Δ Δ

= Δ

avg avg

v v v

Mittlere Geschwindigkeit

Momentane Geschwindigkeit

( )

z y

x

z y

x

dt e e dz

dt e dy

dt dx

e z e

y e

dt x d dt r

d

r r

r r

r r

r r

r r

+ +

=

+ +

=

=

v v v

Die Richtung des Vektors der momentanen Geschwindigkeit ist die

Tangente am Ort des Teilchens

Beschleunigung

t a

_avg

t

Δ

= Δ Δ

= v r

₂

− v r

₁

v r r

Mittlere Beschleunigung

( )

z z

y y

x x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

dt a d

dt a d

dt a d

e a e

a e

a a

dt e e d

dt e d

dt a d

e e

dt e a d

dt a d

v ,

v ,

v

v v v

v v

v v

=

=

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

=

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Momentane Beschleunigung

Die Richtung des Vektors der

momentanen Beschleunigung zeigt nicht in Richtung der Bahn sondern die

Richtung der resultierenden Beschleunigung

Die Tour des Mistkäfers

Parastizopus armaticeps

Ameisen zählen ihre Schritte Auch Ameisen können zählen - und zwar nicht nur bis drei. In einem

Experiment stellte sich heraus, dass Wüstenameisen sich anhand

ihrer Schrittzahl orientieren.

Forscher fanden das heraus, indem sie den Tieren die Beine

verlängerten oder kürzten.

20. Juni 2006

Stroboskopaufnahme eines aufprallenden Balls

E.J. Marey Balle Balle rebondissante, étude de trajectoire (1886) Zeit

Zeit

Die Antwort auf diese Frage gibts erst die Thermodynamik (Entropie)

Superpositionsprinzip

0.0s 0.1s

0.2s

0.3s

0.4s

0.5s

v

_x

v

_y

Geschwindigkeits- Komponenten

Bewegungen endlang senkrechter

Richtungen sind unabhängig voneinander

Skateboard

Geschwindigkeitskomponente in Geradeausrichtung bleibt

erhalten!

Feuerwerk

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

Luftreibung wird vernachlässigt

x 0x

x

x 0

v v

v

v

=

=

+

= x t x

Horizontale Bewegung a

_x

=0

Vertikale Bewegung a

_y

=-g=-9.81 m/s²

) (

2 v

v

2 v 1

v v

v

0 2

0y 2

y

2 0y

0 0y x

y 0

y y

g

gt y

y

gt t x

y

−

−

=

− +

=

−

=

+

=

Höchster Punkt der Flugbahn: v

_y

=0

m/s 70

v r

₀

=

°

= Θ 75

m

= 125

x

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

y g

gy

y y

g

2 v

2 v

0

) (

2 v

v

2 0y 2 0y

0 2

0y 2

y

=

−

=

−

−

=

( ^{70 m/s} )( ^sin75 ) ^{67 . 6 m/s}

v

_0y

= ° =

0 0

0y

v sin

v = Θ

( )

( ^{9.81 m/s²} ) ^{232.9 m}

2

m/s 67.6

²

=

=

Scheitelpunkt hängt nur von y

der vertikalen Komponente der Geschwindigkeit ab

Höchster Punkt der Flugbahn: v

_y

=0

m/s 70

v r

₀

=

°

= Θ 75

m

= 125

x

Schräger Wurf

Aristoteles:

a) gerade ansteigende Linie b) gekrümmtes Kurvenstück c) senkrechter Fall

Vorstellung gültig bis ins 16. Jahrhundert Ursache

Eine lebendige Kraft (vis viva) treibt den Körper an, die dann erlischt, sodass der Körper in einer Kurve zu Boden fällt.

Rivius 1547

Paradigmenwechsel bei Galilei:

Annahme idealisierter Bedingungen, d.h.

Vernachlässigung des Luftwiderstandes

Wurfweite

Horizontale Bewegung

t x

x −

₀

= v

_0x

Vertikale Bewegung

Θ

= v cos v

_{0x 0}

( ^Θ ) ^t

= v cos x

-

x

_{0 0}

( ) ^²

2 sin 1

v y

-

y

₀

=

₀

Θ t − gt 2 ²

v 1 y

-

y

₀

=

_0y

t − gt v r

Θ

= v cos v

_{0x 0}

Θ

= v sin v

_{0y 0}

Θ

x

y

Wurfweite

Horizontale Bewegung

Vertikale Bewegung

t x

x −

₀

= v

_0x

v

_0x

= v

₀

cos Θ

( ^Θ ) ^t

= v cos x

-

x

_{0 0}

( ) ^²

2 sin 1

v y

-

y

₀

=

₀

Θ t − gt 2 ²

v 1 y

-

y

₀

=

_0y

t − gt

( ^tan ) ² ( ^{v cos} ) ^²

y

₂

0

g x

x − Θ

Θ

=

Zeitunabhängige Gleichung

= Θ

cos v

x - x

0

t

0

2

0

cos v

2 1 cos

y sin ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− Θ Θ

= Θ x

g x

Anfangsbedingung: x₀=0, y₀=0

allgemeine Form, Θ, g, v₀ konstant

f(x) = ax − bx

2

Bahnkurve is Parabel

Wurfweite

Abhängigkeit vom Winkel

( ^Θ ) ^t

= v cos x

_{max 0}

( )

²

0

max 0

max

0

2 v cos

1 cos

sin v v

0 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− Θ Θ Θ

= x

x g

Aufschlagort y(x_max)=0

Zeitunabhängige Gleichung

= Θ

cos v

x

0

t

max

( ) ^²

2 sin 1

v

0 =

₀

Θ t − gt

Θ

= Θ

Θ cos sin 2 sin

2

( ) (

₀

)

²

2 max 0

max

0

sin v cos v cos

2 v

= Θ

Θ x Θ x

g

Trigonometrie

Θ Θ

= 2 v

₀²

sin cos

max

g

x Θ

= v

₀²

sin 2

max

g

x maximal wenn

sin2Θ=1, d.h. Θ=45°

gilt natürlich nur, wenn

y(x=0)=y(x=x

_max

)

Home Run

Home Run

Wurfweite

Arenal Vulkan, Costa Rica Letzter Ausbruch 1968

Wurfweite

berechnet mit Vektoren

Anfangsbedingungen

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

0 0

, v v 0)

(t v , 0 0 )

0

(

₀

0

g a

h t

r

_y

x

r

r r

Bewegung in der x-y Ebene

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

− +

=

0 2 ² v 1

v )

(

₀

0

h gt t

h

t t

r

_y

x

r

h gt t

h t

y

t t x

t t

x

y

x x

2 ² v 1

) (

v ) v (

) (

0

0 0

− +

=

=

⇒

=

Einzelne Komponenten

v

_x0

v

_y0

x y

h

v r

2

0 0

0

2 v

1 v v

)

( ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

=

x x

y

g x h x

x y

v ² 2 1 v

) v

(

₂

x0 0

0

g x

x h

x y

x

y

−

+

=

Θ

Wurfweite

berechnet mit Vektoren

v

_x0

v

_y0

x y

h

v r v ²

2 1 v

) v

(

₂

x0 0

0

g x

x h

x y

x

y

−

+

=

0 ) ( t = dx y

d

das haben wir schon mal berechnet Scheitelpunkt

Θ

=

Θ

= Θ

=

⇒

−

=

2 2g sin

v

sin v cos v

v v v

v 0 v

2 0

0 0

0 0 2

x0 0

0

Scheitel Scheitel

y x Scheitel

Scheitel x

y

x x g

x g g x

Θ

32

Wurfweite

berechnet mit Vektoren

v

_x0

v

_y0

x y

h

v r

v ² 2 1 v

) v

(

₂

x0 0

0

g x

x h

x y

x

y

−

+

=

Wurfweite

0 ) ( x = y

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ + + Θ

=

⎟ +

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

± ⎛

−

=

=

−

−

− +

=

2 2

s 2 0 max

2 x0 2

0 x0 0

0 max

2 x0 max

0 2 x0

max

2 2 max x0 0

0

gx sin v 1 2

1

v v 2

v g

v v

v 0 v 2

2v

v 2 1 v

0 v

x h x

g h x g

g x h

x g

g x x

h

s

y y

x

y x y

a

ac b

x b

c bx ax

2 4

²

²

−

− ±

=

⇓

= + + Θ

=

= sin 2

2g v v

v

²

0 0 0

x

_Scheitel ^x

g

^y

Scheitelpunkt

Θ

Robinson Crusoe

s 78 s²

9.81 m s 381 m 2

2 v v

v 0

0 0

≈

=

⇓

= +

=

−

=

=

Geschoß

down up

Geschoß

t

t g t

t

gt

Geschwindigkeit der Munition v ₀=381 m/s

Geschoss Boot

Geschoß

t

d = v

Wie weit bewegt sich das Geschoss?

v

Boot

Im Film dauert das nur etwa sechs Sekunden

Robinson Crusoe

Am Scheitelpunkt ist v=0

Geschoss Boot

Geschoß

t

d = v

Wie weit bewegt sich das Geschoss?

Das Boot steht, wenn das Geschoss trifft, d.h.

konstante Abbremsung bis zum Treffer

Geschoß Boot

Boot

final

Boot Geschoß

Boot Boot

final

Geschoß Boot Boot

Boot Boot Boot

t d

t d a t

d a

2 v 1

0 v

2 v v

v

v 2 v

v

2 2

2 2

=

=

−

=

=

−

=

Das Geschoss verfehlt das Boot um 82 m!

v

Boot

Zu Beginn hat das Boot hat gewisse Geschwindigkeit (2 m/s)

Robinson Crusoe

Gedankenspiel

Annahme bislang

x

_max

<< Erdradius

- maximale Weite wird stark vergrößert - Erde dreht sich unter dem Projektil weg - g ändert seine Richtung

- Orbit bei genügend hoher Geschwindigkeit - unendliche Fallszeit

Newtons Zeichnung

Es wird Zeit, dass wir uns auch um Kräfte kümmern

Extreme Würfe

Let`s Jump

Let`s Jump at 66 mph

70

s 30 m 3600s

h km

1000m mile

1.609 km h

miles h 66

miles

66 = ⋅ =

15 m

!!! Fahrbahn ist flach !!!

0.5s s

30 m 15m v

_x

= =

= x

t ( 0.5 s ) 1.2 m

s² 9.81 m 2

² 1 2

1 = −

2

= −

−

= gt y

Resultat: Bus kracht in die Fahrbahn

Let`s Jump at 66 mph

Bus verlässt mit einem Winkel von 20° die Strasse.

°

= 20 α

Flugbahn annähernd parallel zur Fahrbahn

Landung knapp hinter Baulücke

( 2 20 ) 59m sin

s² 9.81 m

s 30 m

2 v sin

2

max

2 0 max

=

°

⋅

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

Θ

=

x

x g

zu weit und damit zuviel des guten

°

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Θ

⁻

4 . 7

sin v 2 1

2 0 1

x

_opt

g

Optimaler Winkel

Addition von Geschwindigkeiten

Θ

⋅

= v cos v

_x

s

y

m

x

v 6 . 8 /

v

v =

²

+

²

= ⎟⎟ = °

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Θ

⁻

54

v tan v

x 1 y

Θ

⋅

= v sin v

_y

x y

Θ

Leitplanken

Schon mal aufgefallen:

An Landstraßen sind die Seitenpfosten auf einer Seite immer deutlich stärker verdreckt als auf der anderen.

Wird der Dreck von den Reifen der Fahrzeuge wirklich nach hinten weggeschleudert?

Leitplanken

Schon mal aufgefallen:

An Landstraßen sind die Seitenpfosten auf einer Seite immer deutlich stärker verdreckt als auf der anderen.

Wird der Dreck von den Reifen der Fahrzeuge wirklich nach hinten weggeschleudert?

Wassertropfen verlassen den Reifen in tangentialer Richtung

Es gibt aber einen zusätzlichen Beitrag zur resultierenden Geschwindigkeit der Wassertropfen durch die Geschwindigkeit des Autos selbst

Leitplanken

Schon mal aufgefallen:

An Landstraßen sind die Seitenpfosten auf einer Seite immer deutlich stärker verdreckt als auf der anderen.

Wird der Dreck von den Reifen der Fahrzeuge wirklich nach hinten weggeschleudert?

Dadurch ergibt sich eine starke Vorkomponente, die dafür sorgt, dass das Wasser verstärkt in Vorwärtsrichtung spritzt.

Unglücklicherweise werden dadurch genau die Seitenpfosten verdreckt, die am gerade erkennen will.

Eindimensionale Bezugssysteme (1D)

In meinem Bezugssystem bewegt sich der andere Vogel nicht

In meinem Bezugssystem bewegen sich die Vögel mit 30 m/s

x BA

y

^A

y

^B

v r BA x _PB x PA BA

PB

PA x x

x = +

BA PB

PA

x

dt x d

dt x d

dt

d = + v

_PA

= v

_PB

+ v

_BA

Relativgeschwindigkeit von B in Bezug auf A

BA PB

PA

dt

d dt

d dt

d v = v + v

PB PA

a a =

In Bezugssystemen, die sich zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen messen die gleiche Beschleunigung für ein bewegtes Teilchen

x

Mehrdimensionale Bezugssysteme (2D, 3D)

r BA

y

A

y

B

v r BA

x

BA PB

PA r r

r r = r + r

r PA r ^PB

x

BA PB

PA v v

v r = r + r

PB PA a a r = r

Achsen bleiben parallel

2001

48

Ballverlust im Flugzeug

900 km/h = 250 m/s

1 m

gy 2 v

v

²im Flugzeug

=

²₀

−

s m m

s

m / ²)( 1 . 0 ) 4 . 43 / 81

. 9 ( 2

v = − − = −

am Boden

s m / 43 . 4 v

50m/s, 2

v

_x

= −

_y

= −

s

y

m

x

v 250 . 04 /

v

v =

²

+

²

=

°

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

=

⁻

⎛

⁻

1 . 02

250m/s -

4.43m/s tan -

v

tan

¹

v

¹

x

α

y

Ball fällt vertikal

Ball bewegt sich horizontal

v

x

v

y

α