Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT) Institut f¨ur Analysis
Priv.-Doz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. D. Roth
SS 2012 21.06.2012
H¨ohere Mathematik II f¨ur die Fachrichtung Physik 10. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 50
a) Berechnen Sie das Volumen der Menge
A=
(x, y, z)∈R3: 1≤x≤2, 0≤z≤x2−y2 .
b) Bestimmen Sie f¨ur alle a, b, c >0 das VolumenRRR
E
d(x, y, z) des Ellipsoids
E= n
(x, y, z)∈R3 : x
a 2
+ y
b 2
+ z
c 2
≤1 o
.
Aufgabe 51
a) Die beschr¨ankte MengeB⊂R3 sei durch die Ebenenx= 0,y= 0,z= 0 undx+y+ 2z= 1 begrenzt. Berechnen Sie das IntegralRRR
B
sinz d(x, y, z).
b) Berechnen Sie f¨ur die Menge
B =
(x, y, z)∈R3 : 0≤z≤1, x2+y2≤(1−z)2
das Integral
Z Z Z
B
(x2+y2)2e2(1−z)7d(x, y, z).
c) Sei B := {(x, y, z) ∈ R3 : k(x, y, z)k ≤ 2}. Eine kugelf¨ormige Gasansammlung besitze die Massendichte
%(x, y, z) =
1
1 +x2+y2+z2 f¨ur 0≤p
x2+y2+z2≤1, 2 f¨ur 1<p
x2+y2+z2≤2.
Berechnen Sie die gesamte Masse Z Z Z
B
%(x, y, z)d(x, y, z).
Aufgabe 52
Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt vonF=
(x, y, x2+y2) : (x, y)∈R2, x2+y2 ≤1 .
Aufgabe 53
Gegeben seien der Kegel K = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 2−p
x2+y2} sowie das Vektorfeld f~:R3 →R3, ~f(x, y, z) = (z, y, z+ 1). Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldesf~durch die Ober- fl¨ache des KegelsK nach außen.
— bitte wenden —
Aufgabe 54
F¨ur das elektrostatische Potential U(~a) einer mit der Dichte % homogen geladenen Fl¨ache F⊂R3 im Punkt~a6∈F gilt nach Coulomb
U(~a) =% Z Z
F
1
k~x−~akdo .
Bestimmen SieU(~a) in~a= (0,0,1), fallsFder durch 0≤z≤1 beschr¨ankte Teil des Kegelmantels {(x, y, z)∈R3 : z2=x2+y2} ist.
Hinweis:Es giltR1
0
√ r
2r2−2r+1dr=−12√ 2 ln(√
2−1).
Zur Teilnahme an der Ubungsklausur¨ am Samstag, den 07.07.2012, von 09:00 bis 11:00 Uhr ist keine Anmeldung erforderlich. Die Klausur findet imBenz-H¨orsaalstatt. Weitere Informationen zur ¨Ubungsklausur finden Sie auf der Vorlesungshomepage.
Die Pr¨ufungzur HM II findet am Montag, den 17.09.2012, statt.
Zur Teilnahme ist eine Anmeldung erforderlich.Anmeldeschluss: Freitag, der 20.07.2012.
Weitere Informationen zur Pr¨ufung entnehmen Sie bitte der Vorlesungshomepage http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm2phys2012s/.
http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm2phys2012s/
