¨Ubungsblatt zur Numerik station¨arer Differentialgleichungen Aufgabe 1: (a) Bestimmen Sie die L ¨osung des 1-diminsionalen Anfangswertproblems y0(t) =λy(t), y(t0) =y0 ∈R, λ∈R, f ¨ur ein fest gew¨ahltest0

Universit¨at T ¨ubingen T ¨ubingen, den 18.10.2015 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

1. ¨Ubungsblatt zur Numerik station¨arer Differentialgleichungen

Aufgabe 1:

(a) Bestimmen Sie die L ¨osung des 1-diminsionalen Anfangswertproblems y⁰(t) =λy(t)_, y(t₀) =y₀ ∈_R, λ∈_R, f ¨ur ein fest gew¨ahltest₀.

(b) Verwenden Sie dieses Ergebnis f ¨ur den ¨Ubergang in h ¨ohere Dimensionen. Geben Sie daf ¨ur die ResolventeR(·,·)desd-dimensionalen Anfangswertproblems

y⁰(t) = Ay(t), y(t0) =y0 ∈_R^d, A∈ _R^d×d, (∗) f ¨ur ein fest gew¨ahltest₀ explizit an und f ¨uhren Sie durch deren Einsetzen in die Differentialglei- chung(∗)eine Probe durch.

(c) Lassen sich diese ¨Uberlegungen auch f ¨ur den Fall eines nicht konstantenA(t)∈_R^d×d ¨ubertra- gen?

Aufgabe 2:

Sei R(·,·) die Resolvente der linearen Differentialgleichung ˜y⁰(t) = C(t)y˜(t), mit C(t) ∈ _R^d×d. Zeigen Sie:

(a) F ¨ur festest₀istR(·,t₀)die L ¨osung des Problems d

dt R(t,t₀) =C(t)R(t,t₀), R(t₀,t₀) = I.

(b) Die L ¨osung des inhomogenen Anfangswertproblems

y⁰(t) =C(t)y(t) +q(t), y(t0) =y0∈ _R^d ist gegeben durch

y(t) =R(t,t₀)y₀+

Z _t

t0

R(t,s)q(s)ds.

Besprechung in den ¨Ubungen am 26.10.2015.

Ansprechpartner: Bal´azs Kov´acs,

kovacs@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunden: Di 13–14, Do 10–12.

Bitte, melden Sie in URM zu den ¨Ubungen an.