Universit¨at T ¨ubingen T ¨ubingen, den 14.10.2015 Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich
1. ¨Ubungsblatt zur Numerik station¨arer Differentialgleichungen
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die L ¨osung des 1-diminsionalen Anfangswertproblems y0 = λy, λ∈ R
f ¨ur ein fest gew¨ahltest0.
Verwenden Sie dieses Ergebnis f ¨ur den ¨Ubergang in h ¨ohere Dimensionen. Geben Sie daf ¨ur die ResolventeR(·,·)des d-dimensionalen Anfangswertproblems
y0 = Ay, A∈ Rd×d (∗)
f ¨ur ein fest gew¨ahltest0 explizit an und f ¨uhren Sie durch deren Einsetzen in die Differentialglei- chung(∗)eine Probe durch.
Lassen sich diese ¨Uberlegungen auch f ¨ur den Fall eines nicht konstanten A(t) ∈ Rd×d ¨ubertra- gen?
Aufgabe 2:
SeiR(·,·)die Resolvente der linearen Differentialgleichungy0 =C(t)y. Zeigen Sie:
(a) F ¨ur festest0istR(·,t0)die L ¨osung des Anfangswertproblems d
dtR(t,t0) =C(t)R(t,t0), R(t0,t0) = I.
(b) Die L ¨osung des inhomogenen Anfangswertproblems
y0 =C(t)y+q(t), y(t0) =y0 ist gegeben durch
y(t) =R(t,t0)y0+
Z t
t0
R(t,s)q(s)ds.
Besprechung in den ¨Ubungen am 20.10.2015.
Ansprechpartner: Sarah Eberle,
eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde nach Vereinbarung
Die Anmeldung zu den ¨Ubungen findet in der ersten Vorlesung statt.
