• Keine Ergebnisse gefunden

AnalysisIIf¨urM,LaGundPh,WS07/08,¨Ubung1 A TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATDARMSTADT

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Aktie "AnalysisIIf¨urM,LaGundPh,WS07/08,¨Ubung1 A TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATDARMSTADT"

Copied!
2
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K.-H. Neeb

Dipl.-Math. Stefan Wagner

A TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT

18. Oktober 2007

AT

Analysis II f¨ ur M, LaG und Ph, WS07/08 , ¨ Ubung 1

Gruppen¨ubung

G 1 (Treppenfunktionen).

Man berechne die folgenden Integrale mit der Hilfe von Treppenfunktionen.

(a) Ra

0 xkdx, (k ∈N, a∈R+).

Hinweis: Dabei benutze man eine ¨aquidistante Unterteilung des Intervalls [0, a].

Es gilt Pn

i=1ik = nk+1k+1 +qknk+...+q1n f¨ur rationale Zahlen q1, ..., qn. (b) Ra

1 dx

x, (a >1).

Hinweis: Man w¨ahle f¨urn ∈N folgende Unterteilung: xi :=ani, i= 0, ..., n.

G 2 (Integrale).

Man berechne die folgenden bestimmten Integrale.

(a) R π2

0 xsin(x)dx.

(b) R1

0 a2xdx, (a >1).

(c) Rπ

0 e3 cos(2x)sin(2x)dx.

G 3 (Der Fl¨acheninhalt des Kreises).

Eine Kreisscheibe mit Radius R besitzt den Fl¨acheninhalt πR2.

Wir k¨onnen den Ursprung des (ebenen rechtwinkligen) Koordinatensystems in den Kreismittelpunkt legen. Dann wird die abgeschlossene KreisscheibeKRmit Radius R durch

KR={(x, y)∈R2|x2+y2 ≤R2}

beschrieben. Offensichtlich besteht KR aus den beiden Halbkreisscheiben HR :={(x, y)∈R2|x2+y2 ≤R2, y ≥0}

und −HR, und

HR∩(−HR) = [−R, R]× {0}={(x,0)∈R2| −R≤x≤R}.

Da der obere Rand vonHR durch den Graphen der Funktion [−R, R]→R, x7→√

R2−x2

beschrieben wird, wird der Fl¨acheninhalt von HR durch Z R

−R

R2−x2dx

(2)

gegeben. Hierbei ist es unwesentlich, ob die untere Berandung [−R, R]× {0} von HR mit zu HR gez¨ahlt wird oder nicht, da der Fl¨acheninhalt eines Rechtecks der Breite 0 definitionsgem¨aß 0 ist. Aus Symmetriegr¨unden ist der Fl¨acheninhalt AR des Kreises KR gleich dem doppelten Inhalt des Halbkreises HR. Folglich gilt

AR = 2 Z R

−R

R2−x2dx.

Zur Bestimmung dieses Integrals ist es angebracht, Polarkoordinaten zu verwenden.

Dazu setzen wir x(α) := Rcos(α) f¨ur ein α ∈ [0, π]. Berechne nun hiermit den Fl¨acheninhalt des Kreises AR.

Haus¨ubung

H 1 (Nochmals Integrale).

Man berechne die folgenden (bestimmten) Integrale.

(a) R1

0 xn−1sin(xn)dx, (n ∈N).

(b) R

xnln(x)dx, (n∈Z).

H 2 (Eigenschaften Riemann-integrabler Funktionen).

Es sei f : [a, b]→R eine Riemann-integrable Funktion mit f ≥0 und Z b

a

f(x)dx= 0.

Man zeige, dassf(x0) = 0 an jeder Stetigkeitsstellex0 von f gilt.

H 3 (Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung).

Es seif ∈C([a, b],R), undg ∈C1([a, b],R) sei monoton. Dann gibt es einζ ∈[a, b]

mit

Z b

a

f(x)g(x)dx=g(a) Z ζ

a

f(x)dx+g(b) Z b

ζ

f(x)dx.

Hinweis: Man setze F(x) := Rx

a f(s)ds und verwende partielle Integration.

H 4 (Eine spezielle Riemann-integrable Funktion).

Die Funktionf : [0,1]→R sei f¨ur alle x∈[0,1] definiert durch

f(x) :=

(0, falls x irrational ist

1

q, falls x= pq mit teilerfremden p, q ∈N, q ≥1.

Man zeige, dassf Riemann-integrierbar ist mit Z 1

0

f(x)dx= 0.

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

Hierbei steht γ f¨ ur die Gravitationskonstante, M f¨ ur die Masse der Sonne und m f¨ ur die Masse des Planeten.. Die Sonne liegt hierbei

Bemerkung: Der Quotient ist benannt nach dem englischen Physiker John William Strutt, dritter Baron Rayleigh (1842-1908, Professor in Cambridge und London, 1904 Nobelpreis f¨ ur

Stefan Wagner A TECHNISCHE UNIVERSIT¨

Bemerkung: Die gleiche Behauptung gilt auch f¨ ur eine beliebige Vereinigung zu- sammenh¨ angender Teilmengen eines metrischen Raumes, solange je zwei solcher Teilmengen nicht

Stefan Wagner A TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT 9./10.. die konstante Matrix A

Stefan Wagner A TECHNISCHE UNIVERSIT¨

Bestimme das Volumen der Menge, die aus einer Kugel mit dem Radius 2a her- ausgebohrt wird, wenn das Loch den Radius a hat und die Achse des Lochs ein Durchmesser der

Hierbei ist es unwesentlich, ob die untere Berandung [−R, R] × {0} von H R mit zu H R gez¨ ahlt wird oder nicht, da der Fl¨ acheninhalt eines Rechtecks der Breite 0 definitionsgem¨